本篇文章將總結(jié)時間序列預(yù)測方法，并將所有方法分類介紹并提供相應(yīng)的python代碼示例，以下是本文將要介紹的方法列表：

1、使用平滑技術(shù)進行時間序列預(yù)測

• 指數(shù)平滑
• Holt-Winters 法

2、單變量時間序列預(yù)測

• 自回歸 (AR)
• 移動平均模型 (MA)
• 自回歸滑動平均模型 (ARMA)
• 差分整合移動平均自回歸模型 (ARIMA)
• 季節(jié)性 ARIMA (SARIMA)

3、外生變量的時間序列預(yù)測

• 包含外生變量的SARIMAX (SARIMAX)
• 具有外生回歸量的向量自回歸移動平均 (VARMAX)

4、多元時間序列預(yù)測

• 向量自回歸 (VAR)
• 向量自回歸移動平均 (VARMA)

下面我們對上面的方法一一進行介紹,并給出python的代碼示例

1、指數(shù)平滑Exponential Smoothing

指數(shù)平滑法是過去觀測值的加權(quán)平均值，隨著觀測值變老，權(quán)重呈指數(shù)會衰減。換句話說，觀察時間越近相關(guān)權(quán)重就越高。它可以快速生成可靠的預(yù)測，并且適用于廣泛的時間序列。

簡單指數(shù)平滑：此方法適用于預(yù)測沒有明確趨勢或季節(jié)性模式的單變量時間序列數(shù)據(jù)。簡單指數(shù)平滑法將下一個時間步建模為先前時間步的觀測值的指數(shù)加權(quán)線性函數(shù)。

它需要一個稱為 alpha (a) 的參數(shù)，也稱為平滑因子或平滑系數(shù)，它控制先前時間步長的觀測值的影響呈指數(shù)衰減的速率，即控制權(quán)重減小的速率。 a 通常設(shè)置為 0 和 1 之間的值。較大的值意味著模型主要關(guān)注最近的過去觀察，而較小的值意味著在進行預(yù)測時會考慮更多的歷史。簡單指數(shù)平滑時間序列的簡單數(shù)學(xué)解釋如下所示：

2、Holt-Winters 法

在 1957 年初，Holt擴展了簡單的指數(shù)平滑法，使它可以預(yù)測具有趨勢的數(shù)據(jù)。這種被稱為 Holt 線性趨勢的方法包括一個預(yù)測方程和兩個平滑方程（一個用于水平，一個用于趨勢）以及相應(yīng)的平滑參數(shù) α 和 β。后來為了避免趨勢模式無限重復(fù)，引入了阻尼趨勢法，當(dāng)需要預(yù)測許多序列時，它被證明是非常成功和最受歡迎的單個方法。除了兩個平滑參數(shù)之外，它還包括一個稱為阻尼參數(shù) φ 的附加參數(shù)。

一旦能夠捕捉到趨勢，Holt-Winters 法擴展了傳統(tǒng)的Holt法來捕捉季節(jié)性。 Holt-Winters 的季節(jié)性方法包括預(yù)測方程和三個平滑方程——一個用于水平，一個用于趨勢，一個用于季節(jié)性分量，并具有相應(yīng)的平滑參數(shù) α、β 和 γ。

此方法有兩種變體，它們在季節(jié)性成分的性質(zhì)上有所不同。當(dāng)季節(jié)變化在整個系列中大致恒定時，首選加法方法，而當(dāng)季節(jié)變化與系列水平成比例變化時，首選乘法方法。

# HWES examplefrom statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothingfrom random import random# contrived datasetdata = [x + random() for x in range(1, 100)]# fit modelmodel = ExponentialSmoothing(data)model_fit = model.fit()# make predictionyhat = model_fit.predict(len(data), len(data))print(yhat)

3、自回歸 (AR)

在 AR 模型中，我們使用變量過去值的線性組合來預(yù)測感興趣的變量。 術(shù)語自回歸表明它是變量對自身的回歸。 AR模型的簡單數(shù)學(xué)表示如下：

這里，εt 是白噪聲。 這類似于多元回歸，但是使用 yt 的滯后值作為預(yù)測變量。 我們將其稱為 AR(p) 模型，即 p 階的自回歸模型。

4、移動平均模型(MA)

與在回歸中使用預(yù)測變量的過去值的 AR 模型不同，MA 模型在類似回歸的模型中關(guān)注過去的預(yù)測誤差或殘差。 MA模型的簡單數(shù)學(xué)表示如下：

這里，εt 是白噪聲。 我們將其稱為 MA(q) 模型，即 q 階移動平均模型。

# MA examplefrom statsmodels.tsa.arima.model import ARIMAfrom random import random# contrived datasetdata = [x + random() for x in range(1, 100)]# fit modelmodel = ARIMA(data, order=(0, 0, 1))model_fit = model.fit()# make predictionyhat = model_fit.predict(len(data), len(data))print(yhat)

需要說明的是不應(yīng)將這里說的移動平均線方法與計算時間序列的移動平均線混淆，因為兩者是不同的概念。

5、自回歸滑動平均模型 (ARMA)

在 AR 模型中，我們使用變量過去值與過去預(yù)測誤差或殘差的線性組合來預(yù)測感興趣的變量。 它結(jié)合了自回歸 (AR) 和移動平均 (MA) 模型。

AR 部分涉及對變量自身的滯后（即過去）值進行回歸。 MA部分涉及將誤差項建模為在過去不同時間同時發(fā)生的誤差項的線性組合。 模型的符號涉及將 AR(p) 和 MA(q) 模型的順序指定為 ARMA 函數(shù)的參數(shù)，例如 ARMA（p，q）。 ARMA 模型的簡單數(shù)學(xué)表示如下所示：

6、差分整合移動平均自回歸模型 (ARIMA)

如果我們將差分與自回歸和移動平均模型相結(jié)合，我們將獲得 ARIMA 模型。 ARIMA 是差分整合移動平均自回歸模型Autoregressive Integrated Moving Average model 的首字母縮寫。 它結(jié)合了自回歸 (AR) 和移動平均模型 (MA) 以及為了使序列平穩(wěn)而對序列的差分預(yù)處理過程，這個過程稱為積分(I)。 ARIMA 模型的簡單數(shù)學(xué)表示如下：

其中 y′t 是差分級數(shù)。 右側(cè)的“預(yù)測變量”包括滯后值和滯后誤差。 我們稱之為 ARIMA(p,d,q) 模型。

這里，p 是自回歸部分的階數(shù)，d 是所涉及的一階差分程度，q 是移動平均部分的階數(shù)。

ACF 和 PACF 圖在求 p 和 q 階中的意義：

• 為了找到 AR(p) 模型的階 p：我們預(yù)計 ACF 圖會逐漸減小，同時 PACF 在 p 顯著滯后后會急劇下降或切斷。
• 為了找到 MA(q) 模型的階 p：我們預(yù)計 PACF 圖將逐漸減小，同時 ACF 應(yīng)該在某些 q 顯著滯后后急劇下降或切斷。

# ARIMA examplefrom statsmodels.tsa.arima.model import ARIMAfrom random import random# contrived datasetdata = [x + random() for x in range(1, 100)]# fit modelmodel = ARIMA(data, order=(1, 1, 1))model_fit = model.fit()# make predictionyhat = model_fit.predict(len(data), len(data), typ='levels')print(yhat)

7、季節(jié)性 ARIMA (SARIMA)

ARIMA 模型還能夠?qū)V泛的季節(jié)性數(shù)據(jù)進行建模。 季節(jié)性 ARIMA 模型是通過在 ARIMA 模型中包含額外的季節(jié)性項來形成的。

這里，m = 每個時間季節(jié)的步數(shù)。 我們對模型的季節(jié)性部分使用大寫符號，對模型的非季節(jié)性部分使用小寫符號。

它將 ARIMA 模型與在季節(jié)性數(shù)據(jù)級別執(zhí)行相同的自回歸、差分和移動平均建模的能力相結(jié)合。

8、包含外生變量的SARIMA (SARIMAX)

SARIMAX 模型是傳統(tǒng) SARIMA 模型的擴展，包括外生變量的建模，是Seasonal Autoregressive Integrated Moving-Average with Exogenous Regressors 的縮寫

外生變量是其值在模型之外確定并施加在模型上的變量。 它們也被稱為協(xié)變量。 外生變量的觀測值在每個時間步直接包含在模型中，并且與主要內(nèi)生序列的使用不同的建模方式。

SARIMAX 方法也可用于通過包含外生變量來模擬具有外生變量的其他變化，例如 ARX、MAX、ARMAX 和 ARIMAX。

# SARIMAX examplefrom statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAXfrom random import random# contrived datasetdata1 = [x + random() for x in range(1, 100)]data2 = [x + random() for x in range(101, 200)]# fit modelmodel = SARIMAX(data1, exog=data2, order=(1, 1, 1), seasonal_order=(0, 0, 0, 0))model_fit = model.fit(disp=False)# make predictionexog2 = [200 + random()]yhat = model_fit.predict(len(data1), len(data1), exog=[exog2])print(yhat)

9、向量自回歸 (VAR)

VAR 模型是單變量自回歸模型的推廣，用于預(yù)測時間序列向量或多個并行時間序列，例如 多元時間序列。 它是關(guān)于系統(tǒng)中每個變量的一個方程。

如果序列是平穩(wěn)的，可以通過將 VAR 直接擬合到數(shù)據(jù)來預(yù)測它們（稱為“VAR in levels”）。 如果序列是非平穩(wěn)的，我們會取數(shù)據(jù)的差異以使其平穩(wěn)，然后擬合 VAR 模型（稱為“VAR in differences”）。

我們將其稱為 VAR(p) 模型，即 p 階向量自回歸模型。

10、向量自回歸滑動平均模型 (VARMA)

VARMA 方法是 ARMA 對多個并行時間序列的推廣，例如 多元時間序列。 具有有限階 MA 誤差項的有限階 VAR 過程稱為 VARMA。

模型的公式將 AR(p) 和 MA(q) 模型的階數(shù)指定為 VARMA 函數(shù)的參數(shù)，例如 VARMA（p，q）。 VARMA 模型也可用于VAR 或 VMA 模型。

# VARMA examplefrom statsmodels.tsa.statespace.varmax import VARMAXfrom random import random# contrived dataset with dependencydata = list()for i in range(100):v1 = random()v2 = v1 + random()row = [v1, v2]data.append(row)# fit modelmodel = VARMAX(data, order=(1, 1))model_fit = model.fit(disp=False)# make predictionyhat = model_fit.forecast()print(yhat)

11、包含外生變量的向量自回歸滑動平均模型 (VARMAX)

Vector Autoregression Moving-Average with Exogenous Regressors (VARMAX) 是 VARMA 模型的擴展，模型中還包含使用外生變量的建模。 它是 ARMAX 方法對多個并行時間序列的推廣，即 ARMAX 方法的多變量版本。

VARMAX 方法也可用于對包含外生變量的包含模型進行建模，例如 VARX 和 VMAX。

總結(jié)

在這篇文章中，基本上覆蓋了所有主要時間序列預(yù)測的問題。我們可以把上面提到的方法整理成以下幾個重要的方向：

• AR：自回歸
• MA：平均移動
• I：差分整合
• S：季節(jié)性
• V：向量（多維輸入）
• X：外生變量

本文中提到的每種算法基本上都是這幾種方法的組合，本文中已將每種的算法都進行了重點的描述和代碼的演示，如果你想深入了解其中的知識請查看相關(guān)的論文。