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例1：

下列圖形是平行四邊形嗎？是，請(qǐng)證明；不是，請(qǐng)畫圖舉反例．

(1)一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等的四邊形     

(2)兩組對(duì)角分別相等的四邊形                              

(3)有兩對(duì)鄰角互補(bǔ)的四邊形

(4)一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形          

(5)一組對(duì)邊平行，一組鄰角互補(bǔ)的四邊形               

(6)兩條邊相等，并且另外的兩條邊也相等的四邊形

(7)對(duì)角線相等的四邊形

(8)一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形

(9)一組對(duì)邊相等，且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形

(10)一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角(銳角)相等的四邊形   

分析：

平行四邊形的判定方法，課本中介紹了四種，分別是：

①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．

②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．

④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

我們?cè)谧C明一個(gè)圖形是平行四邊形，只能先根據(jù)題目的條件，將其轉(zhuǎn)化為用以上四種中的一種進(jìn)行證明．而有些命題，我們?nèi)绾蝸?lái)判定其是假命題呢？

其實(shí)很簡(jiǎn)單，我們都知道平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，那么其中一條對(duì)角線將其分成的兩個(gè)三角形，必然是全等的，而且關(guān)于對(duì)角線的交點(diǎn)成中心對(duì)稱．而在有些命題中，按條件畫出四邊形后，作出一條對(duì)角線分得的兩個(gè)三角形，卻不全等，而且，十有八九是SSA型，我們下面逐個(gè)作圖解析．

解答：

(1)假命題

反例：如圖，AD∥BC，AB＝CD，四邊形ABCD不是平行四邊形．

反例畫法：先畫平行四邊形ABCD’，以C為圓心，CD’為半徑畫弧，交AD’于點(diǎn)D，則四邊形ABCD是等腰梯形．

解答：

(2)真命題

原因：

∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，

∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°

則2∠A＋2∠B＝360°，∠A＋∠B＝180°，AD∥BC

同理，∠A＋∠D＝180°，AB∥DC，

四邊形ABCD是平行四邊形．

解答：

(3)假命題

反例：如圖，∠A＋∠B＝180°，∠C ＋∠D＝180°，四邊形ABCD不是平行四邊形．

原因：兩個(gè)條件都只能推得AD∥BC．

反例畫法：任意梯形即可．

解答：

(4)真命題

原因：

∵∠A＝∠C，AD∥BC，

∴∠A＋∠B＝180°，

∴∠C＋∠B＝180°，

AB∥DC，四邊形ABCD是平行四邊形．

解答：

(5)假命題

反例：如圖，AD∥BC，∠A＋∠B＝180°，四邊形ABCD不是平行四邊形．

原因：∠A＋∠B＝180°與AD∥BC是重復(fù)條件．

反例畫法：任意梯形即可．

解答：

(6)假命題

反例：如圖，AB＝AD，BC＝DC，四邊形ABCD不是平行四邊形．

原因：雖然連接AC后，可以證明△ABC≌△ADC，但不是成中心對(duì)稱，而是成軸對(duì)稱．

反例畫法：尺規(guī)作圖，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，連接四個(gè)點(diǎn)，構(gòu)造箏形．

解答：

(7)假命題

反例：如圖，AC＝DB，四邊形ABCD不是平行四邊形．

原因：無(wú)全等可以證明．

反例畫法：任意畫兩條相交且相等長(zhǎng)度的線段，順次連接兩條線段的四個(gè)端點(diǎn)．

解答：

(8) 假命題

反例：如圖，AC平分DB，四邊形ABCD不是平行四邊形．

原因：無(wú)全等可以證明．

反例畫法：畫一條線段，取中點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)畫中點(diǎn)兩側(cè)不等長(zhǎng)的線段，順次連接兩條線段的四個(gè)端點(diǎn)．

解答：

 (9) 經(jīng)典假命題(詳見2013年無(wú)錫中考24題)

反例：如圖，AD＝BC，AO＝CO，四邊形ABCD不是平行四邊形．

原因：

△AOD和△COB中，AD＝BC，AO＝CO，∠AOD＝∠COB，兩個(gè)三角形又是SSA，無(wú)法證明全等．

反例畫法：與(1)類似，先畫平行四邊形AB’CD，以C為圓心，CB’為半徑畫弧，交DB’于點(diǎn)B，四邊形ABCD符合條件，但不是平行四邊形．

解答：

(10)經(jīng)典假命題

反例：如圖，AB＝CD，∠B＝∠D，四邊形ABCD不是平行四邊形．

原因：連接AC，△ABC和△CDA中，AB＝CD，AC＝CA，∠B＝∠D，又是SSA，不能構(gòu)造全等．

反例畫法：可以先了解左側(cè)兩種，以后學(xué)了圓會(huì)加深理解．重點(diǎn)掌握右上，構(gòu)造等腰△ABD’，在底邊BD’上任取非中點(diǎn)C，連接AC，將△ACD’沿著AC中垂線翻折到△ACD，則四邊形ABCD符合條件，不是平行四邊形．右下，先構(gòu)造平行四邊形ABC’D’，將△AC’D’繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使C’再次落在BC’上，即為C，則D’旋轉(zhuǎn)后的位置即為D，四邊形ABCD符合條件，但不是平行四邊形．

例2：

下列圖形是矩形嗎？是，請(qǐng)證明；不是，請(qǐng)畫圖舉反例．

(1)有兩個(gè)角是直角的四邊形

(2)對(duì)角線相等且有一個(gè)角是直角的四邊形

(3)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形

(4)一組鄰角相等的平行四邊形

(5)一條對(duì)角線是一條邊長(zhǎng)2倍的平行四邊形

分析：

矩形的判定，有兩大類思路，第一類：間接證明，即先證明平行四邊形，再證矩形；第二類直接證明，即證明四邊形是矩形．

課本中介紹了3種，分別是：

①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．

②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．

③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．

前兩種是間接證明，第三種是直接證明．這道題，只畫反例，或說(shuō)出反例圖形的名稱，相信大家都能理解．

解答：

(1)假命題

反例：直角梯形

(2)假命題

反例：

畫法：構(gòu)造Rt△ABC，∠ABC＝90°，以B為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，在弧上選一點(diǎn)D，連接AD，CD，四邊形ABCD符合對(duì)角線相等且有一個(gè)角是直角，不是矩形．

(3)假命題

反例：

畫法：任意畫兩條互相垂直且相等的相交線段AC，BD，順次連接四個(gè)頂點(diǎn)，四邊形ABCD符合條件，但不是矩形．

(4)真命題

原因：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC，∠A＋∠B＝180°，

又∵∠A＝∠B，∴∠A＝90°，平行四邊形ABCD是矩形．

(5)假命題

反例：

畫法：CD＝1，BD＝2，且∠BDC≠60°即符合要求．

例3：

平面直角坐標(biāo)系中，A(－2，1)，B(－1，－1)，C(0，2)，求點(diǎn)D坐標(biāo)，使這四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形．

分析：

這類題目，我們?cè)谏蠈W(xué)期即已經(jīng)做過(guò)，先畫出三個(gè)點(diǎn)的位置，再作出點(diǎn)D的三種位置，用平移的方法，計(jì)算它的坐標(biāo)．

但是，筆者自己解題時(shí)其實(shí)并不常用這樣的方法，因?yàn)槊看味家媹D，十分麻煩，我想同學(xué)們有的也十分喜歡偷懶，那這次就講一個(gè)偷懶的方法．

但再介紹之前，還是來(lái)看看點(diǎn)D的位置是怎么樣的．

顯然，過(guò)給定的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，作對(duì)邊的平行線，三條平行線的交點(diǎn)即為點(diǎn)D的三個(gè)位置．接下來(lái)，偷懶方法登場(chǎng)：

觀察平行四邊形ABD1C，AD為其對(duì)角線．

觀察平行四邊形ACBD2，AB為其對(duì)角線．

觀察平行四邊形ABCD3，AC為其對(duì)角線．

你發(fā)現(xiàn)了什么？

只要抓住一個(gè)點(diǎn)A，其與其他三個(gè)點(diǎn)的連線，都能作為對(duì)角線，以AD為對(duì)角線為例，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角線互相平分，我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)角線AD和BC 的交點(diǎn)，既是AD的中點(diǎn)，又必然是BC的中點(diǎn)，運(yùn)用中點(diǎn)公式坐標(biāo)，不難得到交點(diǎn)坐標(biāo)是

這三個(gè)公式有什么好處呢？

只需知道3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)只需選定一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再和其他三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別聯(lián)立，代入公式即可得到，無(wú)需畫圖，不易漏解．不妨可以用兩種解法來(lái)對(duì)比下．

解答：

法1：

法2：

顯然，法2無(wú)需畫圖，只需解3個(gè)方程組，對(duì)于數(shù)據(jù)復(fù)雜的題目更有優(yōu)勢(shì)。

例4：

(2016·無(wú)錫)如圖，已知平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線x＝1和x＝4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為_________．

解析：