初中數(shù)學(xué)會(huì)接觸到相對(duì)較難的一塊就是幾何，上學(xué)的時(shí)候就常聽(tīng)大人們說(shuō)“幾何幾何，想破腦殼”。其實(shí)如果感興趣，勤動(dòng)腦筋，你也會(huì)覺(jué)得幾何非常有意思的。好了，閑話少敘，下面給大家分享一個(gè)幾何題的解決方法，歡迎大家討論和指點(diǎn)：
這道幾何題選自于2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（初三組）的初賽試題。下面我來(lái)講講題目的分析，思路和如何做輔助線，最終完成證明。
首先題目條件非常簡(jiǎn)潔，圓內(nèi)四邊形，CB=CD。然后求證等式，等式中含有平方關(guān)系和線長(zhǎng)乘積。
感覺(jué)可能會(huì)用上等弧等角，還有相似三角形。題目中提到線段CA，所以很自然做輔助線CA。
根據(jù)等弧等角定理，得到∠BAC=∠DAC。同時(shí)由AB*AD的描述，聯(lián)想到如何將兩個(gè)線段放在一邊上。可以制造全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)：
AD上截取AE線段，使之與AB相等（假設(shè)AD>AB），第二條輔助線自然出來(lái)了：連接CE。通過(guò)邊角邊很容易證明 △ABC和△AEC全等。
接下來(lái)一步非常關(guān)鍵，其實(shí)也不難，仍然是截長(zhǎng)補(bǔ)短，讓CA2 -CB2變成具體的線段。其實(shí)有兩種方案，我首先想到的是通過(guò)勾股定理，但是沒(méi)有好的構(gòu)造方法。之后采用了第二種方法，截長(zhǎng)補(bǔ)短：
CA線段和其延長(zhǎng)線上分別取CG=CF=CB。同時(shí)最后兩條輔助線都呼之欲出了，連接GE和FD。那么CA2 -CB2變成了AG*AF。
這樣求證命題變成了，如何證明AG*AF=AE*AD。很容易聯(lián)想到相似三角形，有朋友們一眼就看出來(lái)了，其實(shí)就是證明△AGE和△ADF相似。間接證明∠AGE=∠ADF。這就容易了，因?yàn)槲覀冎傈c(diǎn)G，E，D，F(xiàn)都是在已C為圓心，CB為半徑的圓（稱為圓O2）上。所以∠AGE就是圓O2中四邊形GEDF的外角，外角等于內(nèi)對(duì)角。這個(gè)可以通過(guò)等弧等角定理證明，我就不詳述了。
好了，今天的幾何證明題就分享到這里了。如果大家有好的解法和意見(jiàn)，歡迎討論。下次再聊吧。
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