中考數(shù)學(xué)關(guān)于正方形中的相似三角形和全等三角形的壓軸題，有時(shí)讓人有一種像是在玩迷宮的感覺(jué)。如果沒(méi)有找到突破口，就怎么也轉(zhuǎn)不出來(lái)，很有可能把自己給轉(zhuǎn)迷糊了，因此平時(shí)一定要多練，積累經(jīng)驗(yàn)，才有可能在中考考場(chǎng)上完成這種“迷宮游戲”。
如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE并將其繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到CF，連結(jié)DF，以CE，CF為鄰邊作矩形CFGE，GE與AD、AC分別交于點(diǎn)H、M，GF交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.
(1)證明：點(diǎn)A，D，F(xiàn)在同一條直線上；
(2)隨著點(diǎn)E的移動(dòng)，線段DH是否有最小值？假設(shè)有，求出最小值；假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)連結(jié)EF，MN，當(dāng)MN//EF時(shí)，求AE的長(zhǎng).
分析：(1)這類幾何壓軸題，往往連第(1)小題都要求有較好的邏輯思維能力。這里可以通過(guò)證明CD垂直于FD，以及正方形的性質(zhì)，CD垂直于AD，來(lái)確定A，D，F(xiàn)三點(diǎn)在同一條直線上，依據(jù)是“過(guò)一點(diǎn)D，有且只有一條直線垂直于直線CD”。也可以通過(guò)證明角CDF是直角，加上正方形的內(nèi)角ADC也是直角，從而知道角ADF是一個(gè)平角，來(lái)證明A，D，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上。兩種證明方法，原理上是相同的。證明三點(diǎn)在同一直線上這類題型，往往是學(xué)生最薄弱的。
(2)利用相似三角形邊的比例關(guān)系，列出DH關(guān)于BE(或AE)的二次函數(shù)，化為頂點(diǎn)式，自然就有答案了。也可以列AH關(guān)于BE(或AE)的二次函數(shù)，化為頂點(diǎn)式，得到AH的最小值，自然就有DH的最大值了。因?yàn)镈H=AD-AH=1-AH.
(3)開(kāi)始轉(zhuǎn)“迷宮”。如果老黃不直接告訴大家“出口”在哪里。你能找到“出口”嗎？當(dāng)然，這類“迷宮”的“出口”肯定不只一個(gè)。但有些好走，有些難走。
這個(gè)小題，老黃找的“出口”是AM=AH，運(yùn)用的方法是方程法。從“出口”倒推到自己目前所處的位置（已知條件）：只要證明AM=AH，就可以由AM=AC-CM，而AC易化為關(guān)于AE的式子，CM則等于CN，利用相似三角形的邊的比例關(guān)系，就能找到含AE的式子來(lái)表示CM，加上第(2)小題，已經(jīng)得到AH關(guān)于AE的表達(dá)式，或者可以推出這個(gè)表達(dá)式，從而列得關(guān)于AE的一元方程，并解得AE。而要證明AM=AH，可以通過(guò)證明三角形AMH是一個(gè)等腰三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)，只要通過(guò)角的等量替換關(guān)系就可以做到。CM=CN則可以通過(guò)全等三角形的關(guān)系證明。
下面組織解題過(guò)程：
證明：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有CF=CE，∠ECF=90度，∴∠DCN=∠BCE(同角等余)
又CD=CB, ∴△DCN≌△BCE(SAS)，∴∠CDE=∠B=90?，
又∠ADC=90?，∴點(diǎn)A，D，F(xiàn)在同一條直線上.
解：(2)易證△AEH∽△BCE，∴AE:BC=AH:BE,
AH=AE·BE/BC=AE(1-AE)=-AE^2+AE=-(AE-1/2)^2+1/4,
即，當(dāng)AE=1/2時(shí)，AH=1/4最大，DH=3/4最小.
(3)當(dāng)MN//EF時(shí), 易證△CEM≌△CFN, ∴CN=CM,
又∠AMH=∠CME，∠AHM=∠EHG，且∠CME=∠EHG, ∴∠AMH=∠AHM.
∴AM=AH, 又△CFN∽△CBE, ∴CN/CE=CF/CB=CE,
CN=CE^2=BC^2+BE^2=1+(1-AE)^2=AE^2-2AE+2,
AM=AC-CM=根號(hào)2AB-CN=根號(hào)2-AE^2+2AE-2=-AE^2+AE,
解得：AE=2-根號(hào)2.
這類“迷宮”問(wèn)題，就算轉(zhuǎn)不出來(lái)，也千萬(wàn)不要放棄，只要在“迷宮”中的各處標(biāo)上記錄，就是多證明一些線段相等，角相等，三角形相似或全等，這些都有可能拿到分?jǐn)?shù)。最后就算走不出來(lái)，也不會(huì)被扣多少分，也就扣一分或者兩分罷了。
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