一談到數(shù)學(xué)，我們的第一印象就是嚴(yán)密的推理和演算，就是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫞绕鋷缀胃侨绱?。培養(yǎng)學(xué)生超強(qiáng)的邏輯思維能力（也許還包括計(jì)算能力）是許多數(shù)學(xué)老師最迫切的愿望之一。其實(shí)，數(shù)學(xué)需要的并不僅僅是邏輯，更不僅僅是計(jì)算。
數(shù)學(xué)需要轉(zhuǎn)化、需要演算和推理，這是一般人都能夠想得到的，但數(shù)學(xué)需要聯(lián)想、想象，甚至猜想?yún)s未必是每個(gè)人都同意的。因?yàn)樵诙鄶?shù)人的眼里，聯(lián)想、想象和猜想這些思維方式往往和形象思維、直覺(jué)思維聯(lián)系更為緊密。正因?yàn)槿绱?，我們常常本能地、直覺(jué)地認(rèn)為這些思維方式與以邏輯思維見(jiàn)長(zhǎng)的數(shù)學(xué)沒(méi)有太大關(guān)系——事情果真如此嗎？
數(shù)學(xué)是一門(mén)由數(shù)字、字母、符號(hào)、圖形和文字構(gòu)成的特殊的語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)。正因?yàn)檫@個(gè)系統(tǒng)的特殊性，使得數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決不僅僅需要邏輯推理，它還需要多種語(yǔ)言的閱讀、理解、轉(zhuǎn)換、表達(dá)能力；由于圖形和符號(hào)在數(shù)學(xué)中的廣泛存在與運(yùn)用，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅需要抽象思維，還需要形象思維，甚至是動(dòng)作思維能力；而直覺(jué)又是廣泛地存在于不同思維形式之間的特殊思維樣式。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思維能力廣泛依賴于不同思維形式，是一種整合多種能力和素質(zhì)的綜合水平極高的能力。
無(wú)論是綜合法、分析法，還是分析綜合法；無(wú)論是正向思維，還是逆向思維，當(dāng)我們面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題或者數(shù)學(xué)背景時(shí)，往往并不能實(shí)現(xiàn)思維的貫通和問(wèn)題的解決。在這個(gè)時(shí)候，我們就需要聯(lián)想和想象，通過(guò)類(lèi)比，通過(guò)假設(shè)來(lái)探索思維的中間路徑。如果這個(gè)問(wèn)題更加復(fù)雜，這個(gè)時(shí)候，我們常常就需要拿出一點(diǎn)“大膽假設(shè)，小心求證”的精神，通過(guò)理想化的設(shè)計(jì)，猜想解決問(wèn)題的路徑，然后進(jìn)行嘗試。
這種猜想往往并不依賴于形象，也不依賴于邏輯，而是一種純粹的有些“想當(dāng)然”的設(shè)想，是一種以完美、和諧、統(tǒng)一為依歸的“無(wú)依據(jù)”的假設(shè)，或者是僅僅依懶于不完全的歸納得出的假設(shè)，大概就是人們開(kāi)玩笑常說(shuō)的“做夢(mèng)娶媳婦——盡想美事”的狀態(tài)。這種猜想說(shuō)到底是一種理想化的假設(shè)，雖然不能成為解決問(wèn)題的依據(jù)，卻常?？梢詭椭覀儗ふ业浇鉀Q問(wèn)題的正確路徑。從這里出發(fā)，再回歸到嚴(yán)密的邏輯，從而確證我們的結(jié)論。因此，它不失為一種有效的解題方法。
更重要的是，重視猜想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用猜想，不但可以幫助我們提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，更重要的是可以幫助我們的思維擺脫僵死的、呆板的狀態(tài)，讓我們的思想更具有活力，更具有靈性，從而提高我們的創(chuàng)造力。
下面我想結(jié)合新課程的新增內(nèi)容《推理與證明》的教學(xué)，從它的數(shù)學(xué)意義與教育價(jià)值兩個(gè)方面和大家一起分享“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)猜想、感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”的實(shí)踐與探索。
一、《推理與證明》的數(shù)學(xué)意義
美籍?dāng)?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞（1887～1985）的三部著作《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》早已風(fēng)靡全球的事實(shí)，充分說(shuō)明了人們已不再認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過(guò)程僅是世界頂級(jí)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)游戲，人們不想僅為那些“高深”的數(shù)學(xué)理論與發(fā)現(xiàn)歡呼雀躍，更希望能夠分享數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程、數(shù)學(xué)探索的方法，即合情推理（歸納推理、類(lèi)比推理）與演繹推理。由此可見(jiàn)“推理與證明”在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與探索中的重要意義與作用。
通過(guò)對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程、特別是對(duì)已有成功實(shí)踐的深入研究，波利亞發(fā)現(xiàn)：可以機(jī)械地用來(lái)解決一切問(wèn)題的“萬(wàn)能方法”是不存在的；在問(wèn)題解決的過(guò)程中,人們總是針對(duì)具體情況,不斷地向自己提出有啟發(fā)性的問(wèn)題或提示,以啟動(dòng)并推進(jìn)思維的進(jìn)程；因此,他試圖總結(jié)出一般的方法或模式,這些方法和模式在以后的問(wèn)題解決活動(dòng)中起到了重要的啟發(fā)和指導(dǎo)作用。波利亞很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個(gè)方面：用歐幾里得方式提出的數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)卻是實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！币虼?他明確提出了兩種推理：合情推理與演繹推理，演繹推理可用來(lái)確定數(shù)學(xué)知識(shí)，合情推理可用來(lái)為猜想提供依據(jù)。而且在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。
許多數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)猜想，包括世界著名難題的解決，往往是在對(duì)數(shù)、式或圖形的直接觀察、歸納、類(lèi)比、猜想中獲得方法，而后再進(jìn)行邏輯驗(yàn)證；同時(shí)隨著問(wèn)題的解決，使數(shù)學(xué)方法得到提煉、數(shù)學(xué)研究范圍得到拓展、使數(shù)學(xué)不斷地前進(jìn)與發(fā)展。費(fèi)馬通過(guò)對(duì)勾股定理的研究大膽地提出了費(fèi)馬猜想！為了尋找這個(gè)猜想的證明方法，許多數(shù)學(xué)家投入了畢生的精力，在上世紀(jì)被英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯證明，最終形成了費(fèi)馬大定理。這個(gè)被數(shù)學(xué)家希爾伯特稱作會(huì)下“金蛋”的老母雞，本身是用合情推理的方法提出的。在長(zhǎng)達(dá)幾個(gè)世紀(jì)的探索中，數(shù)學(xué)家們的創(chuàng)造過(guò)程無(wú)不蘊(yùn)涵著合情推理。因此，從某個(gè)方面來(lái)說(shuō)，合情推理促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，更推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，最終形成了歐拉定理、哥德巴赫猜想、四色問(wèn)題等諸多世界數(shù)學(xué)史上的奇葩。
哥德巴赫猜想是數(shù)學(xué)皇冠上一顆“明珠”。自1742年提出以來(lái)，已歷經(jīng)兩個(gè)半世紀(jì)的探索。雖然至今尚未被人證實(shí)猜想的正確性，也無(wú)人能夠給以否定，但圍繞這個(gè)猜想所作的研究，卻積聚了眾多的資料與成果，可以說(shuō)哥德巴赫猜想的研究，已達(dá)到了非常精深的境界。
1742年的一天，哥德巴赫在紙上寫(xiě)下了一串等式：
6=2 2 2,
他終于按捺不住，寫(xiě)信告訴歐拉，說(shuō)他想冒險(xiǎn)發(fā)表下列猜想：“大于5的任何自然數(shù)，都可以寫(xiě)成三個(gè)素?cái)?shù)的和。”不久，歐拉回信說(shuō)，他認(rèn)為：“每一個(gè)不小于4的偶數(shù)，都可以寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)的和。”
這就是著名的哥德巴赫猜想。
200年過(guò)去了，沒(méi)有人能夠證明這個(gè)猜想。
目前世界范圍內(nèi)的最佳結(jié)果是由我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)于1966年證明的，稱為陳氏定理。
這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬(wàn)的數(shù)學(xué)家的關(guān)注。這就是一個(gè)好問(wèn)題的巨大價(jià)值，這就是一個(gè)好的猜想的歷史意義。
1900年8月，不滿40歲的數(shù)學(xué)大師希爾伯特，縱論全局、指點(diǎn)未來(lái)，發(fā)表了“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的經(jīng)典演說(shuō)，提出了著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并留下了一段關(guān)于問(wèn)題（猜想）對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的名言：“只要一門(mén)科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿著生命力；而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止。數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。”
猜想既引導(dǎo)著研究的目標(biāo)，又表明了社會(huì)發(fā)展的認(rèn)知需要。數(shù)學(xué)史上充滿著猜想，可以說(shuō)：數(shù)學(xué)是伴隨著對(duì)數(shù)學(xué)命題的猜想而發(fā)展的。
從某種意義上說(shuō)，一部數(shù)學(xué)史就是猜想與驗(yàn)證猜想的歷史。這里面，既有偉大的猜想、也有微不足道的猜想；有最終被證明了的猜想、也有最后被否定了的猜想；有很快被解決了的猜想、更有至今還“懸著”的猜想。有許多數(shù)學(xué)家是猜想家，他們既有非凡的直覺(jué)能力，為后世留下一個(gè)個(gè)饒有趣味的誘人的猜想。特別地，重大猜想的解決過(guò)程，往往也帶來(lái)了數(shù)學(xué)發(fā)展的巨大推動(dòng)力。
猜想使人的認(rèn)識(shí)擺脫了消極等待的被動(dòng)狀態(tài)；猜想在人的認(rèn)識(shí)發(fā)展過(guò)程中，功不可沒(méi)、作用巨大。難怪科學(xué)家們總是感慨地驚嘆：“人類(lèi)每一次大的成功，都是開(kāi)始于大膽的猜想?！?/font>
猜想的過(guò)程即為觀察與實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比與聯(lián)想、直覺(jué)與猜想的合情推理的過(guò)程，合情推理的實(shí)質(zhì)就是“發(fā)現(xiàn)”，即發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系、新的規(guī)律和新的方法等。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，合情推理除了具有發(fā)現(xiàn)新的命題的重要作用外，還是探索解題思路，概括、解釋新的數(shù)學(xué)事實(shí)和規(guī)律，擴(kuò)展認(rèn)知領(lǐng)域，促進(jìn)知識(shí)的掌握和遷移，啟迪思維和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的重要方法和手段。
如果說(shuō)通過(guò)演繹推理可以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、空間想象能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，那么通過(guò)合情推理則可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、創(chuàng)造想象能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力。因此可以說(shuō)，合情推理是發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)和必要條件，是21世紀(jì)新型人才應(yīng)當(dāng)具有的素質(zhì)。
二、《推理與證明》的教育價(jià)值的實(shí)踐與探索
著名的美國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞提出：“對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生和從事數(shù)學(xué)工作的教師來(lái)說(shuō)，猜想是一個(gè)重要的（但卻通常被忽視的）方面，因?yàn)椋涸谧C明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容；在你完全做出詳細(xì)的證明之前，你先得猜測(cè)證明的思路；你既要把觀察到的結(jié)果進(jìn)行綜合，然后加以類(lèi)比；又要一次一次地進(jìn)行嘗試……我們通常得到的那個(gè)證明（或解答），就是這樣通過(guò)合情推理、通過(guò)猜想發(fā)現(xiàn)的。”
特別地，是否具有創(chuàng)造性已是衡量人才的重要標(biāo)準(zhǔn)、更是素質(zhì)教育對(duì)能力培養(yǎng)提出的要求，而創(chuàng)造力的培養(yǎng)則有賴于教學(xué)中論證推理與合情推理同時(shí)并重的思維方法訓(xùn)練。
在第八屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，對(duì)于20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞建立的合情推理模式以及觀察、實(shí)驗(yàn)、類(lèi)比、歸納、化歸、猜想等方法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新中所起的作用給予了高度的評(píng)價(jià)，在全世界范圍內(nèi)形成了廣泛的共識(shí)。在布魯塞爾的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”和上海教科院所推出的“研究性學(xué)習(xí)”中都對(duì)合情推理教學(xué)給予了高度的評(píng)價(jià)。合情推理教學(xué)符合我國(guó)素質(zhì)教育的要求。
國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的研究表明：在處理中小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法方面有兩個(gè)基本思路:
第一,主要通過(guò)純數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),逐步使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想和方法；
第二,通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題,使學(xué)生形成那些對(duì)人的素質(zhì)有促進(jìn)作用的基本思想方法,如實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、合情推理等。
兩者相比而言, 后者更多的是一般的思考方法, 具有更廣泛的應(yīng)用性。主要的發(fā)達(dá)國(guó)家也傾向于采用第二個(gè)基本思路。
有研究表明：合情推理與演繹推理有著較高的相關(guān)性；學(xué)生的合情推理的發(fā)展與演繹推理的發(fā)展也有著密切的聯(lián)系．因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要促使學(xué)生的合情推理與演繹推理同步發(fā)展．
如果說(shuō)通過(guò)演繹推理可以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、空間想象能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，那么通過(guò)合情推理則可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、創(chuàng)造想象能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力。因此可以說(shuō)，合情推理是發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)和必要條件，是21世紀(jì)新型人才應(yīng)當(dāng)具有的素質(zhì)。
而合情推理的實(shí)質(zhì)就是“發(fā)現(xiàn)”，即發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系、新的規(guī)律和新的方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，合情推理除了具有發(fā)現(xiàn)新的命題的重要作用外，還是探索解題思路，概括、解釋新的數(shù)學(xué)事實(shí)和規(guī)律，擴(kuò)展認(rèn)知領(lǐng)域，促進(jìn)知識(shí)的掌握和遷移，啟迪思維和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的重要方法和手段。
作為數(shù)學(xué)教育工作者，讓我們暢想一下：
當(dāng)學(xué)生感受到“高不可攀”的哥德巴赫猜想是那樣“淺顯易懂”時(shí)；當(dāng)學(xué)生能夠類(lèi)比三角形的面積公式聯(lián)想到三棱錐的體積公式，又經(jīng)過(guò)思維實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)檢測(cè)、調(diào)整證明得到時(shí)；特別是當(dāng)學(xué)生能夠類(lèi)比哥德巴赫猜想而提出“自己的素?cái)?shù)猜想”，類(lèi)比自然數(shù)的求和公式而得到自然數(shù)的平方和公式，又由此猜想得到自然數(shù)的立方和公式時(shí)，學(xué)生的猜想、證明的方法、學(xué)生內(nèi)心的感動(dòng)、學(xué)生的收獲與分享都著實(shí)地讓我們感受到了數(shù)學(xué)的偉大，更感受到了數(shù)學(xué)教育的價(jià)值與意義！因此《推理與證明》一章的教育價(jià)值已經(jīng)超越了知識(shí)與內(nèi)容本身，而更在于數(shù)學(xué)的意義與方法！
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