函數(shù)的周期性
（一）概念
對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)
，使得當
取定義域內的每一個值時，
都成立，則把函數(shù)
叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期，如果在所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，這個最小的正數(shù)叫最小正周期。
注：
（1）周期函數(shù)的周期T未必是正數(shù)未必有正周期
如：，顯然
是函數(shù)的一個周期，故，是周期函數(shù)，假設有一個正周期，當時，，故無意義，所以不存在正周期。
（2）若T是周期函數(shù)的周期，未必是函數(shù)的一個周期，但若是定義在R上的周期函數(shù)，則成立。如，是函數(shù)的一個周期，而不是周期。
（3）有正周期的周期函數(shù)，未必有最小正周期
如任一有理數(shù)是的一個周期，因有理數(shù)不存在最小正數(shù)，故所給函數(shù)不存在最小正周期。
（4）周期函數(shù)的周期不止一個
事實上，如果T是周期函數(shù)的周期，用數(shù)學歸納法易證（）也是的周期，換言之，一個周期函數(shù)必有其周期集合，且此集合是一個至少一方無界的無窮點集。
（5）周期函數(shù)的定義域至少是一方無界
因函數(shù)的周期集合是定義域的子集，由（4）知周期集合至少一方無界，故定義域至少一方無界。
（6）周期函數(shù)的定義域內的點不一定是連續(xù)的，可能是有間斷的，如函數(shù)是周期函數(shù)，定義域是整數(shù)集。
（7）兩個周期函數(shù)的和未必是周期函數(shù)
如，假設是以T為周期的周期函數(shù)
則，對任恒成立
令代入上式，有
∵ ∴
于是矛盾，故非周期函數(shù)
（二）性質
1. 設是以T為周期的函數(shù)，證明
（1）對任意正整數(shù)，也是的周期
（2）有最小正周期T，則的所有周期都是T的整數(shù)倍
注：若是定義在R上的周期函數(shù)，則（1）中
證：
（1）
（2）設是的任意一個周期，且，則存在，使（）若，則
，即也是正周期，而與T的最小性矛盾，故
2.（1）若是數(shù)集A上的周期函數(shù)，則是數(shù)集上的周期函數(shù)
（2）若有最小正周期T，則T也是函數(shù)的最小正周期
證：
（1）設T為周期，則任，，且有從而，即T是的周期。
（2）由（1）知T也是的正周期，假設T不是的最小正周期，則存在是的周期，即
即也是的周期，且為正數(shù)，這與T是的最小正周期矛盾，所以T也是的最小正周期
3. 函數(shù)以T為最小正周期函數(shù)以為最小正周期
證（充分性）設是的最小正周期，令，則
∴
∴
假設T不是的最小正周期，若存在是的周期，
則
即是函數(shù)的周期與已知是最小正周期矛盾，得證（必要性）仿充分性證明，略。
4.（1）設是定義在數(shù)集A上的函數(shù)，是數(shù)集B上的周期函數(shù)，且，則復合函數(shù)為B上的周期函數(shù)。
證明：設T是（）的周期，則對任意，且，有
，從而
即為B上周期函數(shù)
推論：若是周期函數(shù)，則，，（）
仍為周期函數(shù)
（2）若T是的最小正周期，則復合函數(shù)的最小正周期
如復合函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期，而最小正周期，
（3）若是數(shù)集A上具一一映射的函數(shù)，是數(shù)集B上具有最小正周期T的函數(shù)，則T也是復合函數(shù)的最小正周期。
證：由（1）T也是復合函數(shù)的周期，假設T不是的最小正周期，則存在為的周期，即對任，有
而在A上具有一一映射，則，即是函數(shù)的周期，這與T是的最小正周期矛盾得證。
（4）設與是數(shù)集A上分別以T1和T2為正周期的函數(shù)，且（），則它們的和、差、積是A上以（或）為周期的周期函數(shù)
證：
但是，如果與分別是與的最小正周期，那么與的最小公倍數(shù)不一定是，的最小正周期，如與的最小正周期都是，顯然，最小公倍數(shù)是，并不是的最小正周期
又如的最小正周期是，顯然不是的最小正周期
（5）對于定義在R上的函數(shù)，若總有（），則是以為一個周期的周期函數(shù)，反之，若為函數(shù)的一個周期，則必有
推論：對于定義在R上的函數(shù)，且，若有總成立，則是以為一個周期的周期函數(shù)
證：（）對，令，那么，則有（數(shù)代換，令代代入即得證）
【模擬試題】
1. 已知為非零常數(shù)
（1）設，求證是周期函數(shù)
（2）設，求證是周期函數(shù)
2. 已知是定義在R上的函數(shù)，且，求的值。
3. 已知函數(shù)定義域為R，且對于的任意一個值都有，求證是周期函數(shù)。
4. 對任意整數(shù)，且，，求的值。
5. 函數(shù)在R上有意義，滿足（1）為偶函數(shù)，且，（2）為奇函數(shù)，試求的值。
6. 已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且，則方程在區(qū)間（0，10）內實根的個數(shù)為（ ）
A. 2 B. 3 C. 9 D. 7
7. 定義在R上的偶函數(shù)恒有成立，且當時，則當時，（ ）
A. B. C. D.
8. 設，是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，對一切實數(shù)，有
，求證：是周期函數(shù)。
9. 設對于函數(shù)，，有等式，其中，均為正常數(shù)，求證：存在正常數(shù)，使，且是以T為周期的函數(shù)。
10. 定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，對任意，有
且，且若存在常數(shù)，使，試問是否周期函數(shù)，如果是找出它的一個周期，如果不是請說明理由。
11. 設與是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足條件
（1）對任何都有（*）
（2）
（3）存在實數(shù)，使，試問是否周期函數(shù)
12. 已知是定義在R上的以2T為周期的周期函數(shù)，且在上為奇函數(shù)（偶函數(shù)）試討論在R上的奇偶性。
【試題答案】
1. 解：
（1）∵
∴ 是以為周期的周期函數(shù)
（2）∵
∴ 是以為周期的周期函數(shù)
注：（1）若（或），則是周期函數(shù)，且2T是其一個周期；（2）若，則是周期函數(shù)，且2T是其一個周期
2. 解：顯然，，
∴
∴ 的周期為8 ∴
而
∴
3. 證明：∵ ，
∴
∴ ① 以代換有②
由①和②得，故是以6為一個周期的周期函數(shù)
事實上此項為則為以2T為周期的推論
注：若，則是周期函數(shù)，且是其一個周期
證：∵
用代得
4. 解：由（如題3）
即6是的周期
5. 解：∵ 為偶函數(shù) ∴
又 ∵ 為奇函數(shù)
∴ ，即
∴ ∴ ∴
即周期為4 ∴
6. 解：由即是一個周期為4的周期函數(shù)，則，又為R上的奇函數(shù)，則，且
，
因此方程在內有根1，2，3，4，5，6，7，8，9共9個根，故選C。
7. 解：由即以2為周期
當時，，
當時，，，當時，，則，合并得，故選C。
8. 證明：
∵ 令
∴ 即
∴ ，故以為周期的周期函數(shù)
9. 分析：記，只要確定常數(shù)使為以T為周期的函數(shù)
由
得 即
證：設，則
且
即是以T為周期的函數(shù)，令即將得證
10. 解：分別用，代換，有
由已知 ∴ ∴
11. 證：在（*）中，令得
由知，在此式中令得
又由（*）可知
∴ 即是偶函數(shù)
∴ ∴ 又
∴ 即
在（*）中令
得
12. 證明：因定義域為R，易知對任意，是的周期，任取，則必存在，使，若在上為奇函數(shù)，
則
即在R上為奇函數(shù)
同理可證：若在為偶函數(shù)，則在R上也是偶函數(shù)
補充中心對稱：定義在R上的函數(shù)，若總有
則函數(shù)關于點（）成中心對稱
證：設為上任意一點，它關于點（）的對稱點為
（）
由，又由，則
則，故，故在上，反之同理可證。
