函數(shù)對(duì)稱性與周期性關(guān)系
【典型例題】
1. 定義在R上的函數(shù)，若總有
成立，則函數(shù)
的圖象是關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形。反之，若函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
成軸對(duì)稱圖形，則必有
推論，對(duì)于定義在R上的函數(shù)，若有，則圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，反之亦真。
證明：若對(duì)，總有，設(shè)點(diǎn)，在的圖象上，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由
，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，由的任意性知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，反之證明略。
推論，由顯然
[例1] 已知，滿足且，當(dāng)時(shí)，比較與的大小。
解：由知關(guān)于對(duì)稱，故，又由知，則在遞減，在上遞增。
當(dāng)時(shí)， ∴ 即
當(dāng)時(shí)， ∴ ，即
[例2] 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且時(shí)，則當(dāng)時(shí)，的解析式為 。
解：依條件，設(shè)，則，
故
[例3] 若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則 。
A. B. C. D.
解：由
得
即
∴
[例4] 設(shè)對(duì)任意，滿足且方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根，則此六個(gè)實(shí)根之和為 。
A. 18 B. 12 C. 9 D. 0
解：依條件知圖象關(guān)于直線對(duì)稱，方程六個(gè)根必分布在對(duì)稱軸兩側(cè)，且兩兩對(duì)應(yīng)以（3，0）點(diǎn)為對(duì)稱中心，故，所以，選A。
[例5] 設(shè)滿足（1），（2）當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，定義域，則下列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：由條件知圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱
，
又及時(shí)遞增
∴ ，故選C
2. 對(duì)稱性與周期性的關(guān)系
（1）若函數(shù)在R上的圖象關(guān)于兩條直線與對(duì)稱，則為R上的周期函數(shù)。
（2）若函數(shù)在R上的圖象關(guān)于直線與點(diǎn)對(duì)稱，則為R上的周期函數(shù)。
證：（1）因圖象關(guān)于及對(duì)稱，則，，故得證
（2）由圖象關(guān)于對(duì)稱，有①
又由圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，有，
∴ ，，即
以代有②
由①和② ③
以代有
又由③式 得證
特別地，圖象關(guān)于直線對(duì)稱的偶函數(shù)必是周期函數(shù)
推論，定義在R上的函數(shù)滿足
（1）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，是以為一個(gè)周期的周期函數(shù)。
（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，是以為一個(gè)周期的周期函數(shù)。
證：（1）
（2）
[例1] 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)滿足：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，，求時(shí)，的解析式。
解：由（1）（2）知，對(duì)任
則，，
[例2] 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)滿足：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)解析式，求上的解析式。
解：設(shè)
當(dāng)時(shí)，，則
當(dāng)時(shí)，，則
又為偶函數(shù)，知
從而
另法：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
[例3] 函數(shù)定義在R上，且對(duì)一切滿足，，設(shè)，問(wèn)方程在區(qū)間中至少有幾個(gè)實(shí)根。
解：依條件為函數(shù)的周期，，均為的根，因此在區(qū)間上至少有二個(gè)根
∵
由周期性可知也為的根
所以方程在區(qū)間中至少有
[例4] 若偶函數(shù)，滿足（1）圖象關(guān)于直線對(duì)稱，（2）在區(qū)間上是減函數(shù)，求證以為最小正周期。
證：依條件知為函數(shù)的周期，假設(shè)函數(shù)還存在比更小的周期2，且
令，則
（1）若，則與在上是減函數(shù)矛盾
（2）若，即時(shí)，與在上是減函數(shù)矛盾，所以是的最小正周期。
[例5] 已知是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，是R上的奇函數(shù)，又知（1）（是常數(shù)）；（2）試求的值。
分析：條件（2）即，即關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
又由是偶函數(shù)，故是以為周期的周期函數(shù)
解：由條件（2）知，令，則
，故，即為以4為周期的周期函數(shù)，又由，所以
【模擬試題】
一. 選擇題（每小題5分，共50分）
1. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>A，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>B，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
2. 函數(shù)在區(qū)間上遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，且，則滿足（ ）
A. B. C. D.
4. 定義在R上的奇函數(shù)為減函數(shù)，設(shè)，給出下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正確的不等式序號(hào)是（ ）
A. （1）（2）（4） B. （1）（4）
C. （2）（4） D. （1）（3）
5. 偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則與的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D. 不能確定
6. 已知定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)滿足有，且，若，則（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
7. 已知定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D.
9. 函數(shù)是（0，2）上的增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 設(shè)、分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二. 填空題（每小題4分，共24分）
11. 定義在R上的函數(shù)滿足，則
。
12. 已知函數(shù)，則 。
13. 設(shè)，，且，那么函數(shù)的最大值是
。
14. 已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，它們的定義域都為，當(dāng)時(shí)，它們的圖象如下圖，則不等式的解集為 。
15. 已知二次函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。
16. 設(shè)函數(shù)，給出下列命題：
（1）時(shí)，為奇函數(shù)
（2），時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
（3）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
（4）方程至多兩個(gè)實(shí)數(shù)根
上述四個(gè)命題中所有正確的命題序號(hào)為 。
三. 解答題（共76分）
17. 已知集合，集合
，
其中，設(shè)全集，，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
18. 求函數(shù)的值域。（滿分12分）
19. 已知兩個(gè)函數(shù)，
（1）若都有成立，求的取值范圍；
（2）若都有成立，求的取值范圍。（滿分12分）
20. 已知奇函數(shù)
（1）確定的值，并證明在R上為增函數(shù)；
（2）若方程在上有解，證明。（滿分12分）
21. 已知函數(shù)滿足，其中，且。
（1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍恰為，求的取值范圍。（滿分14分）
【試題答案】
一.
1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C 8. A 9. B 10. D
二.
11. 7 12. 13. 0 14. 15. 16. ①②③
三.
17. 解：A： ∴
B：
設(shè)，則 ∴ ，
若，則，
∴ ∵ ∴ ∴
若，則在上
∴
∴ ∵
∴ ∴ 綜上所述：
18. 解： 定義域：R
設(shè)，則且
∴ （）
∵ 函數(shù)在上
∴ 當(dāng)時(shí)，
∴ 函數(shù)的值域?yàn)?/span>
19. 解：∵
∴
令得，
3
+ 0 － 0 +
↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 111
在上↓，在上↑
（1）∵ 都有成立
∴
（2）∵ 都有成立
∴ ，即 ∴
20. 解：（1）∵ 為R上的奇函數(shù) ∴
∴ ∴
設(shè)
∵ 在R上↑且，在上↑
∴ 在R上↑
（2）∵ 在R上↑，且當(dāng)時(shí)有，
∴ 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?/span>）
∵ 方程在上有解 ∴
∴ 即
21. 解：（1）（且）
設(shè)，則360docimg_501_ ∴ 360docimg_502_
∴ 360docimg_503_
當(dāng)360docimg_504_時(shí)，∵ 360docimg_505_，360docimg_506_ ∴ 360docimg_507_在其定義域上↑
當(dāng)360docimg_508_時(shí)，∵ 360docimg_509_，360docimg_510_ ∴ 360docimg_511_在其定義域上↑
∴ 360docimg_512_且360docimg_513_都有360docimg_514_為其定義域上的增函數(shù)
又∵ 360docimg_515_ ∴ 360docimg_516_為奇函數(shù)
（1）∵ 當(dāng)360docimg_517_時(shí)，360docimg_518_
∴ 360docimg_519_
∴ 360docimg_520_
（2）當(dāng)360docimg_521_時(shí)
∵ 360docimg_522_在360docimg_523_上↑且值域?yàn)?/span>360docimg_524_
∴ 360docimg_525_
360docimg_526_ 360docimg_527_ 360docimg_528_ 360docimg_529_
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