用三角函數(shù)的n倍角公式推導(dǎo)冪級數(shù)展開式

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2023.08.11 北京

關(guān)注

前面介紹了正弦和余弦函數(shù)的n倍角公式(用棣莫弗公式推導(dǎo)三角函數(shù)的n倍角公式)：

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歐拉在《無窮分析引論》中還用它們推導(dǎo)出了三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式，方法如下。

設(shè)nθ=x，并對上述兩式等號兩端分別求n→＋∞時的極限即可得到所求結(jié)果。對于第一個等式等號右端的部分，有

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因此

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上式就是余弦函數(shù)冪級數(shù)展開式，同理可得正弦函數(shù)的冪級數(shù)展開式

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通過冪級數(shù)的除法也可以由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的展開式得到其他三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式。值得注意的是上面將求級數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為求各項極限之和，即交換求函數(shù)極限與級數(shù)求和的順序，事實上交換順序后結(jié)果并不一定相等，但這里確實是相等的。

另外還可以通過固定θ值，按照前面介紹的廣義二項式定理的推導(dǎo)方式將自然數(shù)n推廣到任意實數(shù)求出無窮級數(shù)。還可以按照求三角函數(shù)無窮級數(shù)的方法求出雙曲函數(shù)(三角函數(shù)的近親——雙曲函數(shù))的無窮級數(shù)，進(jìn)一步求出指數(shù)函數(shù)的無窮級數(shù)。

可以用上述三角函數(shù)的無窮級數(shù)展開式的前面有限項之和估算三角函數(shù)值，通常選取的項數(shù)越多越精確，在[0,π/2]區(qū)間內(nèi)取前面幾項計算一般就足夠精確。

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