有關(guān)定邊定角輔助圓模型的講解再去昨天的有一篇文章里已經(jīng)做了詳細(xì)的講解，對(duì)這個(gè)模型還不太熟悉的可以先去看昨天的文章，熟悉模型的特征、結(jié)構(gòu)、適用條件及應(yīng)用方法是解題的關(guān)鍵。
通過(guò)定邊定角構(gòu)造輔助圓解決線段最值問(wèn)題在中考試卷及?？季碇薪?jīng)常出現(xiàn)，解決這類(lèi)問(wèn)題有固定的思路。
首先是去分析和尋找定邊定角三角形，確定模型；
然后一般是構(gòu)造三角形的外接圓，確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；
最后再根據(jù)相關(guān)幾何性質(zhì)，確定最值點(diǎn)，經(jīng)過(guò)計(jì)算即可。
先來(lái)看看題目：
題目分析：
這是一道幾何綜合探究題，第一問(wèn)考查的是等高的面積關(guān)系，第二問(wèn)考查的是定邊定角輔助圓模型求三角形面積最值，第三問(wèn)是綜合應(yīng)用解實(shí)際問(wèn)題，求四邊形面積的最值，是綜合運(yùn)用前兩問(wèn)的知識(shí)點(diǎn)和模型，將數(shù)學(xué)知識(shí)和模型與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合。
1.分析解答第一問(wèn)：
第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，因?yàn)锳BCD是平行四邊形，
看到平行四邊形，立即聯(lián)想到平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)，
對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分，
這個(gè)題用的就是平行四邊形的對(duì)邊相互平行，
也就是AB∥CD，
那么△ABD和△ABC是同底等高三角形，
我們知道，同底等高三角形面積相等，
那么就可以得到△ABD的面積等于△ABC的面積，等于3.
第一問(wèn)考查的就是同底等高三角形的面積關(guān)系及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分析得到兩三角形是徒弟等高三角形。
2.分析解答第二問(wèn)：
先分析題目中的條件，
因?yàn)椤螧AC=120°，所以可以求出∠DAC=60度，
又因?yàn)锳D=AC，
所以可得△ADC為等邊三角形，
那么可以得到∠D=60度，
因?yàn)锽、A、D三點(diǎn)共線，
所以在△BCD中，∠BDC=60°，其底邊BC=6，
△BCD是一個(gè)定邊定角三角形，
符合定邊定角輔助圓模型的特征，
做 △BCD的外接圓，如下圖，可以確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，點(diǎn)D在外接圓的圓弧上運(yùn)動(dòng)，
要求△BCD面積的最大值，因?yàn)锽C=6是確定的，
接下來(lái)只需要分析，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離最大，計(jì)算初中最大距離，也就是三角形BCD中BC邊上的高的最大值，再計(jì)算出此時(shí)的面積即可。
利用弧的中點(diǎn)到弦的中點(diǎn)的距離最大，即D為弧BC的中點(diǎn)，E為弦BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離最大。
發(fā)現(xiàn)此時(shí)△BCD是等邊三角形，利用邊長(zhǎng)BC=6，算出其面積即可，也就是△BCD面積的最大值。
第二問(wèn)考查的是定邊定角輔助圓模型的應(yīng)用，解題額關(guān)鍵是找到定邊定角三角形，作出輔助圓，確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)圓的性質(zhì)確定足最大值點(diǎn)，最后計(jì)算出面積的最值即可。
3.分析解答第三問(wèn)：
第三問(wèn)是是建立在前兩問(wèn)的基礎(chǔ)之上，是前面的綜合，
在前面分別用到了同底等高三角形的面積相等和定邊定角輔助圓模型求三角形面積最值，那么在第三問(wèn)的分析和思考時(shí)，也需要向這兩方面去考慮，必須要聯(lián)系前兩問(wèn)去分析、思考和解答，這是幾何綜合探究題的解題思路。
第三問(wèn)給的是梯形，求梯形的面積，但相關(guān)的數(shù)據(jù)條件較少，且都不能直接用，
已知梯形的一條對(duì)角線長(zhǎng)度是500米，另一條對(duì)角線與下底的夾角是30度，這兩個(gè)條件看起來(lái)毫無(wú)關(guān)系，如何結(jié)合起來(lái)是解題的關(guān)鍵。
結(jié)合前兩問(wèn)肯定需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，需要將梯形轉(zhuǎn)化一個(gè)等面積的三角形，并且還是一個(gè)定邊定角的三角形，如果構(gòu)造出符合條件的三角形是解題的關(guān)鍵，該如何來(lái)構(gòu)造呢？
通過(guò)做輔助線轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，如上圖所示，
延長(zhǎng)BC，在其延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，滿(mǎn)足CE=AD，得到平行四邊形ACED，
梯形ABCD的面積順利轉(zhuǎn)化為△BED的面積，
且可以得到△BED是一個(gè)定邊定角三角形。
做△BED的外接圓，再根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)求其面積的最大值即可。
可以記住一個(gè)結(jié)論：定邊定角三角形中，當(dāng)這個(gè)三角形為等腰三角形時(shí)，面積最大，當(dāng)然如果定角是60°，等邊三角形時(shí)，面積最大。
第三問(wèn)作出輔助線，構(gòu)造一個(gè)與四邊形面積相等的定邊定角三角形是解題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化和構(gòu)造后，根據(jù)已知條件結(jié)合圓的性質(zhì)計(jì)算其面積即可。
總結(jié)：
這是一道幾何綜合探究題，涉及到眾多的知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn)及模型：
考查到同底等高三角形的面積關(guān)系，這個(gè)比較簡(jiǎn)答，利用平行線間距離相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；
定邊定角輔助圓模型，關(guān)鍵是能找到或構(gòu)造出符合條件的定邊定角三角形，在第二問(wèn)中，三角形已定，只需分析即可，第三問(wèn)中需要結(jié)合條件去構(gòu)造，有一定的難度；
除此之外還涉及到圓的相關(guān)性質(zhì)及最值模型，等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。
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