兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角的正弦，余弦和正切
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1. 掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；能正確運(yùn)用上述公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值和恒等式的證明。
2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能正確運(yùn)用上述公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式的證明。
【典型例題】
[例1]（1）已知，
，其中
，
，求
的值；（2）已知
都是銳角，且
，，求。
解：（1）∵
∴
∴
∴
（2）∵ ∴
又 ∵
∴
又 ∵ 在之間，余弦值為的角只有，∴
[例2] 已知銳角中，。
（1）求證：；
（2）設(shè)，求AB邊上的高。
解：（1）證明：∵
∴
∴
（2）∵
∴ 即
將代入上式并整理得
解得，舍去負(fù)值，得
∴
設(shè)AB邊上的高為CD
則
由AB=3，得
∴ AB邊上的高等于
[例3] 已知，求的值。
解：∵ ∴
又 ∵ ∴
∴
∵
∴ 原式
[例4] 已知三點(diǎn)A（）、B（）、C（）。若向量
（為常數(shù)且），求的最大值、最小值及相應(yīng)的值。
解：由已知
移項(xiàng)得
兩式平方，整理有
∴
∵
∴ 當(dāng)時(shí)，有最大值
又 ∵ ，故有最小值為，此時(shí)
解得或
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)或時(shí)，有最小值。
[例5] 已知，。
（1）求及；
（2）若的最小值是，求的值。
解：（1）
（∵ ）
（2）
∵ ∴
① 當(dāng)時(shí)，，矛盾
② 當(dāng)時(shí)，，由，得
③ 當(dāng)，時(shí)，，由，得，矛盾。
綜上，為所求
[例6] 設(shè)，，，與的夾角為，與的夾角為2，，求的值。
解：根據(jù)題意，
而 ∴
同理，
，而，
∴
將代入，得
∴
[例7] 如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)、鄰邊互相垂直的十字形，其中。
（1）將十字形的面積表示為函數(shù)；
（2）為何值時(shí)，十字形的面積最大？最大面積是多少？
解：（1）設(shè)S為十字形的面積，
則
（2）方法一：
其中
當(dāng)，即時(shí)，S最大
所以當(dāng)時(shí)，S最大，S的最大值為
方法二：因?yàn)?/span>
所以
令，即
可解得
所以當(dāng)時(shí)，S最大，S的最大值為
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 已知，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
2. 的值是（ ）
A. B. C. D. 1
3. 要使有意義，則應(yīng)有（ ）
A. B.
C. 或 D.
4. 等于（ ）
A. B. C. 1 D.
5. 已知，則等于（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，若，則是（ ）
A. 直角三角形 B. 等邊三角形
C. 鈍角三角形 D. 等腰直角三角形
7. 已知，當(dāng)時(shí)，可化簡(jiǎn)為（ ）
A. B. C. D.
8. 若，則的值是（ ）
A. B. C. D. 1
二. 解析題：
1. 已知，。
（1）求的值；
（2）求滿足的銳角
2. 如圖所示，有一塊以點(diǎn)O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD辟為綠地，使其一邊AD落在圓的直徑上，另兩點(diǎn)B、C落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長(zhǎng)為，如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A、D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大？
3. 已知為銳角，且，，試求的值。
【試題答案】
一.
1. D
解析：設(shè)，兩式相加得
由，得，兩式相減，得，由，得 ∴
2. B
解析：原式
3. D
解析：
由
4. B
解析：
5. B
解析：
∴
∵ 在第一或第三象限，則在第一或第二象限
又 ∵
∴ 在第二象限，故
6. B
解析：由，得
又 ∴
∴ ∴
，A=B，同理B=C ∴ 是等邊三角形
7. D
解：
∵
∴
∴ ，
∴ 原式
8. B
解析：
二.
1. 解析：（1）因?yàn)?/span>，所以
所以
由
所以
（2）因?yàn)?/span>
所以 所以
因?yàn)?/span>為銳角，所以
2. 解析：如圖所示，令，則，則矩形ABCD的面積為
其中“”中等號(hào)成立的充要條件是，即
于是時(shí)，S為最大
不難得到，這時(shí)A、D兩點(diǎn)與O的距離都是
3. 解析：由題意知
∵ ∴ ∴ ，
（1）÷（2），，即
又 ∵ ∴
∴ ∴ ∴
∴
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