有振動(dòng)
就有特征值
今天，超模君看到了一句神翻譯：
嚇得超模君馬上放下手中的蘋(píng)果手機(jī)，來(lái)碼字了！之前有模友說(shuō)想知道矩陣的特征值和特征向量的意義，那超模君就寫(xiě)寫(xiě)它們吧。
特征值和特征向量的由來(lái)
超模君：特征值和特征向量是怎么來(lái)的呢？
小天：我知道來(lái)自哪里！請(qǐng)看下圖：（deng~deng~deng~deng）
算是回答對(duì)一半吧！談到線(xiàn)性代數(shù)課本里面的一些概念，比如行列式、矩陣乘積、線(xiàn)性變換、二次型等，或許很少人知道它們是誰(shuí)發(fā)現(xiàn)的，這不像高數(shù)/數(shù)分課本上那么明顯：柯西收斂準(zhǔn)則、拉格朗日中值定理、魏爾斯特拉斯判別法。
下面用一個(gè)表格來(lái)總結(jié)一下線(xiàn)性代數(shù)的發(fā)展史上做出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家：
其實(shí)，在北宋時(shí)期，我國(guó)就與發(fā)現(xiàn)矩陣特征值理論的機(jī)會(huì)擦肩而過(guò)。
在古代，洞房是一件很美好的事，正所謂“春宵一刻值千金”，但是有一位詩(shī)人洞房就沒(méi)有那么簡(jiǎn)單了。他就是秦少游（1049年—1100年9月17日），在洞房之前卻需要回答娘子出的三道難題，其中最后一道是給出上聯(lián)：閉門(mén)推出床前月，要求作出下聯(lián)。秦少游一時(shí)沒(méi)有頭緒，當(dāng)他看到蘇東波往池塘里扔了一顆小石頭后，得到一句“投石沖開(kāi)水底天”的泡妞下聯(lián)后，就猴急猴急地去洞房了
秦少游
大概地說(shuō)，水面附近的任一點(diǎn)水珠在原處上下振動(dòng)（實(shí)際上在做近似圓周運(yùn)動(dòng)），并沒(méi)有隨著波浪向外圈移動(dòng)，同時(shí)這些上下振動(dòng)的水珠的幅度在漸漸變小，直至趨于平靜。在由某塊有著特定質(zhì)量和形狀的石頭被以某種角度和速度投入某個(gè)面積和深度特定的水池中所決定的某個(gè)矩陣中，紋波蕩漾中水珠的漸變過(guò)程中其特征值起著決定性的作用，它決定著水珠振動(dòng)的頻率和幅度減弱的衰退率。
所以這功勞就給了英國(guó)的數(shù)學(xué)家凱萊 (A.Cayley，1821-1895)，他首先把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來(lái)，并在1858年發(fā)表了論文《矩陣論的研究報(bào)告》，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。
另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征值以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。
矩陣論的創(chuàng)立者
對(duì)于給定矩陣A，尋找一個(gè)常數(shù)λ（可以為復(fù)數(shù)）和非零向量x，使得向量x被矩陣A作用后所得的向量Ax與原向量x平行，并且滿(mǎn)足Ax=λx。
特征值和特征向量的幾何意義
看到硬生生的定義，模友估計(jì)會(huì)感到有點(diǎn)迷糊，那超模君就再?gòu)膸缀谓嵌葋?lái)講一下它們到底是什么東西：
二維公園（坐標(biāo)軸）里的椅子上有一個(gè)孤獨(dú)的向量v（-2，2），一個(gè)忠心（不變）的矩陣A試圖從左邊搭訕向量v，于是他們坐在一起得到向量Av
他們就開(kāi)始上談天文，下聊地理。秀外慧中的向量v徹底迷住了矩陣A，待到離別時(shí)，A心里始終放不下v，當(dāng)v去一個(gè)地方的時(shí)候，Av（A心里有著v，不是單純的A）也陪著她去，就這樣經(jīng)歷漫長(zhǎng)的約會(huì)和成長(zhǎng)（即下圖中的向量v從左邊移到右邊），終于……
向量v和Av結(jié)婚了（共線(xiàn)）！結(jié)婚后的向量v多了一份名義，叫做特征向量。而且向量Av的責(zé)任也變多了（上圖是向量Av相對(duì)向量v來(lái)說(shuō)伸長(zhǎng)了）。也就是說(shuō)，向量v與矩陣A的結(jié)婚后，向量Av保持忠心（方向）不變，責(zé)任變多了或什么東西變少了（進(jìn)行比例為λ的伸縮）。
那么我們也許會(huì)問(wèn)：什么東西會(huì)變少呢？在戀愛(ài)中，向量v喜歡去爬山，向量Av喜歡玩游戲，他們一起度過(guò)許多美好時(shí)光。
結(jié)婚后，向量Av的責(zé)任變多了，要撐起這一個(gè)家，把更多心思花在孩子教育上，興趣愛(ài)好變少了（上圖中容易看出這時(shí)候向量Av相對(duì)向量v來(lái)說(shuō)“縮短”了）。責(zé)任對(duì)應(yīng)的特征值大于1（伸長(zhǎng)），興趣愛(ài)好對(duì)應(yīng)的特征值小于1（縮短）。
隨著時(shí)間的流逝（上下移動(dòng)v）我們還發(fā)現(xiàn)，有兩條直線(xiàn)上有著v和Av的所有蹤跡，這就是他們的生活空間（特征空間）。換句話(huà)說(shuō)，特征空間包含所有的特征向量。
下面的一個(gè)類(lèi)比可以幫助我們更好的理解特征值和特征向量：
如果把矩陣看作是運(yùn)動(dòng)，那么特征值就是運(yùn)動(dòng)的速度，特征向量就是運(yùn)動(dòng)的方向。
特征向量在一個(gè)矩陣的作用下作伸縮運(yùn)動(dòng)，伸縮的幅度由特征值確定。特征值大于1，所有屬于此特征值的特征向量變長(zhǎng)；特征值大于0小于1，特征向量縮短；特征值小于0，特征向量縮過(guò)了界，反方向到原點(diǎn)那邊去了。
為了讓模友們看清楚它們的變化，超模君做了幾個(gè)動(dòng)圖，我們來(lái)感受一下吧：
（1）首先，我們通過(guò)改變向量v的位置，看看向量Av有什么變化（矩陣A不動(dòng)噢）
（2）然后，我們不要?jiǎng)酉蛄縱，改變矩陣A每一列（通過(guò)移動(dòng)a1和a2），再看看向量Av有什么變化
（3）接下來(lái)是見(jiàn)證奇跡的時(shí)刻！看看超模君的金手指怎么移動(dòng)向量v使它變成特征向量吧！（不好意思，在上移的時(shí)候手抖了一下）
（4）最后，我們改變矩陣A（通過(guò)移動(dòng)a1和a2），重點(diǎn)看看特征空間（S1和S2）是怎么變化（特征值也會(huì)發(fā)生變化喲）
特征值和特征向量的應(yīng)用
說(shuō)了這么多，可能有模友會(huì)問(wèn)：到底特征值和特征向量有什么用呢？不會(huì)僅僅用來(lái)考試吧！
其實(shí)，特征值和特征向量在我們的生活中都是非常普遍的。
(1)可以用在研究物理、化學(xué)領(lǐng)域的微分方程、連續(xù)的或離散的動(dòng)力系統(tǒng)中。例如，在力學(xué)中，慣量的特征向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)鍵數(shù)據(jù)；
(2)數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家用來(lái)預(yù)測(cè)原始森林遭到何種程度的砍伐，會(huì)造成貓頭鷹的種群滅亡；
(3)著名的圖像處理中的PCA方法，選取特征值最高的k個(gè)特征向量來(lái)表示一個(gè)矩陣，從而達(dá)到降維分析+特征顯示的方法，還有圖像壓縮的K-L變換。再比如很多人臉識(shí)別，數(shù)據(jù)流模式挖掘分析等方面。
(4)在譜系圖論中，一個(gè)圖的特征值定義為圖的鄰接矩陣A的特征值，或者（更多的是）圖的拉普拉斯算子矩陣，Google的PageRank算法就是一個(gè)例子。
有一句話(huà)說(shuō)得好：“只要有振動(dòng)就有特征值，即振動(dòng)的自然頻率”。如果你曾經(jīng)彈過(guò)吉他，你已經(jīng)求解了一個(gè)特征值問(wèn)題。。。
那么，超模君講了這么多，你們都看懂了嗎？
如果你們還沒(méi)暈的話(huà)，還可以看看Steven J.Leon的《線(xiàn)性代數(shù)》，里面會(huì)有更多關(guān)于特征值的有趣應(yīng)用~
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