課程解讀
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
歸納、掌握三角形中的常見輔助線
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1、全等三角形的常見輔助線的添加方法。
2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實(shí)際問題的能力。
三、考點(diǎn)分析：
全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是今后學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ)。判斷三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所給條件充足，則可直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了。
典型例題
人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。
全等三角形輔助線
找全等三角形的方法：
（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；
（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；
（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；
（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。
三角形中常見輔助線的作法：
①延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；
②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；
③引平行線構(gòu)造全等三角形；
④作連線構(gòu)造等腰三角形。
常見輔助線的作法有以下幾種：
（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。
例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。
思路分析：
1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用
2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)橛?/span>BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。
解答過程：
證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，
∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，
∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。
（2）若遇到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。
例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。
思路分析：
1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)。
2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長(zhǎng)AD得全等三角形，從而問題得證。
解答過程：
證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE。
又因?yàn)?/span>AD是BC邊上的中線，∴BD=DC
又∠BDE=∠CDA
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
∵AD是∠BAC的平分線
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長(zhǎng)此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。
（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。
例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。
思路分析：
1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。
2）解題思路：因?yàn)?/span>AC是∠BAD的平分線，所以可過點(diǎn)C作∠BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。
解答過程：
證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。
∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF。
在Rt△CBE和Rt△CDF中，
∵CE=CF，CB=CD，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°。
解題后的思考：
①關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；
②見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。
（4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”
例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。
求證：DE=DF。
思路分析：
1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：作平行線。
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