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大一剛開學(xué)時(shí)，我懷著對數(shù)學(xué)競賽多年的熱情，報(bào)了一門美國大學(xué)數(shù)學(xué)競賽課——Putnam Seminar (Putnam Competition是美國和加拿大最具聲望的本科生數(shù)學(xué)競賽)。第一次走進(jìn)教室，我就從同學(xué)間嘁嘁喳喳的談話中，感受到了一種強(qiáng)烈的不協(xié)調(diào)感——這里的人似乎都上過這門課，而且彼此之間都很熟悉。可是如果大家都上過這門課了，為什么還要再上一次？再者說，雖然理學(xué)院的許多人彼此認(rèn)識不足為奇，但為什么這個(gè)聚集著各個(gè)年級學(xué)生的課室里，好像每一個(gè)人都互相認(rèn)識？作為一名不明所以的大一新生，我只好悄悄地找了一個(gè)角落里的位置，乖巧而安靜地坐下來了。

幾分鐘后，這門課的教授拿著兩疊紙，一路小跑了進(jìn)來。簡短地自我介紹之后，他就把紙發(fā)了下來：每人兩張，一張上印了八道練習(xí)題，另一張就是白紙。沒有講義，沒有課程大綱，甚至他自己連筆記都沒有帶。十分鐘的解題時(shí)間就這么開始了。

我自然一題都沒做出來。

十分鐘后，當(dāng)受到驚嚇的我滿心期待地打開筆記本，準(zhǔn)備記教授要講的解題方法時(shí)，他很高興地說：

“今天我想從第四題開始，你們誰對這道題有什么想法？”

教室里的學(xué)生們一下子沸騰了。舉手的人不少，但是教授竟然讓每一個(gè)人都發(fā)表了自己的想法，并把這些想法全部列在了黑板上。很快就有學(xué)生繼續(xù)舉手，順著黑板上幾個(gè)比較有前景的思路，繼續(xù)提出接下來的解題步驟。在教授不時(shí)的指導(dǎo)和補(bǔ)充之下，很快黑板上就出現(xiàn)了一個(gè)看似有些雜亂卻很嚴(yán)謹(jǐn)完整的答案。然而他們的思維速度實(shí)在太快，也太跳躍，以至于我只能勉強(qiáng)跟上解題進(jìn)度，根本沒時(shí)間去記筆記。

第一節(jié)課之后，我得出了兩個(gè)結(jié)論。第一，這些學(xué)生可能是一群妖精。第二，這個(gè)教授可能也是。

我上過的絕大多數(shù)數(shù)學(xué)課，都有著非常相似的結(jié)構(gòu)：第一節(jié)課上，老師會介紹課程大綱和學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生對這門課有一個(gè)大致的了解。接下來的每一節(jié)課老師都會講解一個(gè)新主題，介紹這個(gè)領(lǐng)域里的基礎(chǔ)定義和定理，然后講解例題，或者接著上一節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行拓展和補(bǔ)充。這種嚴(yán)謹(jǐn)且層次分明的教學(xué)結(jié)構(gòu)，能夠讓學(xué)生很好地掌握知識體系和內(nèi)容。在解題方面，老師也會針對這個(gè)知識點(diǎn)教授相應(yīng)的解題方法。多年的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育讓我非常適應(yīng)這種教學(xué)方式，記起筆記來得心應(yīng)手。

然而這門Putnam Seminar徹底顛覆了我的認(rèn)知。

在沒有講義和大綱的情況下，我不僅學(xué)到了很多新的概念，更見識到了前所未知的解題方法。這些方法不像任何根據(jù)特定主題規(guī)劃的套路，也沒有固定的能直接套數(shù)的公式。相反，所有這些方法都是學(xué)生們創(chuàng)造出來、甚至可能是全新的方法。這樣的互動式教學(xué)，自然能讓學(xué)生學(xué)到更多。后來我才知道，這種教學(xué)方法叫解題式教學(xué)（Problem Based Learning），而這個(gè)教授，叫羅博深（Po Shen Loh）。

Problem Based Learning，又稱解題式教學(xué)（以下簡稱PBL），是一種源于美國六十年代醫(yī)學(xué)院的教學(xué)方法，其宗旨在于使用有代表性的例題，由學(xué)生來合作提出并搭建解法。這些例題通常沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，甚至?xí)屓瞬恢獜暮蜗率帧?strong>因此學(xué)生們要運(yùn)用他們學(xué)過的知識，而不是固定的解題方法，來開辟解題路徑。這種解題體驗(yàn)是非常獨(dú)特的，對于知識的牢固掌握也特別有效。相較之下，在我上過的大部分大學(xué)數(shù)學(xué)課（特別是數(shù)學(xué)分析課）中，由于知識量較大，課程進(jìn)度又非?？欤芏嘀R經(jīng)常在完全消化之前就被后面的新知識沖過去了。這讓我感覺自己對課程知識的掌握并不全面，同時(shí)對于運(yùn)用這些知識來解題也沒有足夠的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

而PBL很自然地解決了這個(gè)問題。如果難以將知識運(yùn)用于解題中，那就在解題過程中學(xué)習(xí)知識。如果對知識的掌握不夠牢固，那就將知識放入具體的情景中去理解。更重要的是，解題式教學(xué)能讓學(xué)生跳出固定的思維模式，以更有創(chuàng)造性的方式來思考問題。

在Putnam Seminar上，對于任何一道例題，我們都會提出幾種，甚至十幾種不同的想法。雖然大部分的想法都是即時(shí)的、難以延續(xù)的，但是這種創(chuàng)造的過程依然讓我受益匪淺，因?yàn)樗鼈兲峁┝硕喾N不同的，看待同一個(gè)問題的方式。同時(shí)，在選出幾個(gè)最有前景的想法之后，接下來的解題步驟都是由多個(gè)學(xué)生一人一步地搭建出來的，而不是由提出想法的學(xué)生單獨(dú)完成的。這更加培養(yǎng)了學(xué)生的協(xié)作能力，也讓他們看到了一種想法的多種可能。這些都是難以在傳統(tǒng)教學(xué)方法中實(shí)現(xiàn)的。

這種感受在我上過羅教授的離散數(shù)學(xué)（discrete math）課之后變得更加深刻。在離散數(shù)學(xué)課上，羅教授將傳統(tǒng)的教學(xué)方法和PBL結(jié)合了起來，讓學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)知識的同時(shí)得到足夠多的實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)。每一節(jié)課開始時(shí)，羅教授都會先延續(xù)上一個(gè)主題，或者介紹一個(gè)主題里重要的定義和公理，這也是傳統(tǒng)的教學(xué)方法。隨后他就會轉(zhuǎn)向PBL，提出一個(gè)例題，指導(dǎo)學(xué)生們提出想法，并一起構(gòu)造出一個(gè)答案。在這樣的一節(jié)課上，我不僅學(xué)到了這個(gè)主題下的新知識，也鞏固和延申了相關(guān)領(lǐng)域多個(gè)知識點(diǎn)。這樣的教學(xué)方法，會讓我對正在學(xué)習(xí)的這個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生濃厚的興趣?？梢哉f，我現(xiàn)在選擇圖論和組合論作為專攻方向，有一部分原因就來自于羅教授的離散數(shù)學(xué)課。

PBL不僅可以用于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，經(jīng)過一定的調(diào)整，羅教授還把PBL運(yùn)用到了初等數(shù)學(xué)的教學(xué)上，比如在證明底邊為圓的直徑的三角形為直角三角形時(shí)，就要將思維拓展到多個(gè)數(shù)學(xué)知識，這就是提出問題，然后通過多種方法來講解知識。

視頻來自羅博深小學(xué)數(shù)學(xué)思維課《平面幾何基礎(chǔ)》：半圓的三角形

總結(jié)下來，解題式教學(xué)有著非常顯著的優(yōu)點(diǎn)。在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)，它能夠給學(xué)生帶來寶貴的實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，并且從中學(xué)到更多的知識。然而，使用PBL的難點(diǎn)也同樣顯著：要在課堂或家庭教育中運(yùn)用PBL，對于課程設(shè)計(jì)和授課水平都是一個(gè)非常大的挑戰(zhàn)，比起傳統(tǒng)的授課方法，老師需要花更多的精力來研究如何選題、如何上課。 PBL若能實(shí)施成功，則能起到立竿見影的效果。

正如羅教授一直在跟我們說的一樣 ——授人以魚不如授人以漁，與其用固定的方法快速地解一百題，不如用心地深入思考一題，獲得解決新問題的方式。能夠鍛煉好思維的韌性，就一定能在數(shù)學(xué)的長跑中比擅長沖刺的選手跑得更長遠(yuǎn)。