若人們不相信數(shù)學簡單，只因他們未意識到生命之復雜。
－馮·諾依曼
讀書之妙在于與作者發(fā)生共鳴，并且產(chǎn)生一種表達的欲望，把所讀內(nèi)容重新整合消化成為自己的東西。這一過程和吃飯消化是一樣的，不管你吃的豬肉還是牛肉，最后都成為自己的新的身體組織。即使自己的思考發(fā)現(xiàn)與前人的思考成果相同，對個人而言，仍然是一種創(chuàng)造和突破。
人類的強大在于他的思維，并且他的思維具有持續(xù)的成長性。人類思維使混沌的模糊的難以把握的復雜現(xiàn)象變?yōu)橛行虻木_的易于掌控的簡潔模型，正因為人們把所有復雜的操作全部轉化為最簡單的二進制運算，所以人類才能創(chuàng)造出像計算機這樣精密的可控制的多功能的無與倫比的強大工具。
任何一個學科只有經(jīng)過數(shù)學化，才可能應于實踐，成為生產(chǎn)生活的工具，這正是數(shù)學的有序性、精確性決定的。處理任何事務，數(shù)學的思想方法和思維方式都是很有幫助的，因而，數(shù)學的學習決不能滿足于埋頭做題而沒有對數(shù)學思維數(shù)學精神的領悟。
數(shù)學題的解決正是體現(xiàn)了把信息有序化、精確化（也就是模型化、簡單化）的過程，如何把問題簡單化？如何高效解決問題？我們從具體實例來領悟吧。
二、簡單化的方法：加減、進退、分合、動靜、數(shù)形，目標是構造模型建立聯(lián)系，從而解決問題。
1.舉一個網(wǎng)上的趣題：王老板是賣鞋的，進價50元的鞋30元虧本甩賣，顧客來買鞋給了50元，王老板沒零錢找鄰居換了50元零錢找給了顧客，事后鄰居發(fā)現(xiàn)50元是假錢，王老板又賠給鄰居50元，問王老板在這次交易中虧了多少錢？這道題繞住了不少人，其實稍有數(shù)學素養(yǎng)的人對這個問題很快可以簡單化：鄰居不虧不賺可以忽略不計，顧客付出的價值為0，得到50元的鞋和20元找零，顧客得到的就是王老板所虧的，顯然王老板虧了70元。這就是“減”法，把無關緊要的信息忽略，抓住有效關系解題。
另外一個與書中類似的例子：在一條水流速度為3km/h的大河里，漁夫逆水開船而上，途中風把漁夫帽子吹落水中順水漂走，漁夫把船開到離帽子5km的地方才發(fā)現(xiàn)帽子落水，于是他立刻掉頭開船向帽子追去，若漁夫開船的速度是10km/h，他是在下午2點丟失帽子的，請問他何時能追上帽子？細思一下本題會發(fā)現(xiàn)，帽子和漁夫始終都在水中運動，水流速度對人和帽子的影響是相同的，我們在地球上計算有關運動問題考慮過地球的運動速度嗎？肯定不用，完全可以把地球當成靜止不動的。本題中直接忽略水流速度，當成在靜止的水中運動，很簡單得到結果：帽子落水后船追到帽子所走的路程為10km，用時1h，所以能在下午3時追上帽子。
2.已知(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求證:x-y=y-z.
本題解法比較多，如果直接把原等式展開的話很麻煩，我們從題目的整體結構及組成元素來看，題中多次出現(xiàn)x-y、y-z，而x-z似乎是一個障礙，需要進行轉化，我們用“加”法，添加-y+y即可，x-z=x-y+y-z，這樣形成關于x-y與y-z的完全平方與積的形式，[(x-y)+(y-z)]2-4(x-y)(y-z)=0，得[(x-y)-(y-z)]2=0，得(x-y)-(y-z)=0，即得x-y=y-z。從整體觀點簡化一下原式實質(zhì)就是(m+n)2-4mn=(m-n)2。這里是在問題條件中添加補充關聯(lián)元素，使之出現(xiàn)數(shù)學模型，產(chǎn)生數(shù)學關系。再如：分解因式4x4+1=4x4+1+4x2-4x2=(2x2+1)2-(2x)2=(2x2+1-2x)(2x2+1+2x)，也是通過添加元素構造數(shù)學模型。
3.100名乒乓球 選手采用淘汰制爭奪單打冠軍，共需進行多少場比賽？
若直接計算要進行7輪比賽，算出每輪場數(shù)再相加：50+25+12+6+3+2+1=99。其實有更簡單的方法，我們可以換個方向思考：最后的冠軍剩下1人，即99人被淘汰，每場比賽淘汰1人，則很容易得到比賽場數(shù)為99場。
再有一例：一條毛毛蟲由幼蟲長為成蟲每天長大一倍，30天能長到20厘米，請問第幾天長到5厘米？這里我們也不需要從第一天開始計算，可以從最后一天開始倒推，29天長到10厘米，28天長到5厘米。
這是“退”法，即逆向思考，從結果往前追溯，問題就很清楚，很容易解決。
4.曾經(jīng)考過的一道題：說明關于x的方程(x-m)2-(x-m)=0有兩個不相等的實數(shù)根。大多數(shù)學生都很教條，他們不辭勞苦地先把方程展開合并成一般形式，再用根的判別式配方證明△>0，得出結論。這真是舍本逐末，其實我們由原方程很容易直接解出兩根為x=m或x=m+1，顯然m≠m+1，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根。若問題條件與結論有明確的聯(lián)系，我們直接從條件出發(fā)，推進至結論即可。
5.一道趣題：杰克正看著安妮，安妮正看著喬治，杰克已婚，喬治未婚，請問有已婚人士看著未婚人士嗎？ （A.有 B.沒有 C.不能確定）
籠統(tǒng)地看，似乎感覺不能確定，這里我們做個簡單的分類即可輕松解決：若安妮未婚，杰克看著安妮，有已婚人士看著未婚人士；若安妮已婚，安妮看著喬治，仍有已婚人士看著未婚人士，答案顯然是A。
復雜問題可以分類成不同情況或分解為不同部分，然后各個擊破逐步加以解決，“分”是簡單化的重要方法。
再看一道幾何題：Rt△ABC中，AC=BC=2，D為AC的中點，E為BC邊上一個動點，將△DCE沿DE折疊，得△DC′E，M、N分別為AB、BC上兩個動點，則△MNC′的周長最小值為 .
分三步思考：（1）化折為直，要求△MNC′三邊之和最小，一般先“化折”再“化直”，通過沿動點所在直線翻折使三邊變?yōu)檫B續(xù)折線PM、MN、NQ，再使三條折線共線即PQ為最小，如下圖。
（2）動中尋定，圖中有無確定的長度、角度和圖形？由翻折易知∠PBQ=90°，BP=BQ，所以△PBQ的形狀是確定的，它是等腰直角三角形，那么當其中任意一條邊最小時各邊即得最小，所以當PB最小時PQ亦最小。
（3）軌跡定位，動點C′的軌跡是圓弧，由翻折知PB=BC′，轉化為求定點到定圓的最短路徑，即為BC′D共線時，BC′最小為√5-1，由此得出結果最小周長即為PQ=√2PB=√2BC′=√2(√5-1)=√10-√2。
6.已知：圖中有正方形ABCD、正方形DEFG、正方形BMFN，求證：四邊形AEFM是平行四邊形.
圖中有三個正方形，可以產(chǎn)生豐富的邊角相等關系，但是從原圖看不出現(xiàn)成的幾何模型，顯然是缺少點什么。也許有經(jīng)驗的解題者會構造出下面的圖形：
圖中出現(xiàn)了兩組“手拉手”形全等，然而卻發(fā)現(xiàn)這對解題并沒有直接的幫助。我們做個“減”法就會明白上圖所構造出來的兩個三角形與問題結論缺少緊密的關聯(lián)，因為圖中的G、C、N三點根本就是冗余的圖形，把這三個點刪掉對問題沒有影響，如下圖：
只保留三個等腰直角三角形并不影響結論的成立，現(xiàn)在圖形簡潔明了，我們再用“合”法把等腰直角三角形兩兩組合，就會發(fā)現(xiàn)圖中已然包含兩對“一轉成雙·手拉手”模型，易得△BDF∽△ADE∽△BAM，相似比為1：√2，利用邊的關系證AE=FM，AM=EF，得四邊形AEFM是平行四邊形。（也可以利用角關系證邊平行）
7.例1.已知：ΔABC中，∠C=90°，BD=AC，AE=CD，求證：∠BPD=45°.
結合條件觀察圖形，由兩對相等線段BD=AC，AE=CD，且BD⊥AC，CD⊥AD，也就是說圖中有有兩組邊分別相等，邊的夾角都是90度，只不過有兩條邊是分散的不在一個三角形中，自然想到利用運動變換構造旋轉90度的全等三角形，即把圖中已有的ΔACD旋轉90度移至相應的位置構造出另一個與之全等的三角形。
如下圖，相當于把AE移至BF處組成全等三角形。
下圖是把BD平移至EF處。
下圖是把AE平移至DF處。
下圖是把BD平移至AF處。
8.平面直角坐標系中，A（0，8），B（6，0），M是AB的中點，P是x軸上的一個動點，△BPM沿PM翻折得△CPM，當C點落在直線x=-1上時求C點的坐標.
怎樣思考最清晰明了？C點是動點，我們以“靜”制動，從整個運動過程看，C點的軌跡是圓弧，作出圓弧求與直線x=-1的交點即可，把運動的點轉化成靜止圖形，這樣處理簡單直觀不易遺漏。
9.大李對小王說：“我像你這么大時，你才1歲，你像我這么大時，我已經(jīng)49歲了?！闭垎柎罄詈托⊥踅衲甓啻螅?/p>
如圖，我們把年齡關系用線段長度表示，三條線段即是兩人年齡差，顯然兩人年齡差為16歲，現(xiàn)在年齡分別為33歲、17歲。
圖形可以直觀地表示數(shù)量關系，數(shù)形結合既可以加深對數(shù)學原理的理解，也可以有效地解決數(shù)學問題。
再舉一例：某制衣廠計劃若干天完成一批服裝的訂貨任務.如果每天生產(chǎn)服裝20套，那么就比訂貨任務少100套；如果每天生產(chǎn)服裝23套，那么就可超過訂貨任務20套.這批服裝的訂貨任務是多少套？計劃多少天完成？
如下圖，服裝數(shù)量為面積，每天完成量為一邊長，計劃天數(shù)為一邊長，由面積關系易得所求數(shù)量。
三、反思，讓解題更優(yōu)美：更簡潔、更一般、更特殊
（未完待續(xù)）
學習 思考 實踐 創(chuàng)作
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