三角函數(shù)的誕生源于人們對“測量技術(shù)”的需求。古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（Hipparchus，c.190 – c.120 BC）為了測量天球上的角度和距離，制作了人類歷史上第一張“和弦表”（a table of chords），也被稱為三角學(xué)的創(chuàng)始人。所謂“和弦”即圓上兩點(diǎn)之間的連線（更一般的也可以指任意曲線上的兩點(diǎn)連線），如圖1所示，設(shè)∠AOB=α，是圓上的圓心角，則AB即為圓心角所對應(yīng)的和弦長度。想象A和B是天球上的兩顆星，AB的距離就等于喜帕恰斯的和弦。如果采用現(xiàn)在我們熟知的正弦來計算，則有這里，r為圓半徑；chord(α)表示角α所對應(yīng)的和弦?？梢姡才燎∷沟?/span>“和弦表”本質(zhì)上就是正弦表。“和弦”的一半再除以圓的半徑就是正弦，因此正弦也被稱為半和弦。喜帕恰斯的“和弦表”中，每7.5度為一個增量，喜帕恰斯也成為了第一個系統(tǒng)使用一個圓有360度的人。圖2 Hipparchus（約前190-約前120）在喜帕恰斯前幾個世紀(jì)，古埃及人和古巴比倫人已經(jīng)積累了許多三角形邊比的性質(zhì)，只是當(dāng)時還沒有角度的概念，寫不出三角函數(shù)關(guān)系。特別是古巴比倫人在記錄恒星的升、落，行星運(yùn)動，以及日食、月食等現(xiàn)象時，用到了大量的天球上角距離的測試。甚至有人猜測，古巴比倫人曾有過一張類似于喜帕恰斯的和弦表。另一方面，古埃及的Ahmes（約前1680-1620）曾記錄了這樣一個與三角函數(shù)相關(guān)的問題：“如果一個金字塔高 250 肘，它的底邊長 360 肘，它的邊角是多少？”“肘”是一種古埃及的長度單位，也被稱為腕尺，一般長18英寸（457mm）。Ahmes用金字塔底部邊長的一半與高度的比值表示邊角，他把這種角度測量命名為seked，用它來表示傾斜面的斜率，現(xiàn)在我們知道seked就是邊角的余切。在歐幾里得《幾何原本》中（成書于公元前300年左右），命題12和13本質(zhì)上給出了鈍角和銳角余弦公式。如命題12為：在鈍角三角形中，鈍角所對邊的正方形（平方的意思）等于鈍角兩邊的正方形之和在加上鈍角邊乘以該鈍角邊向外延伸，被該邊上垂線截斷部分的長。如圖5所示，△ABC為鈍角三角形，BH垂直于AC的延長線于H點(diǎn)。則余弦公式為這里，CH=(BC)cos(π-γ)=(BC)cos(γ)，將其代入上式，就是我們熟知的余弦公式。公元前3世紀(jì)，阿基米德提出了斷弦定理，相當(dāng)于現(xiàn)在三角函數(shù)的和差化積公式。斷弦定理描述為：如圖所示，設(shè)AB和BC組成了圓上的斷弦，有BC >AB，若M是ABC弦的中點(diǎn)，過M作BC的垂線，垂足為D，則有AB+BD=DC上述公式經(jīng)推導(dǎo)后等價于和差化積公式（證明可參見圖6）：sin(x-y)=sinxcosy- cosx siny約公元100年前后，希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家Menelaus (ca. 70-140)撰寫了三卷的《球面學(xué)》（約公元98年），在第一卷中，他建立了球面三角形的原理，他發(fā)現(xiàn)在球面上，三角形只要對應(yīng)角相等，兩個球面三角形就相等，而且球面三角形的內(nèi)角和大于180度。這似乎已經(jīng)是非歐幾何了。羅馬時期生活于亞歷山大的托勒密（Claudius Ptolemy，約90-168）在他的《天文學(xué)大成》（Almagest）中擴(kuò)展了喜帕恰斯的和弦表，托勒密以1/2增量，給出了從1/2度到180度的和弦表。托勒密的和弦表借助于托勒密定理驗(yàn)算，該定理給出了圓內(nèi)接四邊形的四邊與兩條對角線之間的關(guān)系，如圖7所示，四邊與對角線的關(guān)系為只需令AB、BC和CD分別對應(yīng)所對應(yīng)的內(nèi)接角（圓周角）分別為α，β，γ，利用圓心角是圓周角的兩倍，設(shè)圓半徑為r，則有AB=2rsinα， BC=2r sinβ CD=2rsinγ也就是我們現(xiàn)在熟悉的積化和差公式，差別只是托勒密使用的是和弦，而不是我們熟悉的正弦和余弦。托勒密還得到了半角公式的等價形式：當(dāng)然有了積化和差，就很容易導(dǎo)出半角公式。由于畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)知道了畢達(dá)哥拉斯定理，在三角運(yùn)算中，很容易由畢達(dá)哥拉斯定理導(dǎo)出三角恒等式，即公元4-5世紀(jì)，三角學(xué)在印度得到了非常重要的發(fā)展，在一本名為Siddhānta（譯為：悉達(dá)多，字面意思為“既定的意見、教義、公理或被承認(rèn)的真理”）的天文學(xué)著作中正確的給出了正弦的定義。而后，印度數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家Aryabhata（公元 476-550）在他的著作Aryabhatiya中以jya表示正弦sin，kojya表示余弦cos，utkrama-jya表示正矢（1減去某角度的余弦，即1-cosθ），otkram jya 表示反正弦arcsine。公元9世紀(jì)時，阿拉伯-波斯數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家花刺子密（Mu?ammad ibn Mūsā al-Khwārizmī，c.?780–c.850）第一次做出了正切表；阿拉伯馬爾瓦齊（Ahmad ibn 'Abdallah Habash Hasib Marwazi, 766 - 869）給出了余切，并完整的應(yīng)用了正弦、余弦、正切、余切；巴塔尼（Al-Battani, c.858–929）發(fā)現(xiàn)了正割(sec)和余割(csc)函數(shù)，并制作了第一張從1°到90°每個度數(shù)的余割表。至此，六個三角函數(shù)全部具備了，三角函數(shù)之間的相互運(yùn)算（如和差化積、積化和差）也具備了。圖8 三位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家三角函數(shù)的另一個問題在于如何計算三角函數(shù)的值。在古文明中，有關(guān)三角函數(shù)的計算多需要借助和弦表，或各類三角函數(shù)表，這說明三角函數(shù)的計算并不容易。到公元7世紀(jì)時，印度數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Bhāskara I(c.600–c.?680)給出了正弦函數(shù)的近似公式，第一次擁有了不用查表獲得三角函數(shù)值的方法，如后來有學(xué)者證明上述公式的求解誤差小于1.9%?，F(xiàn)在我們可以用泰勒級數(shù)展開求解三角函數(shù)可以獲得更加準(zhǔn)確的解，如我們知道泰勒級數(shù)是基于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的，令人驚訝的是，印度學(xué)者Bhaskara II（c. 1114–1185，和前面的Bhāskara I沒有關(guān)系）和Madhava（c.?1340 – c.?1425）早于牛頓和萊布尼茲給出了微積分的某些思想。如Bhaskara II在處理行星運(yùn)動時給出了類似于導(dǎo)數(shù)的方法求解瞬時速度，設(shè)x和y是非常接近的兩個數(shù)，Bhaskara II給出了如下公式：上述公式就具有了導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。用我們今天的語言來說，當(dāng)y趨近于x時，正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為盡管BhaskaraII沒有提出導(dǎo)數(shù)的概念，但顯然，他已經(jīng)知道了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，這比牛頓和萊布尼茲早了近500年。此外，和差化積的現(xiàn)代形式也由Bhaskara II給出。 Madhava發(fā)現(xiàn)了正弦、余弦、反正切的三角函數(shù)的無窮級數(shù)，這很像泰勒級數(shù)展開式。假設(shè)知道某角度θ的正弦、余弦值，即可利用Madhava級數(shù)求出該角度的大小，如下這一定理于1667年被蘇格蘭數(shù)學(xué)家James Gregory（1638-1675）從新發(fā)現(xiàn)，被寫為這里，x=tanθ。Madhava的正弦和余弦級數(shù)也在17世紀(jì)由牛頓和萊布尼茲重新發(fā)現(xiàn)，1748年歐拉給出了歐拉公式，如顯然，歐拉公式的出現(xiàn)使得三角函數(shù)的運(yùn)算得到了大大的簡化。1807年，傅里葉建立傅里葉級數(shù)之后，三角函數(shù)的應(yīng)用就從單純的測量轉(zhuǎn)向了電氣工程、振動分析、聲學(xué)、光學(xué)、計量經(jīng)濟(jì)學(xué)等多領(lǐng)域，最終使得三角函數(shù)——這一世界性課題以它的現(xiàn)代形式服務(wù)于科技進(jìn)步！莫里斯.克萊因. 古今數(shù)學(xué)思想（第一冊）
Maria Drakaki. FROM THE THEOREM OF THE BROKENCHORD TO THE BEGINNING OF TRIGONOMETRY.
https://www.britannica.com/science/trigonometry
https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_trigonometry
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