為什么要添加輔助線呢？
為此，需要構(gòu)造與∠G和∠3相等的等角。聯(lián)結(jié)BD后，取BD的中點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OE、OF。通過(guò)構(gòu)造中位線，將AB=CD轉(zhuǎn)化到了OE=OF，這樣將∠G轉(zhuǎn)化到了∠1，∠3轉(zhuǎn)化到了∠2，使所有相關(guān)聯(lián)的元素都集中到了△OEF中。因此，只需要證明∠1=∠2，就可以解決問(wèn)題。
添加輔助線有以下三個(gè)作用：① 使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉或早已掌握、解決的問(wèn)題，比如在“證明中位線定理”時(shí)，我們可以添加輔助線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化“借助三角形中位線定理進(jìn)行證明”；② 使圖中隱含的關(guān)系顯現(xiàn)出來(lái)(例2)；③ 使不直接聯(lián)系的元素發(fā)生聯(lián)系。
添線的原則
原則一 化繁為簡(jiǎn)
不論添線怎么復(fù)雜，仔細(xì)分析，都是為了把某方面的“繁”化為“簡(jiǎn)”，從而以“簡(jiǎn)”來(lái)駕馭“繁”。
但注意到∠ABC=60°這個(gè)條件，把△ABC復(fù)原為一個(gè)邊長(zhǎng)為1得正三角形。為此，延長(zhǎng)BA到G，使BG=BC=1，如下圖所示，聯(lián)結(jié)CF，則易知△ABC≌△FGC，且AC=CF，∠ACF=20°。
原則二 相對(duì)集中
添線的手段
常常通過(guò)特殊點(diǎn)添平行線，或利用三角形中位線性質(zhì)構(gòu)造平行線，使圖中的某些線段保持平行，或使某些角平移到新的位置。
解法分析：本題同例1的解題策略如出一轍。即通過(guò)線段的平移將∠1和∠2放置在一個(gè)三角形中。
如左圖，通過(guò)“四次”平移，構(gòu)造平行線四邊形ABMF和平行四邊形DFNC，繼而構(gòu)造全等△BME和△ENC，從而證明E為MN的中點(diǎn)，利用等腰三角形的三線合一證明∠3=∠4。利用MF//AB，CD//FN，得∠1=∠3，∠2=∠4，繼而得證。
方法二 旋轉(zhuǎn)
解法分析：本題中要證明∠AMB=∠DMC，由于∠AMB和∠2互余，而∠1=∠2，同時(shí)AB=AC，因此聯(lián)想構(gòu)造與△ABM全等的△ACN，相當(dāng)于將△ABM平移加旋轉(zhuǎn)得△ACN。再證明△DMC和△DCN全等即可得證。
解法分析：本題中要證明A、P、C三點(diǎn)共線，可以通過(guò)證明∠APB+∠BPC=180°進(jìn)行證明。由于AP、BP、CP三條線段的位置比較分散，因此可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)△ABP(繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°)至△BCP'，借助勾股定理逆定理得∠PCP'=90°，從而根據(jù)∠PCP'+∠PBP'=90°，得P、B、P'、C四點(diǎn)共圓，繼而得∠BPC與∠BP'C互補(bǔ)，而∠BP'C=∠APB，繼而得證。
常見(jiàn)相似模型中的“手拉手模型”以及“半角模型”就是利用旋轉(zhuǎn)得到相似三角形或全等三角形實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。
——The End——
