有界性
設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間X上有定義，如果存在M>0,對(duì)于一切屬于區(qū)間X上的x，恒有|f(x)|≤M，則稱f(x)在區(qū)間X上有界，否則稱f(x)在區(qū)間上無(wú)界。
單調(diào)性
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I包含于D。如果對(duì)于區(qū)間上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的；如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f(x1)>f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。
奇偶性
設(shè) 為一個(gè)實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，若有 f(-x)= - f(x) ，則 f(x) 為 奇函數(shù) 。幾何上，一個(gè)奇函數(shù)關(guān)于 原點(diǎn) 對(duì)稱，亦即其圖像在繞原點(diǎn)做 180 度旋轉(zhuǎn)后不會(huì)改變。奇函數(shù)的例子有 x 、 sin(x) 、 sinh(x) 和 erf(x) 。設(shè) f(x) 為一實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，若有 ，則 f(x) 為 偶函數(shù) 。幾何上，一個(gè)偶函數(shù)關(guān)于 y 軸對(duì)稱，亦即其圖在對(duì) y 軸映射后不會(huì)改變。偶函數(shù)的例子有 |x| 、 x2 、 cos(x) 和 cosh(x) 。偶函數(shù)不可能是個(gè)雙射映射。
周期性
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈。如果存在一個(gè)正數(shù)T，使得對(duì)于任一 有 ，且 f(x T)=f(x)恒成立 ，則稱 f(x) 為 周期函數(shù) ， T 稱為 f(x) 的周期，通常我們說(shuō)周期函數(shù)的周期是指 最小正周期 。周期函數(shù)的定義域 D 為至少一邊的無(wú)界 區(qū)間 ，若 D 為有界的，則該函數(shù)不具周期性。并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期，例如 狄利克雷函數(shù) 。
周期函數(shù)有以下性質(zhì)：
（1）若T（T≠0）是f(x)的周期，則-T也是f(x)的周期。
（2）若T（T≠0）是f(x)的周期，則nT（n為任意非零整數(shù)）也是f(x)的周期。
（3）若T1與T2都是f(x)的周期，則 也是f(x)的周期。
（4）若f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整數(shù)倍。
（5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分別是f(x)的兩個(gè)周期，則T1/T2∈Q（Q是有理數(shù)集）
（6）若T1、T2是f(x)的兩個(gè)周期，且T1/T2是無(wú)理數(shù)，則f(x)不存在最小正周期。
（7）周期函數(shù)f(x)的定義域M必定是雙方無(wú)界的集合。
連續(xù)性
在數(shù)學(xué)中，連續(xù)是函數(shù)的一種屬性。直觀上來(lái)說(shuō)，連續(xù)的函數(shù)就是當(dāng)輸入值的變化足夠小的時(shí)候，輸出的變化也會(huì)隨之足夠小的函數(shù)。如果輸入值的某種微小的變化會(huì)產(chǎn)生輸出值的一個(gè)突然的跳躍甚至無(wú)法定義，則這個(gè)函數(shù)被稱為是不連續(xù)的函數(shù)（或者說(shuō)具有不連續(xù)性）。
設(shè)f是一個(gè)從實(shí)數(shù)集的子集射到的函數(shù)：f在中的某個(gè)點(diǎn)c處是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)以下的兩個(gè)條件滿足：
f在點(diǎn)c上有定義。c是其中的一個(gè)聚點(diǎn)，并且無(wú)論自變量x在中以什么方式接近c(diǎn)，f(x) 的極限都存在且等于f(c)。我們稱函數(shù)到處連續(xù)或處處連續(xù)，或者簡(jiǎn)單的連續(xù)，如果它在其定義域中的任意點(diǎn)處都連續(xù)。更一般地，我們說(shuō)一個(gè)函數(shù)在它定義域的子集上是連續(xù)的當(dāng)它在這個(gè)子集的每一點(diǎn)處都連續(xù)。
不用極限的概念，也可以用下面所謂的方法來(lái)定義實(shí)值函數(shù)的連續(xù)性。
仍然考慮函數(shù)。假設(shè)c是f的定義域中的元素。函數(shù)f被稱為是在c點(diǎn)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立：
對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，存在一個(gè)正實(shí)數(shù)δ> 0 使得對(duì)于任意定義域中的δ，只要x滿足c - δ< x < c δ，就有成立。
凹凸性
設(shè)函數(shù) 在 I 上連續(xù)。如果對(duì)于 I 上的兩點(diǎn) ，恒有 ， 那么稱第一個(gè)不等式中的 是區(qū)間 I 上的 凸函數(shù) ；稱第二個(gè)不等式中的 為嚴(yán)格凸函數(shù) [4] 。同理如果恒有 ， 那么稱第一個(gè)不等式中的 是區(qū)間 上的 凹函數(shù) ；稱第二個(gè)不等式中的 為嚴(yán)格凹函數(shù) 。
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