試題呈現(xiàn)：
（2018淮安卷26題）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”。
（1）若ΔABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C>90°，∠A＝60°，則∠B＝ °；
（2）如圖①，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的角平分線，不難證明ΔABD是“準(zhǔn)互余三角形”。試問在邊BC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得ΔABE也是“準(zhǔn)互余三角形”？若存在，請(qǐng)求出BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。
（3）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且ΔABC是“準(zhǔn)互余三角形”，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)。
本題是全卷的精華之處和點(diǎn)睛之作，值得仔細(xì)品味分析。
一、試題特色與主要解法
試題特色：構(gòu)思獨(dú)特、設(shè)計(jì)巧妙，圖形簡(jiǎn)潔、內(nèi)涵豐富，梯度明顯、聯(lián)系緊密。
試題結(jié)構(gòu)：
（1）定義新概念：2α+β＝90°；
（2）直接應(yīng)用概念列方程解題（難度：易）；
（3）直接構(gòu)造圖形結(jié)合相似三角形解題（難度：中）；
（4）利用變換轉(zhuǎn)化構(gòu)造圖形應(yīng)用新概念及相似三角形、勾股定理解題（難度：難）。
本道題目包含三層難度的問題，面向全體學(xué)生，讓他們各施其能各有所得，層次分明，結(jié)構(gòu)清晰。
所含基本知識(shí)：三角形內(nèi)角和、勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)、角平分線、等腰三角形等初中階段重點(diǎn)內(nèi)容。
所含思想方法：分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、運(yùn)動(dòng)變換、數(shù)學(xué)建模等。
解法思路：解決閱讀理解型問題既要仔細(xì)“閱讀”又要充分“理解”。在閱讀題目中所提供的新概念或新方法的同時(shí)，要用已有知識(shí)對(duì)其進(jìn)行解釋、推理，得出一些新的東西。
如看完定義條件“2α+β＝90°”應(yīng)該想到什么，作何推理？
（1）α、β只能是銳角，且α+β<>
（2）α、β中已知一個(gè)角度即可求另一個(gè)角度。
（3）稍作推理可構(gòu)造出幾種基本圖形：
第1種：如下圖所示，可構(gòu)造含角平分線的直角三角形；
第2種：如下圖所示，可構(gòu)造含母子型相似的直角三角形。
第3種：如下圖，構(gòu)造直角三角形+等腰三角形；
第4種：如下圖，構(gòu)造直角三角形+母子相似形。
再作分析推理可知：第2種圖形原三角形的各邊都包含在直角三角形和相似三角形中，本身已經(jīng)產(chǎn)生了豐富的數(shù)量關(guān)系，用此圖解決問題應(yīng)該最為簡(jiǎn)單有效。
下面討論一下3個(gè)小問題的解法。
第（1）問：因∠C>90°，α、β只能是∠A或∠B，因2∠A+∠B>90°，所以只有2∠B+∠A＝90°，解得∠B＝15°。
第（2）問：存在E點(diǎn)，滿足2∠B+∠BAE＝90°，由∠BAE≠∠BAD或BE≠BD知E點(diǎn)不與D點(diǎn)重合。
BE長(zhǎng)的求法：
①相似法
②三角法
學(xué)生答題中還出現(xiàn)了下面的解法：
③等腰+雙高+相似
④建系解析法
⑤K形相似
第（3）問：翻折ΔABC或ΔDBC，構(gòu)造出與（2）中相同的圖形即可。
①翻折ΔDBC轉(zhuǎn)化為（2）中的問題
②翻折ΔABC，解法與①類同
③作BE⊥AB得兩對(duì)相似
④作BF⊥BC，EF⊥AB，BG⊥AC
二、考試情況與教學(xué)思考
從學(xué)生答題來看，部分優(yōu)秀學(xué)生思維能力很強(qiáng)，但是用的方法很復(fù)雜，過程很繁瑣，計(jì)算量很大。他們用繁復(fù)的方法歷經(jīng)百轉(zhuǎn)千回最終也求出了正確結(jié)果，對(duì)此我表示既表示佩服，也表示同情，把本來很簡(jiǎn)單的事做得很辛苦。
本題總體得分率較低，很多學(xué)生理解能力、分析能力較差，解題思路不清晰，邏輯推理不嚴(yán)密，失分很嚴(yán)重。
學(xué)生答題情況反映了學(xué)生的學(xué)習(xí)存在的問題，也折射出我們平時(shí)的教學(xué)存在的問題，總結(jié)有以下幾個(gè)方面。
1.審題不明，分析能力弱。
解題思路從哪里來？
任何問題的解決都要從兩方面結(jié)合進(jìn)行分析、判斷、選擇、應(yīng)用：
（1）問題情境中的信息；（2）所學(xué)的知識(shí)與方法。
如很多同學(xué)感到最難的第（3）問，仔細(xì)分析問題，題中至少有5個(gè)方面的線索在無聲地提示我們作輔助線的方法：
①定義“2α+β＝90°”告訴我們與直角三角形有關(guān)，過C作垂線可得ΔACE～ΔCBE。
②條件“∠ABD＝2∠BCD”告訴我們把ΔBCD沿BC翻折可得∠ABD＝∠DCE。
③條件“AB＝7，CD＝12”告訴我們應(yīng)該把分散的條件集中同樣把ΔBCD沿BC翻折使AB、CD居于同一個(gè)直角三角形中。
④由“∠ABD＝2∠BCD＝2x”導(dǎo)角得∠DBC＝90°-x，∠ABC＝90°+x，此兩角互補(bǔ)，那么延長(zhǎng)AB或DB即可得∠DBC＝∠EBC。
⑤這個(gè)想法最巧妙最直接最簡(jiǎn)單。聯(lián)系第（2）問，把（2）問圖中的ΔACE或ΔABE沿AE翻折即得第（3）問中的圖形！！如下圖所示，看到這兒是不是恍然大悟？原來題目就是這么命制的，把完整圖形中的部分進(jìn)行運(yùn)動(dòng)變換而分離，解題時(shí)再把變換的部分再變回來！
從以上角度對(duì)問題進(jìn)行分析，解題的方法不難找到，但我們的學(xué)生最缺的就是這種分析能力。
幾何綜合題作輔助線是一個(gè)世界性的難題，原因是學(xué)生不能深刻理解作輔助線的根本邏輯，只是依靠記憶模仿或盲目嘗試僅著眼于局部圖形，而不是依靠分析推理從全局高度思考獲得的。這需要平時(shí)教學(xué)進(jìn)行相應(yīng)的培養(yǎng)訓(xùn)練，從整體的角度、從聯(lián)系的角度、從條件有效利用的角度、從補(bǔ)充完整圖形的角度去思考分析問題。我在前面曾撰文，提倡把構(gòu)造“輔助線”改為構(gòu)造“輔助形”。一個(gè)是從樹木到樹木，一個(gè)是從樹木到森林；一個(gè)是偶然的，一個(gè)是必然的；一個(gè)是依據(jù)感性直覺，一個(gè)是依據(jù)理性分析；孰優(yōu)孰劣顯而易見。
相關(guān)論述文章詳見：
①升維思考精準(zhǔn)構(gòu)造：從輔助線到輔助形；②數(shù)學(xué)解題：邏輯為王
2.思維不活，應(yīng)變能力差。
如第（2）問，很多學(xué)生沒有看到圖中本身已有的相似圖形，用最簡(jiǎn)潔的方法去解決，而是重新構(gòu)造了含角平分線的直角三角形去解決。出現(xiàn)最多的是下面這種圖：
原因?yàn)楹危?/span>
他們是受到圖①的影響，產(chǎn)生了思維定勢(shì)，只想到把相等的兩個(gè)銳角合在一起，而沒有想到另一種更容易做的圖形，或者沒有看出來圖中所含的ΔACE～ΔBCA，導(dǎo)致整個(gè)過程變得很繁瑣，把原本簡(jiǎn)單的事搞復(fù)雜了。
第（3）問的答題也存在同樣的問題，沒有構(gòu)造出簡(jiǎn)單易解的圖形，而且不知道隨機(jī)應(yīng)變及時(shí)調(diào)整，一條道走到黑，到做不下去的時(shí)候，他們寧愿胡亂湊出一個(gè)答案也不改變方向重新分析問題尋找思路。
我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中不能剝奪學(xué)生分析、試錯(cuò)、調(diào)整、判斷的過程經(jīng)歷，要讓學(xué)生體驗(yàn)什么時(shí)候需要改變思路調(diào)整方向，以及如何回到起點(diǎn)重新分析問題改變思路，以獲得不同的解決方案，并能判斷何種方法最簡(jiǎn)單直接高效。
3.表達(dá)不清，邏輯思維弱。
如第（2）問的解答需先判斷存在與否，再說明理由，求出結(jié)果。但很多同學(xué)在整個(gè)解答過程中都沒有提及異于D點(diǎn)的E點(diǎn)是否存在，從而導(dǎo)致失分。還有的同學(xué)解題過程中邏輯鏈不完整，所需條件沒有證明或計(jì)算，結(jié)論也沒有依據(jù)直接得到。另外，有的同學(xué)作輔助線使一條線同時(shí)滿足2個(gè)條件，出現(xiàn)了像“作∠BCE＝∠BCD，且CE⊥AB”這樣的邏輯性錯(cuò)誤。
平時(shí)教學(xué)中要訓(xùn)練學(xué)生有條理有邏輯地表達(dá)，解題過程要“條件有來源，結(jié)論有依據(jù)”。
4.基礎(chǔ)不實(shí)，推理意識(shí)差。
學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的掌握不熟練，在解決問題時(shí)不能自覺地利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理判斷。
如第（1）問的答案很多同學(xué)給了“30°”，很明顯稍作推理可知“2×30°+60°≠90°”。
再如第（2）問對(duì)角的關(guān)系稍作推理可知圖中含有基本圖形－“母子相似形”，很多同學(xué)對(duì)這種基本圖形不熟悉不認(rèn)識(shí)，反而去構(gòu)造復(fù)雜的“二倍角模型”，甚至用了高中的“倍半角三角函數(shù)公式”。
又如第（3）問，學(xué)生如果掌握解決這類問題要“前后聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化”的基本方法，就容易想到通過翻折變換得到第（2）問中的圖形，再用（2）的方法解決。
數(shù)學(xué)建模是解決問題的根本方法，那么何為“數(shù)學(xué)模型”？
廣義來說，每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法都是一個(gè)基本的“數(shù)學(xué)模型”，只要針對(duì)問題構(gòu)造出合適的“數(shù)學(xué)模型”，問題即告解決。
有些老師在教學(xué)中教授了名目繁多的各種“特殊模型”，讓學(xué)生在解題中去套用模型。模型當(dāng)然可以總結(jié)，也可以用，但前提是：能深刻理解基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法（或稱基本模型）并且能對(duì)該模型的形成過程熟練掌握。否則模型過多過濫會(huì)造成學(xué)生死記硬背食而不化，徒然增加負(fù)擔(dān)，還會(huì)使思維機(jī)械僵化。
教學(xué)中要以基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法為重點(diǎn)，只要能深刻理解熟練掌握這些基本模型，其它所有復(fù)雜的特殊的模型都可以分解成這些基本模型。引導(dǎo)學(xué)生把問題與模型、模型與知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，形成整體性本質(zhì)性的認(rèn)識(shí)。這才是教和學(xué)的根本所在，以理解為核心，以生長(zhǎng)為目的，使學(xué)生的思維得以發(fā)展，智慧得以生成，綜合素質(zhì)得以提升，從而越學(xué)越透徹、越學(xué)越輕松。
2018年淮安中考數(shù)學(xué)卷第26題是一道好題，概念簡(jiǎn)約、圖形簡(jiǎn)潔，而內(nèi)涵豐富、思維豐實(shí)。此題的解決過程體現(xiàn)了學(xué)習(xí)新概念的一般方法和規(guī)律，能有效考查和訓(xùn)練學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可謂簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單。
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