這是一道初中難度的幾何題。兩種解法。
（一）初中方法
初讀這道題時，發(fā)現(xiàn)P點是正六邊形里面很隨機的一個點，沒有什么規(guī)律可言，看來看去，感覺好難呀，似乎沒有頭緒了。
沒有突破口，只能再仔細觀察圖形本身。突然發(fā)現(xiàn)，題干給我們的三個已知面積的三角形都集中在正六邊形的右側(cè)，那么根據(jù)作幾何輔助線的一般習慣——取中作平連對角延一倍（取中：取中線中位線；作平：作平行線；連對角：連對角線；延一倍：延長某條線段一倍長）。那么，我們先找兩個點來連接一下對角線觀察觀察。
我們就連接圖中正六邊形的最高點和最低點（畫紅線），這樣正六邊形的左半邊就構(gòu)成了一個梯形。這樣已知的3個三角形和一個面積未知的三角形就組成了一個梯形，解題似乎迎來了轉(zhuǎn)機。
要想求梯形的面積，我們必須知道梯形上底、下底、高的長度。根據(jù)正六邊形的圖形特點，我們不妨設正六邊形的邊長為 χ cm，再作左邊梯形的高AB如下：
正六邊形這個圖形太特殊了，首先每條邊都相等，其次由6個全等等邊三角形所組成（看淡藍線），等邊三角形的邊長也與正六邊形的邊相等。所以EF=χ，線段CD恰好等于2χ，梯形的高AB正好也是其中一個等邊三角形的高，通過勾股定理計算得出是：√3/2 （二分之根號3）。
現(xiàn)在，梯形EFDC的上底EF、下底CD、高AB都已經(jīng)可以用χ表示，顯而易見，梯形面積也能根據(jù)梯形面積公式，再用χ來列出來了。
而梯形EFDC恰又等于上、下、左、右4個三角形的面積之和，而上、下、左這三個三角形的面積已知，我們只要用χ來表示“右”這個三角形面積就行了?，F(xiàn)在的難點是三角形的高PB怎么表示？很簡單，我們在“左”三角形里，面積是9，底邊EF是χ，反向利用三角形面積公式，就可以求出用χ表示的AP長度。然后，線段AB已知是√3/2，于是AB-AP=PB。這樣，我們根據(jù)三角形面積公式，就能用χ來表示“右”這個三角形（ΔPCD）面積了。
最后根據(jù)等量關(guān)系列方程：
梯形面積公式表示的梯形EFDC面積 = 11 + 9 + 8 + ΔPCD的面積
最后解方程，即可最終算出正六邊形的面積，為60平方厘米。
（二）小學巧妙方法
前面（一）部分初中方法，我們用的作輔助線方法是連接對角線。這里小學巧妙方法中，我們用“延一倍”的作輔助線法。如上圖，延長CE，延長DF，兩線段相交于M。三角形EFM是一個等邊三角形，其面積等于正六邊形的1/6。至于為什么得出這個結(jié)論，朋友們可以帶娃一塊討論一下。
然后，再連接點M和點P。我們很容易得出，在三角形PMC中，EM=EC，根據(jù)三角形面積計算中的等底同高性質(zhì)，所以三角形PEC的面積=三角形PEM的面積。
同理，我們可以得出：三角形PMF的面積=三角形PDF的面積。
所以四邊形EMFP的面積=三角形PEC的面積+三角形PDF的面積=11+8=19
所以三角形EFM的面積=四邊形EMFP的面積-三角形PEF的面積=19-9=10
所以正六邊形的面積=10×6=60（平方厘米）
