我們都知道說(shuō)到矩陣的特征向量和特征值的時(shí)候，都會(huì)提到Ax=λx這個(gè)式子，也就是眾所周知的特征值方程。下面就從這里展開(kāi)，來(lái)解釋一下特征向量和特征值的幾何意義。
首先允許我介紹一下特征值方程（Ap=λp為了后面表述的更好理解一些，暫且使用p吧）中的各項(xiàng)：
A是一個(gè)矩陣，也可以說(shuō)是一個(gè)變換陣；
p是一個(gè)向量（暫且說(shuō)成是一個(gè)吧），比如說(shuō)是二維空間的一個(gè)向量p，其坐標(biāo)為（x，y）；
λ是一個(gè)標(biāo)量，暫且理解為一個(gè)實(shí)數(shù)好了。
接下來(lái)，分析他們之間的關(guān)系：
Ap=λp的幾何意義就是p這個(gè)向量通過(guò)A這個(gè)變換陣將其變?yōu)榱甩藀（p向量乘了一個(gè)λ標(biāo)量，依然是一個(gè)向量）這個(gè)向量；并且由于λ是標(biāo)量，故作此變換之后并沒(méi)有改變?cè)瓉?lái)p向量的方向，只是在p向量原來(lái)的方向上對(duì)其拉伸了λ倍。注意，此時(shí)我們的關(guān)注的焦點(diǎn)是p向量。
若我們轉(zhuǎn)移我們所關(guān)注的焦點(diǎn)到A身上，從而也可以理解為p這個(gè)向量是對(duì)于A矩陣的一個(gè)很特別的向量（因?yàn)樗梢韵拗艫只能對(duì)它作拉伸變換，而不能對(duì)它作旋轉(zhuǎn)變換，這個(gè)特性是相當(dāng)有價(jià)值的），這里先稱(chēng)其為A的特征向量，至于為什么可以稱(chēng)為特征向量，后面慢慢的說(shuō)明。
我們知道在Ap=λp中，存在的特征值不一定只有一個(gè)，并且用特征值和特征向量就可以唯一的表達(dá)出對(duì)應(yīng)的矩陣，比如此例中若是存在兩個(gè)特征值λ1和λ2，那么，A=λ1* p1+λ2* p2，其中p1、p2是對(duì)應(yīng)的特征向量；前面說(shuō)過(guò)矩陣可以稱(chēng)為變換陣，也就是說(shuō)它可以將一個(gè)向量做拉伸或者旋轉(zhuǎn)變換或者兩種變換同時(shí)完成。
下面用幾個(gè)圖來(lái)說(shuō)明一下：
矩陣A對(duì)向量n變換之后
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