一 定義
假設(shè)矩陣A為n*n方陣，x為n*1向量，則y=Ax表示矩陣A對向量x的線性變換結(jié)果，由于A為n*n方陣，則y為n*1向量。對大多數(shù)x進(jìn)行線性變換，得到向量y與原向量x一般都不共線，只有少數(shù)向量x滿足
，其中
被稱為矩陣A的特征值，x 被稱為矩陣A的特征向量。
為了求解特征值
與特征向量 x, 對上式改寫為
，則特征向量在
零空間中，通過選取一定特征值使得矩陣
為奇異矩陣，即
。根據(jù)矩陣行列式計算公式，得到關(guān)于
的n次方程，然后根據(jù)計算出的特征值，通過尋找矩陣
的零空間計算特征向量。
在求解特征值時，有兩個定理可以簡化計算：
1）
，矩陣A的特征值之和等于矩陣A的跡；
2）
，矩陣A的特征值之積等于矩陣A的行列式值；
在求解
時，可能出現(xiàn)特征值
重復(fù)情況，這可能導(dǎo)致特征向量 x 不足，這樣后面的分析也無法繼續(xù)。特征值重復(fù)并不一定導(dǎo)致特征向量不足，如單位矩陣I，雖然其特征值都為1，但有n個不同的特征向量。
針對各個元素均為實數(shù)2*2情況，其特征值可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)，如矩陣
特征值為 i 和 -i。通過觀察，如果矩陣A為對稱矩陣，其特征值為實數(shù)；如果矩陣A為反對稱矩陣，其特征值為一對共軛虛數(shù)。也就是說矩陣越接近對稱矩陣，其特征值越有可能為實數(shù)。
二 矩陣對角化
假設(shè)矩陣A為n*n方陣，矩陣A有n個線性獨立的特征向量
，構(gòu)成特征向量矩陣
，其對應(yīng)的特征值為
，構(gòu)成特征值矩陣
，則矩陣A可被對角化分解，其公式為：
，推導(dǎo)如下：
，
。
如果已知
，則有
，這表明矩陣
的特征值為矩陣A的對應(yīng)特征值的平方，矩陣
與矩陣A有相同的特征向量。以上推導(dǎo)也可以通過矩陣對角化公式得到：
。
針對A的任意整數(shù)次冪，可對角化為：
，這就提供了一個計算
的方法。
如果矩陣A可逆，則有：
，其逆矩陣與原矩陣有相同的特征向量和互為倒數(shù)的特征值。
三 應(yīng)用（冪級數(shù)與微分方程）
1 Fibonacci序列
Fibonacci定義為：
，該表達(dá)式為二階差分，可通過一些技巧變換為一階差分：
，
。
已知
，可推導(dǎo)出
。如果矩陣A可對角化，對
可做如下變換：
，將
詳細(xì)代入，則有
，令
，則
，表明
由特征向量S按系數(shù)向量c線性組合得到。
最終可被表示為：
。
通過以上推導(dǎo)，如果僅需要計算某個特定的
值，僅需使用公式
即可。使用
線性組合關(guān)系，可以通過特征值取值范圍判斷k趨近無窮大時其收斂狀態(tài)；當(dāng)所有特征值均滿足
，
趨近穩(wěn)定狀態(tài)，可表示為：
（假設(shè)
）或者
（假設(shè)所有特征值絕對值都小于1）。
針對矩陣
，計算特征值為
，
，特征向量為
，
。根據(jù)以上分析，當(dāng)k逐漸變大時，有：
。
2 Markov矩陣
Markov矩陣定義如下：
1）矩陣所有元素均滿足
；
2）矩陣每列元素和等于1；
Markov矩陣具有如下性質(zhì)：
1）
為Markov矩陣的一個特征值；
2）
對應(yīng)的特征向量
各個元素都為非負(fù)值；
3）其他特征值滿足
；
4）Markov矩陣的冪級數(shù)穩(wěn)定狀態(tài)為：
。
給出一個具體的Markov矩陣
，假設(shè)
是該矩陣的一個特征值，則有
，觀察矩陣
為奇異矩陣，
處于矩陣
的零空間，則證明
為Markov矩陣的一個特征值。
3 微分方程
標(biāo)量常微分方程：
，u(0)已知，其解為：
。
矢量常微分方程：
，矩陣A特征值與特征向量為：
；類比標(biāo)量常微分方程，其解表達(dá)為：
，代入微分方程中可證明解的正確性：
，約去
即證明等式成立。將解整理：
，
，
，
，
。
觀察以上微分方程解，當(dāng)所有特征值均滿足
，u(t)收斂；當(dāng)
，u(t)發(fā)散。
參考資料：Linear Algebra And Its Applicaions Gilbert Strang
語言方法
1772qhf2W
W7176
抖音直播如何獲得更多音浪「官方視頻」34442007.02.01 00-19-08
本站僅提供存儲服務(wù)，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請
點擊舉報。
