變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式的恒等變換，幾何中有圖形的變換。在初等幾何中，圖形變換是一種重要的思想方法，它以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)處理孤立靜止的幾何問(wèn)題，往往在解決問(wèn)題的過(guò)程中能夠收到意想不到的效果。
圖形的變換通常有三種：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，由此可帶來(lái)圖形的全等變換和相似變換。會(huì)產(chǎn)生不同的幾何模型，如：“半角模型”，“手拉手模型”，“中點(diǎn)模型”等等，如果我們善于運(yùn)用幾何模型將給我們解題帶來(lái)極大的幫助。
本文將從圖形變換的角度來(lái)解讀“全等變換模型”和“相似變換模型”。
A：全等變換模型：
常見(jiàn)于：平行等線段和共頂點(diǎn)等線段。
（一）平移全等變換：平行等線段（常見(jiàn)于平行四邊形）
（二）翻折全等變換：角平分線或垂直或半角
（三）旋轉(zhuǎn)全等變換：相鄰等線段繞公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)
說(shuō)明：平移變換有以下一些性質(zhì)：
①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。
②在平移變換下兩點(diǎn)之間的方向保持不變。
③在平移變換下兩點(diǎn)之間的距離保持不變。
在解初等幾何問(wèn)題時(shí)，常利用平移變換使分散的條件集中在一起，具有更緊湊的位置關(guān)系或變換成更簡(jiǎn)單的基本圖形。
說(shuō)明：以角平分線為對(duì)稱(chēng)軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作角兩邊的垂線，形成對(duì)稱(chēng)全等。兩邊進(jìn)行邊或角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。
垂直同樣也可以做軸進(jìn)行對(duì)稱(chēng)全等。
說(shuō)明：上圖依次是45°、30°的三角形對(duì)稱(chēng)（翻折），翻折形成正方形或等邊三角形等的對(duì)稱(chēng)全等。（半角可以為任意角去折疊，常見(jiàn)度數(shù)還有22.5°半角）
說(shuō)明：軸對(duì)稱(chēng)有如下性質(zhì)：
①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。
②在反射變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’和B’，則有直線AB和直線A’B’所成的角的平分線為l。
③兩點(diǎn)之間的距離保持不變，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’和B’，則有AB＝A’B’。
中小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多圖形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，利用這些圖形的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，可以幫助我們解決一些計(jì)算和證明的幾何問(wèn)題。
（三）旋轉(zhuǎn)全等變換：半角旋轉(zhuǎn)、自旋轉(zhuǎn)、共旋轉(zhuǎn)、中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)、對(duì)角互補(bǔ)模型
旋轉(zhuǎn)全等變換之一：半角模型：
說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是“相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角”，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，形成旋轉(zhuǎn)全等（本題還可將半角移出形外構(gòu)造，思路相同，不再展示。）
旋轉(zhuǎn)全等變換之二：自旋轉(zhuǎn)模型（Y型模型）：
有一對(duì)相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等。
構(gòu)造方法：遇60°旋60°，造等邊三角形；
遇90°旋90°，造等腰直角三角形；
遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等；
遇中點(diǎn)旋180°，造中心對(duì)稱(chēng)。
說(shuō)明：“旋轉(zhuǎn)出等腰，等腰可旋轉(zhuǎn)”，當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞其鄰邊的公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置，將分散的條件集中起來(lái)，從而解決問(wèn)題。
旋轉(zhuǎn)全等變換之三：共旋轉(zhuǎn)模型：
有兩對(duì)相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等。
說(shuō)明：共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（即“手拉手”模型）可適用于任意共頂點(diǎn)的等腰三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，均能通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形。旋轉(zhuǎn)過(guò)程中第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)常考察的內(nèi)容。（由“8字型”可以證明角度問(wèn)題）
模型變形：
說(shuō)明：模型的變形主要用于兩個(gè)正多邊形或等腰三角形夾角的變化，也可是等腰直角三角形與正方形的混用。（其他變形不再展示）
旋轉(zhuǎn)全等變換之四：對(duì)角互補(bǔ)模型
旋轉(zhuǎn)全等變換之五：費(fèi)馬旋轉(zhuǎn)模型：
說(shuō)明：費(fèi)馬旋轉(zhuǎn)可以改為任意角，初中階段參考意義不大。
說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)變換有以下一些性質(zhì)：
①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。
②在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’和B’，則有直線AB和直線A’B’所成的角等于θ。
③在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’和B’，則有AB＝A’B’。
在解決幾何問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保持，但通過(guò)改變其位置，組合成新的圖形，便于計(jì)算和證明。
B：相似變換：
旋轉(zhuǎn)相似變換：常見(jiàn)的有共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型、對(duì)角互補(bǔ)模型
共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型：（借用談志國(guó)老師名詞---一轉(zhuǎn)成雙！漂亮?。?/span>
說(shuō)明：任意兩個(gè)相似三角形旋轉(zhuǎn)形成一定的角度，構(gòu)成新的旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8字型”的規(guī)律。
對(duì)角互補(bǔ)模型：
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