矩陣是一個(gè)非常抽象的數(shù)學(xué)概念，很多同學(xué)都對(duì)其望而生畏。但是，如果能夠具體的理解了內(nèi)部含義，就如同打開(kāi)了一扇新的大門(mén)。

本文主要講的是特征向量（Eigenvector）和特征值（Eigenvalue）。

01 特征向量（Eigenvector）是什么？

基向量

我們一般研究數(shù)學(xué)，都是在直角坐標(biāo)系中，這就造就了兩個(gè)基向量：v（0,1）和 u（1,0）。

為了說(shuō)明特征向量，我們先看一下矩陣A和向量B（1，-1）：

矩陣A

如果將A和B相乘，結(jié)果如下：

AB和2B

AB

矩陣實(shí)際上可以被看作為一個(gè)變換，AB實(shí)際上表達(dá)的意思是 向量B 通過(guò)矩陣A完成了一次變換，有可能只是拉伸，有可能是旋轉(zhuǎn)，有可能兩者都有。

2B

上圖中，2B的理解就簡(jiǎn)單很多，是將向量B拉長(zhǎng)2倍。

那么，特征向量的定義如下：

任意給定一個(gè)矩陣A，并不是對(duì)所有的向量B都能被A拉長(zhǎng)（縮短）。凡是能被A拉長(zhǎng)（縮短）的向量稱(chēng)為A的特征向量(Eigenvector)；拉長(zhǎng)（縮短）量就為這個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)的特征值（Eigenvalue）。

上例中，B就是矩陣A的特征向量，2是特征值。

特征值的求法

02 怎么求矩陣的平方和多次方

矩陣A

還是矩陣A，如果讓你求矩陣A的平方，你可能會(huì)覺(jué)得挺容易的。

但是，如果讓你求A的100次方呢？

還有那么容易嗎？

按照上面的方法，一點(diǎn)規(guī)律沒(méi)有，只能硬著頭皮算。

補(bǔ)充一個(gè)概念：對(duì)角矩陣

對(duì)角矩陣

對(duì)角矩陣，顧名思義，只有對(duì)角線上有值，其他位置都是0。為什么對(duì)角矩陣特殊，如上圖，C的平方就是對(duì)角線上數(shù)的平方，多次方也一樣。

那么，怎么才能將矩陣A轉(zhuǎn)變成矩陣C呢？

這就用到特征值和特征向量了。

A的特征值

A有兩個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)兩個(gè)特征向量：（1,0）和（1，-1）。

如果我們將兩個(gè)特征向量看作是一個(gè)新的坐標(biāo)系的基向量，并組合成矩陣D：

我們來(lái)計(jì)算一下

如上圖，成功的通過(guò)特征向量將A轉(zhuǎn)變成了對(duì)角矩陣C。

A和B相似

03 求A的多次方

這下求A的多次方就方便多了：

由于C是一個(gè)對(duì)角矩陣，C的n階矩陣就比較好運(yùn)算。

有的同學(xué)會(huì)問(wèn)，這些計(jì)算到底有什么用。下面舉個(gè)例子。

比方說(shuō)圖片，圖片其實(shí)是一個(gè)一個(gè)像素排列在一個(gè)矩陣中。

上圖所有的像素點(diǎn)堆疊在圖片大小的矩陣A中（不要光看美女）。當(dāng)我們對(duì)成像要求并不高，并且需要保留基本的成像特征值的時(shí)候，就可以將特征值從大到小的排列，并保存在矩陣C中。C中斜對(duì)角線上的值就是 上述圖像 成像的特征值。

打個(gè)比方，上圖可能有100個(gè)從大到小的成像特征值，但是我們只取較大的50個(gè)，并且對(duì)圖片進(jìn)行處理，最后我們可以得到以下圖片。

雖然不大清晰，但是主要特征并沒(méi)有丟失。

“逃學(xué)博士”：理工科直男一枚，在冰天雪地的加拿大攻讀工程博士。閑暇之余分享點(diǎn)科學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)干貨。