正弦（sine），數(shù)學術語，是三角函數(shù)的一種，在直角三角形中，任意一銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA（由英語sine一詞簡寫得來），即sinA=∠A的對邊/斜邊。

圖1

在Rt▲ABC中∠C=90°。對∠A而言，對邊BC=a、斜邊AB=c、鄰邊AC=b，則存在以下關系：

歷史溯源

一、《和弦表》

三角函數(shù)的誕生源于人們對“測量技術”的需求。古希臘天文學家喜帕恰斯（Hipparchus，c.?190 – c.?120 BC）為了測量天球上的角度和距離，制作了人類歷史上第一張“和弦表”（a table of chords），也被稱為三角學的創(chuàng)始人。為了研究天文學，喜帕恰斯創(chuàng)立了三角學和球面三角學 。喜帕恰斯留下大量的觀測資料。幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自喜帕恰斯之手，托勒密只是從他的書中摘出。從托勒密定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于四點共圓性的基本性質。

所謂“和弦”即圓上兩點之間的連線（更一般的也可以指任意曲線上的兩點連線），如圖2所示，設∠AOB=α是圓上的圓心角，則AB即為圓心角所對應的和弦長度。

圖2

想象A和B是天球上的兩顆星，AB的距離就等于喜帕恰斯的和弦。如果采用現(xiàn)在我們熟知的正弦來計算，則有chord(α)=AB=2r*sin(α/2)，這里，r為圓半徑；chord(α)表示角α所對應的和弦?？梢?，喜帕恰斯的“和弦表”本質上就是正弦表?！昂拖摇钡囊话朐俪詧A的半徑就是正弦，因此正弦也被稱為半和弦。喜帕恰斯所設想的圓半徑為3438個單位，在他的“和弦表”，每7.5度為一個增量，喜帕恰斯也成為了第一個系統(tǒng)使用一個圓有360度的人。

二、《幾何原本》

《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得創(chuàng)作的一部數(shù)學著作，成書于公元前300年左右。《幾何原本》共13卷，其中：第1卷研究了三角形全等的條件、三角形邊和角的大小關系、平行線的理論、三角形和多角形等積的條件；命題12和13本質上給出了鈍角和銳角余弦公式。如命題12為：

在鈍角三角形中，鈍角所對邊的正方形（平方的意思）等于鈍角兩邊的正方形之和在加上鈍角邊乘以該鈍角邊向外延伸，被該邊上垂線截斷部分的長。

圖3

圖3所示，鈍角△ABC，BH⊥AC于H，則對邊長為：AB2=AC2+BC2+2*AC*BC*cos(π-γ)
很明顯就是我們熟知的余弦定理。

三、《斷弦定理》

阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學家、百科式科學家、數(shù)學家、物理學家、力學家，靜態(tài)力學和流體靜力學的奠基人，并且享有“力學之父”的美稱，阿基米德和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學家。公元前3世紀，阿基米德提出了斷弦定理，相當于現(xiàn)在三角函數(shù)的和差化積公式。斷弦定理描述為：如圖4所示，設AB和BC組成了圓上的斷弦，有BC >AB，若M是ABC弦的中點，過M作BC的垂線，垂足為D，則有AB+BD=DC

圖4

假定單位圓上令弧MC=2x，弧BM=2y，則弧AB=2x-2y。更進一步，可以利用正弦求出對應弦長，即AB=2sin(x-y)，BM=2siny，MC=2sinx。根據(jù)圓心角是圓周角的2倍，
可知BD=BM·cosx=2siny·cosx，DC=MC·cosy=2sinx·cosy。
將其代入斷弦公式，可得和差化積公式：sin(x-y)=sinx·cosy-cosx·siny

四、《球面學》

梅涅勞斯，公元70～140年，古希臘數(shù)學家，天文學家。青年時期求學于Alexandria，后定居于Rome。他第一個認識到曲面上的測地線（geodesics）可以類比于平面上的直線。梅涅勞斯的諸多著作中只有《球面學》以阿拉伯文的譯本形式流傳下來，其后有各種校訂本，著名的曼蘇爾的修訂本，現(xiàn)存于萊頓大學圖書館。

《球面學》（約公元98年）全書共3卷，在第一卷中，他建立了球面三角形的原理，他發(fā)現(xiàn)在球面上，三角形只要對應角相等，兩個球面三角形就相等，而且球面三角形的內角和大于180度。這似乎已經(jīng)是非歐幾何了。卷二主要是建立一些對天文學有用的命題，卷三才開始正式球面三角學的論述。第一個命題就是球面的“梅涅勞斯定理”，現(xiàn)在在平面幾何和射影幾何中有平面的“梅涅勞斯定理”，俗稱“梅氏定理”。

五、《天文學大成》

克羅狄斯·托勒密（Claudius Ptolemaeus,）“地心說”的集大成者，約公元90年出生于埃及的托勒馬達伊，曾在亞歷山大城居住和工作，168年去世。托勒密最重要的著作《天文學大成》中，記載著一些他本人所作的天文觀測，這是確定他生活年代、工作地點的最可靠的資料。

托勒密在《天文學大成》中擴展了喜帕恰斯的和弦表，托勒密以1/2增量，給出了從1/2度到180度的和弦表。托勒密的和弦表借助于托勒密定理驗算，該定理給出了圓內接四邊形的四邊與兩條對角線之間的關系，如圖5所示，四邊與對角線的關系為AC·BD=AB·CD+BC·AD。

圖5

只需令AB、BC和CD分別對應所對應的內接角（圓周角）分別為α，β，γ，利用圓心角是圓周角的兩倍，設圓半徑為r，則有AB=2r·sinα，BC=2r·sinβ，CD=2r·sinγ，則有：
AD=2r·sin(180°-(α+β+γ))，AC=2r·sin(α+β)，BD=2r·sin(β+γ)。
代入托勒密定理，即可得sin(α+β)·sin(β+γ)=sinα·sinγ+sinβ·sin(α+β+γ)。

也就是我們現(xiàn)在熟悉的積化和差公式，差別只是托勒密使用的是和弦，而不是我們熟悉的正弦和余弦。托勒密還得到了半角公式的等價形式：sin2(x/2)=(1-cosx)/2

六、《畢達哥拉斯定理》

也就是勾股定理，畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年~約前500（490）年），古希臘數(shù)學家、哲學家。由于畢達哥拉斯已經(jīng)知道了畢達哥拉斯定理，在三角運算中，很容易由畢達哥拉斯定理導出三角恒等式，即sin2x+cos2x=1。

七、《悉達多》

公元4-5世紀，三角學在印度得到了非常重要的發(fā)展，在一本名為Siddhānta（譯為：悉達多，字面意思為“既定的意見、教義、公理或被承認的真理”）的天文學著作中正確的給出了正弦的定義。而后，印度數(shù)學家、天文學家Aryabhata（公元 476-550）在他的著作Aryabhatiya中給出了完整的三角函數(shù)表達，他們以jya表示正弦sin，kojya表示余弦cos，utkrama-jya表示正矢（1減去某角度的余弦，即1-cosθ），otkram jya 表示反正弦arcsine。

七、《花刺子密表》

阿爾·花拉子模（ 英語：Al - Khwarizmi，約780～約850），全名穆罕默德·本·穆薩·阿爾·花剌子模(Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy)，拉丁名阿爾戈利茲姆(Algorismus)。出生于阿拉伯帝國大呼羅珊地區(qū)的花剌子模。波斯數(shù)學家、天文學家、地理學家。代數(shù)與算術的整理者，被譽為“代數(shù)之父”?；ù套用艿谝淮巫龀隽苏斜?；

阿拉伯馬爾瓦齊（Ahmad ibn 'Abdallah Habash Hasib Marwazi, 766 - 869）給出了余切，并完整的應用了正弦、余弦、正切、余切；巴塔尼（Al-Battani, c.858–929）發(fā)現(xiàn)了正割(sec)和余割(csc)函數(shù)，并制作了第一張從1°到90°每個度數(shù)的余割表。至此，六個三角函數(shù)全部具備了，三角函數(shù)之間的相互運算（如和差化積、積化和差）也具備了。

八、《大測》

三角學輸入中國，開始于明崇禎4年（公元1631年），這年鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》，作為歷書的一部分呈獻給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學?！洞鬁y》主要講造表法、用表法和三角八線的性質。所用公式為“三要法。和“二簡法”。其中許多名詞，如弦、正弦、余弦、余切，余割等，沿用至今。還涉及了平面三角形的正弦定理、余弦定理、正切定理及直角三角形解沾等。在三角測量方面，本書不談球面三角法是一缺憾。序言稱“大測者，測三角形法也”?！皽y天者所必須，大于他測，故名大測”。

在《大測》中，首先將sine譯為”正半弦”，簡稱”正弦”，這就成了“正弦”一詞的由來。

《大測》創(chuàng)作背景：玉涵字函璞，瑞士人。萬歷時來中國。崇禎二年因徐光啟薦，參與修歷。據(jù)推斷該書是依德國畢笛斯克斯(1561—1613)《三角法》和荷蘭斯臺汶(1548—1620)(數(shù)學記錄》編譯成書。成書于崇楨四年。收入《崇禎歷書》。又收入《古今圖書集成·歷法典》。