本文內(nèi)容選自2021年江西中考數(shù)學(xué)壓軸題。以三角形的角度關(guān)系為背景進(jìn)行問題探究，題目設(shè)計(jì)巧妙。
本題主要是幾何求值問題，可以利用相似等知識(shí)進(jìn)行求解。
【中考真題】
（2021·江西）課本再現(xiàn)
（1）在證明“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，小明只撕下三角形紙片的一個(gè)角拼成圖1即可證明，其中與相等的角是 ；
類比遷移
（2）如圖2，在四邊形中，與互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形中這對(duì)互余的角可類比（1）中思路進(jìn)行拼合：先作，再過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，發(fā)現(xiàn)，，之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
方法運(yùn)用
（3）如圖3，在四邊形中，連接，，點(diǎn)是兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接，．
①求證：；
②連接，如圖4，已知，，，求的長(zhǎng)（用含，的式子表示）．
【分析】
（1）根據(jù)全等關(guān)系，可以得到∠A=∠ACE′。
（2）根據(jù)△ADE為直角三角形，利用勾股定理可以得到相應(yīng)的結(jié)論。
（3）①根據(jù)條件，可以得到△ADC的外接圓圓心為O，利用圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理與等腰三角形的性質(zhì)，可以得到結(jié)論。
②求BD的值，需要考慮建立直角三角形，或者利用其他的邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行求解。有了前面的鋪墊就可以考慮構(gòu)造相應(yīng)的圖形進(jìn)行解決問題。
觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)△DCT∽△BAC，邊長(zhǎng)比為1:2：√5。進(jìn)而可以得到△ACT∽△BDC。再根據(jù)勾股定理先求出AT，利用相似比求出BD的長(zhǎng)即可。
【答案】（1）解：如圖1中，由圖形的拼剪可知，∠A=∠ACE′。故答案為：∠A=∠ACE′。
（2）解：如圖2中，
，，
，
．
故答案為：．
（3）①證明：如圖3中，連接，作的外接圓．
點(diǎn)是兩邊垂直平分線的交點(diǎn)
點(diǎn)是的外心，
，
，
，
，，
，
．
②解：如圖4中，在射線的下方作，過點(diǎn)作于．
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
聯(lián)系客服
