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定義1

    設(shè)A, B都是n階方陣，若存在可逆矩陣T使

?

定理1

    n階方陣A與對角矩陣相似的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。并且

?

為對角矩陣的充要條件是，T的n個列向量是A的n個線性無關(guān)的特征向量，且這n個特征向量對應(yīng)的特征值依次為對角矩陣D的主對角線上的元素(特征值與特征向量)。

定義2

    設(shè)λ₀是n階方陣A的一個特征值，若λ₀是A的特征方程的m重根，則稱m是特征值λ₀的代數(shù)重數(shù)，稱λ₀對應(yīng)的特征子空間(即(λ₀E-A)X=0的解空間)的維數(shù)為λ₀的幾何重數(shù)。

定理2

    設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，則A的互不相同的特征值的幾何重數(shù)之和為n。

定理3

    設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，則存在n階正交矩陣(正交矩陣與正交變換)P，使

?

其中λ₁, λ₂, …, λ_n,是A的n個特征值。

    方陣的相似對角化在求方陣的冪，解線性微分方程組，求數(shù)列通項(xiàng)公式等方面有重要應(yīng)用。