| 初中數(shù)學建模教學的初探 | ||||||
| 『 作者：徐輝 | 文章來源：本站原創(chuàng) | 點擊數(shù)：3369 | 更新時間：2006-11-30 7:45:11 』 | ||||||
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| 摘要：《全日制義務教育數(shù)學課程（實驗稿）》中關(guān)于課程目標中指出：“數(shù)學建模為我們提供了將數(shù)學與生活實際相聯(lián)系的機會，提供了運用數(shù)學的機會，數(shù)學建模的過程，就是將數(shù)學理論知識應用于實際問題的過程。……”,“問題情景—建立模型—解決與應用”可以成為課程內(nèi)容的呈現(xiàn)以及學生學習過程的主要模式。 關(guān)鍵詞：數(shù)學；模型；建模 數(shù)學模型：對于現(xiàn)實中的原型，為了某個特定目的，作出一些必要的簡化和假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。也可以說，數(shù)學建模是利用數(shù)學語言（符號、式子與圖像）模擬現(xiàn)實的模型。把現(xiàn)實模型抽象、簡化為某種數(shù)學結(jié)構(gòu)是數(shù)學模型的基本特征。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實狀態(tài)，或者能預測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制。 數(shù)學建模：把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數(shù)學模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題，我們把數(shù)學知識的這一應用過程稱為數(shù)學建模。 一、初中數(shù)學建模教學的意義 1、激發(fā)學生的學習興趣 數(shù)學建模教學以學生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)皮能力為目標來組織教學工作。數(shù)學建模以學生為主，教師利用一些事先設計和問題啟發(fā)，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極展開討論，培養(yǎng)學生主動探索，努力進取的學風，培養(yǎng)學生初步研究的能力，培養(yǎng)學生團結(jié)協(xié)作的精神、形成一個生動活潑的環(huán)境和氣氛，教學過程的重點創(chuàng)造一個環(huán)境去誘導學生的學習的欲望、培養(yǎng)他們的自學能力，增強他們的數(shù)學素質(zhì)和創(chuàng)新知識的能力高他們數(shù)學素質(zhì)，強調(diào)的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結(jié)果。 2、重視課本知識的功能 數(shù)學建模應結(jié)合正常的教學內(nèi)容切入。把培養(yǎng)學生的應用意識落實到平時的數(shù)學過程中。從課本的內(nèi)容出發(fā)，聯(lián)系實際，以教材為載體，擬編與教材有關(guān)的建模問題或把課本的例題、習題改編成應用性問題，逐步提高學生的建模能力。如初二下學期一次函數(shù)內(nèi)容可以構(gòu)造一實際模型： 下表列出兩套符合條件的課座椅的高度：
現(xiàn)有一把高42.0㎝的椅子和一張高78.2㎝的課桌，它們是否配套，通過計算說明理由。 3、循序漸進使學生覺得“教學建模”我也行。 現(xiàn)在初中生社會閱歷比較差，無法把實際問題與數(shù)學原理進行聯(lián)系。許多實際題目學生連看都看不懂，因而建模無法成功。我們要讓學生學會建模，就必須從一些學生比較熟悉的實際問題出發(fā)，讓他們有獲得成功的機會，享受成功的喜悅，從而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，轉(zhuǎn)化問題的能力。逐步培養(yǎng)他們的建模能力。如 例1．電信部門規(guī)定，某長途電話，開通3分種內(nèi)收2.4元，3分種后每分鐘收1元，某人現(xiàn)有20元錢，他最多能通多長的電話。（簡單） 例2．某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整生產(chǎn)方案，準備每周按120個工時計算，生產(chǎn)冰箱、彩電、空調(diào)器共360臺，且冰箱至少60臺。已知生產(chǎn)這些家產(chǎn)品所需工時和每臺產(chǎn)值如下表： 問每周應生產(chǎn)冰箱、彩電、空調(diào)器各幾個，才能使產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值是多少？ 二、初中數(shù)學建模教學的五條原則 1、教師意識先行原則 實承應用的數(shù)學問題有時過難，不宜作為教學內(nèi)容；有時過易，不被人們重視，而中學教學教科書中“現(xiàn)成”的數(shù)學建模內(nèi)容又很少，再加上我國數(shù)學建模研究起步較晚，數(shù)學建模的氛圍在初中尚不濃厚，在這種情部下，只有在教學活動中起主導作用的教師首先具有數(shù)學建模的自覺意識，從我做起，從小事做起，堅忍不拔、孜孜以求地去探索，有不達目的不罷休，題不驚人誓不休的氣概，才能在教學過程中用自己的數(shù)學建模意識去熏陶學生，也才能在看似沒有數(shù)學建模內(nèi)容的地方，不滿足于表層的感知，而是“如摘胡桃并栗，……三剝其皮，乃得佳味”，挖掘出訓練數(shù)學建模能力的內(nèi)容，給學生更多數(shù)學建模的機會。比如： 某報紙每份0.25元，。每次發(fā)行12萬份，設每份提價0.01元，發(fā)行量就減少4千份，要使銷售總收入不低于3萬元，求每份報紙的最高提價？ 解：設每份報紙?zhí)醿rX元，則每份報紙的售價為（0.25+X）元，銷售量為 （12-0.4·X/0.01）萬份，于是（0.25+X）（12-40X）≥3 即 40X2–2X≤0 解得 X≤0.05元 答：提價不得超過0.05元。 2、因材施教原則 因材施教原則是教育教學的一條基本原則，在中學教學建模教學中可以分為因地施教、因時施教、因人施教。 2.1 因地施教 數(shù)學建模是理論聯(lián)系實際的典型。一個完整的數(shù)學建模過程，必然包括三大環(huán)節(jié)：1、從實際問題中抽象出數(shù)學模型；2、求解數(shù)學模型同；3、用數(shù)學模型的解來解決實際問題。在這三大環(huán)節(jié)中，有實際問題的就有兩個環(huán)節(jié)，所以實際問題在數(shù)學建模的教學中起著相當重要的作用。生活在五湖四海的中學生，他們各自熟悉的實際問題是千差萬別的，生活在大城市的初中生可能在Internet網(wǎng)上馳騁過，但并不一定熟悉小麥和韭菜的區(qū)別，而生活在農(nóng)村的學生也許正好相反。 所以在建模教學中宜選擇學生身邊的實際問題，這樣做至少有兩點好處：一是容易使學生建立比較好的、考慮比較周到的數(shù)學模型（只有熟悉問題，才可能考慮周到）；二是容易使學生真正體會到數(shù)學的應用，否則還是紙上談兵，數(shù)學建模只是形式而已，與做普通應用題毫無二致。 2.2 因時施教 這里的“時”是指學生所處的不同時期、不同的年級，因為學生的數(shù)學基礎知識是逐步學得的，人們在不同的年級所具有的能力、知識是不相同的。依據(jù)學習過程的認識論原則，教學必須應以發(fā)展為目標，因此進行數(shù)學建模教學的內(nèi)容和方法也應有所區(qū)別，應該經(jīng)歷一個循序漸進、逐步提高的過程，應該隨著學生年齡的增長，逐步提出更高的教學目標。比如，初中階段的數(shù)學應用與建模主要應控制在“簡單應用”和一部分“復雜應用”的水平上，教師可以通過一些不大復雜的應用問題，帶著學生一起來完成數(shù)學化的過程，給學生一些數(shù)學應用和數(shù)學建模的初步體驗。到了初中以后，學生較小學在數(shù)學知識、能力上都有較大的提高，因此問題的設計應更有深度、廣度，并在求解過程的指導中給學生更多的自由度。 2.3 因人施教 因人施教是指根據(jù)每個人的原認識結(jié)構(gòu)不同，而以不同的方法施教。原認知結(jié)構(gòu)是指原認識中處于活躍的、敏感的部分，通俗地說，就是記得住、會運用的部分。不同年級的學生自然有不同的原認訓結(jié)構(gòu)，即使是同年級的學生，雖然他們頭腦中的知識相同，技能培養(yǎng)和訓練也大體一致，即原認知相同，但各人原認識中的活躍點、敏感點不同，即原認知結(jié)構(gòu)不同，他們的解題方法技巧也會大相徑庭。 3、授之以漁原則 雖然數(shù)學建模的目的是為了解決實際問題，但對于初中生來說，進行數(shù)學建模教學的主要目的并不是要他們?nèi)ソ鉀Q生產(chǎn)、生活中的實際問題，而是要培養(yǎng)他們的數(shù)學應用意識，掌握數(shù)學建模的方法，為將來的工作打下堅實的基礎。因此，在教學時，要充分強調(diào)過程的重要性，要授之以漁，尤其要注意培養(yǎng)學生從初看起來雜亂無章的現(xiàn)象中抽象出恰當?shù)臄?shù)學問題的能力，即培養(yǎng)學生把客觀事物的原型與抽象的數(shù)學模型聯(lián)系起的能力。比如筆者曾以一道開放題——“健力寶易拉罐的尺寸為什么是這樣的”為例進行教學：先讓學生測量出聽裝345ml健力寶易拉罐的高和底面直徑（高約為12.3cm，底面直徑為6.6cm）。/然后圍繞廠家為什么采用這樣的尺寸，同學們展開的熱烈的討論。有的同學從審美角度去考慮（是否滿足“黃金分割率”）；有的同學從經(jīng)濟效益的角度去考慮（是否用料最省，工時最?。?；有的同學從生理學的角度去考慮（是否手感最好，飲用最方便）……雖然最后沒有得到一個一致的、十分完美的結(jié)論，但這節(jié)課對于培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力和發(fā)散性思維能力起著十分重要的作用。 4、課內(nèi)課外相統(tǒng)一原則 和提高學生其它素質(zhì)一樣，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，也應向課堂四十五分鐘要質(zhì)量，數(shù)學應用和數(shù)學建模應與現(xiàn)行數(shù)學教材有機結(jié)合，把應用和數(shù)學課內(nèi)知識的學習更好的結(jié)合起來，而不要做成兩套系統(tǒng)，這種結(jié)合可以向兩個方向展開，一是向“源”的方向展開，即教師要引導學生了解知識的功能，在實際生活中的作用，抓住數(shù)學建模與學和觀察所學知識的“切入點”，引導學生在學中用，在用中學。 另一方面，由于數(shù)學建模是與實際問題密不可分的，僅僅在課堂上是學不好的，“紙上得來終覺淺，覺知此事要躬行” 。還必須走出教室，到大自然中去鍛煉、去學習，把課內(nèi)課外有機地統(tǒng)一起來。 5、解決其它學科的難題科學性原則 數(shù)學建模非常有用，這是勿庸置疑的結(jié)論，但我們還應強調(diào)數(shù)學應用的科學性，“一好百好”的現(xiàn)象是應防止的。在數(shù)學教學中，也應該向?qū)W生介紹“誤用”或“濫用”數(shù)學的事例。使他們能以批判的、慎重的態(tài)度對待數(shù)學的應用。 三、初中數(shù)學建模教學的方式 根據(jù)我們的實踐，數(shù)學建模教學應結(jié)合正常的教學內(nèi)容進行切入，把培養(yǎng)應用數(shù)學的意識落實在平時的教學過程中，以教材為載體，以改革教學方法為突破口，通過對教學內(nèi)容科學國工、處理和再創(chuàng)造達到在學中用，在用中學，讓學生學習到數(shù)學的精神、思想和方法。 1、 從課本中的數(shù)學出發(fā)，注重對課本原題的改變 對課本中出現(xiàn)的應用問題，可以改變設問方式、變換題設條件，互換條件結(jié)論，結(jié)合拓廣類比成新的數(shù)學建模應用問題；對課本中的純數(shù)學問題，可以依照科學性、現(xiàn)實性、新穎性、趣味性、可行性等原則，編擬出有實際背景或的一定應用價值的建模應用問題。按照這種方式開展教學活動，可使學生受到如何將實際問題數(shù)學化、抽象為數(shù)學問題的訓練 例1、如圖，三個相同的正方型，求證∠1+∠2+∠3=90°。 只要教師做有心人，精心設計，課本中的數(shù)學問題大都可挖掘出生活模型，選擇緊貼社會實際的典型問題深入分析，逐漸滲透這方面的訓練，使學生養(yǎng)成自覺地把數(shù)學作為工具來用的意識。這在這一過程中，既培養(yǎng)了學生應用意識和應用能力的目的，又活躍了課堂教學活動，容易引發(fā)學生的學習興趣。 2、 從生活中的數(shù)學問題出發(fā)，強化應用意識 日常生活是應用問題的源泉之一，現(xiàn)實生活中有許多問題可通過建立中學教學模型加以解決，如合理負擔出租車資、家庭日用電量的計算、紅綠燈管制的設計、登樓方案、住房問題、投擲問題等，都可用基礎教學知識、建立初等教學模型，加以解決。例如： 3、以社會熱點問題出發(fā)，介紹建模方法 國家大事、社會熱點、市場經(jīng)濟中涉及諸如成本、利潤、儲蓄、保險、投標及股份制等，是中學數(shù)學建模問題的好素材，適當?shù)倪x取，容入教學活動中，使學生掌握相關(guān)類型的建模方法，不界可以使學生樹立正確的商品經(jīng)濟觀念，而且還為日后能主動以數(shù)學的意識、方法、手段處理問題提供了能力的準備。例如： 為了防范“非典”病毒入侵校園，根據(jù)上級疾病控制中心的要求：每平芳米的教師地面，需用質(zhì)量分數(shù)為0.2%的過氧乙酸溶液200克在進行噴灑消毒。 （1）請估算：你所在班級的教師地面面積約為 平方米（精確到1平方米）； （2）請計算：需要用質(zhì)量分數(shù)為20%的過氧乙酸溶液多少克加水稀釋，才能按疾病控制中心的要求，對你所在班級的教師地面消毒一次？ 學生通過閱讀本題，自然而然地想到2003年上半年那場可歌可泣的、沒有硝煙的抗“非典”戰(zhàn)爭。這是一個列方程類的應用題。第一小題考查了學生應初步具有的估算能力，第二小題把濃度問題巧妙地融合于其中，既解決實際問題，又簡單易解。不僅使學生從中學到數(shù)學建模的方法，也讓學生受到德育教育，體現(xiàn)了數(shù)學的社會化功能。 4、通過實踐活動或游戲的數(shù)學，從中培養(yǎng)學生的應用意識和數(shù)學建模應用能力 利用課外活動時間開展實踐活動課，把它作為建模教學不可分割的部分。例4：盡可能選擇較多的方法測量學?；蚓幼〉?/span> 的一座做高的建筑物的高。（本文方法從略）這是一道開放型的建模題，初看難度不大，但難于下手，經(jīng)分析、討論，初中生會想出許多方法，教師應注意總結(jié)，與學生一起評價各個模型是否切實可行，從而提高建模興趣與能力。喜愛游戲是青少年的天性，數(shù)學游戲有豐富的素材，如幻方、九連環(huán)、稱球、搶38、速算骰子等，還可結(jié)合教材內(nèi)容適時提出游戲規(guī)則，讓學生在做游戲的過程中學到數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學思想，從中引導學生探尋數(shù)學學習的潛在影響很大。 ５、從其他學科中選擇應用題，培養(yǎng)學生應用數(shù)學工具解決該學科難題的能力 現(xiàn)代科學技術(shù)的發(fā)展，使數(shù)學敞開了一個又一個沉睡于定性分析的科學大門，促進了各學科的數(shù)學化趨勢。初中數(shù)學教學中，應注重適解決其它學科的難題時選取其它學科的應用題，通過構(gòu)建模型，利用數(shù)學工具，解決其它學科的難題。 總而言之，應用數(shù)學知識去解決各類實際問題時，建立數(shù)學模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學的理論和方法去分折和解決問題。數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的橋梁，數(shù)學建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活，對教師和學生要求高等特點，數(shù)學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識傳授為主的傳統(tǒng)教學模式，數(shù)學建模課程指導思想是：以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數(shù)學理論和方法去分折和解決問題的全過程，提高他們分折問題和解決問題的能力；提高他們學習數(shù)學的興趣和應用數(shù)學的意識與能力，使他們在以后的工作中能經(jīng)常性地想到用數(shù)學去解決問題。 參考文獻： １．沈文選編著《數(shù)學建?！泛蠋煷蟪霭嫔?/span> ２．黃立俊、方水清《增強應用意識，增強建模能力》中學數(shù)學雜志 ３．《數(shù)學課程標準》實驗稿 |
