編輯&校對(duì)&插圖：楊夕歌
溫故而知新
筆者和小編在本系列上一篇文章已仔細(xì)地介紹了廣義相對(duì)論和引力場的基礎(chǔ)知識(shí)，現(xiàn)在做簡要地回顧。
廣義相對(duì)論是研究引力相互作用的理論，它最關(guān)鍵的思想就是將引力相互作用視為宇宙宇宙時(shí)空結(jié)構(gòu)彎曲的幾何效應(yīng)。在廣義相對(duì)論中，宇宙的時(shí)空結(jié)構(gòu)是一個(gè)四維（時(shí)間1 維 空間3 維）的彎曲的黎曼流形M^4 （讀者可以想象宇宙是一個(gè)彎曲的曲面，且這個(gè)曲面是4 維的），在數(shù)學(xué)中使用黎曼度量
廣義相對(duì)論告訴我們，這個(gè)量
1)我們的宇宙是一個(gè)彎曲四維的黎曼流形
2) 廣義相對(duì)論同時(shí)也給出了計(jì)算
筆桿子下出黑洞——場方程的兩個(gè)特殊解
大概許多讀者已經(jīng)聽說，黑洞最初是被物理學(xué)家們通過理論“計(jì)算”出來的。那么計(jì)算的過程是怎樣的呢？一言以蔽之——通過解愛因斯坦場方程。
如上所述的愛因斯坦場方程是研究引力場的基本方程，從它解出的
在數(shù)學(xué)上，上面這個(gè)簡單的線性方程都只能通過級(jí)數(shù)的方法得到近似解，更遑論非線性方程了——小編注
完美主義者并不好做，畢竟理想和現(xiàn)實(shí)總是有所差距的。于是物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家們不再追求完美，他們?cè)谝恍?strong>特殊情況下求解出了這個(gè)場方程的特殊解。盡管不夠完美，但這些特殊解足以幫助我們了解很多關(guān)于我們這個(gè)宇宙的信息，黑洞及其理論就是從場方程的特殊解中得到的。我們?nèi)缦陆榻B兩種著名的特殊解——Schwarzschild解
與Tolman-Oppenheimer-Volkoff解（盡管都很著名，但沒辦法，老外就是名字長——小編注）。
Schwarzschild解（以下簡稱S解）是球形星體在真空中產(chǎn)生的引力場[1]。假設(shè)：
空間中有一個(gè)球體質(zhì)量為M的物體，其半徑為r_0，
宇宙空間里的其他地方均為真空（也就是r > r_0），
考慮極坐標(biāo)（把(x,y,z)轉(zhuǎn)換為(r,)）。
極坐標(biāo)長這樣——小編注
那么這個(gè)球形的星體就會(huì)在宇宙空間中產(chǎn)生引力場，且這個(gè)引力場是球?qū)ΨQ的，它就是場方程的S解，它的形式如下：
上述解的表達(dá)式是一個(gè)黎曼度量（場方程的解都是黎曼度量，S解是對(duì)角型的黎曼度量），刻畫了在空間r處的引力場。筆者讀過很多關(guān)于關(guān)于S解的科普文章，一些文章中有很多不準(zhǔn)確的表述，筆者在此特別強(qiáng)調(diào)，S解并不是由完全真空的空間產(chǎn)生的引力場，而是具有質(zhì)量為M的球形物質(zhì)在空間產(chǎn)生的引力場。完全真空的空間所產(chǎn)生的引力場一定是四維閔可夫斯基平直空間。
Tolman-Oppenheimer-Volkoff簡稱TOV解（或T解），是場方程的另一種球?qū)ΨQ的特殊解[2]。與S解不同的是，它是宇宙中球形的星體在它的內(nèi)部產(chǎn)生的引力場。假設(shè)空間中有一個(gè)球形的質(zhì)量為M的物體，其半徑為R，那么這個(gè)球形的物質(zhì)就會(huì)在其內(nèi)部（r<R）產(chǎn)生引力場，這個(gè)引力場也是球?qū)ΨQ的，就是場方程的TOV解。TOV解的形式如下：
TOV解看似復(fù)雜些，實(shí)際上只要把R換成r，就回到了S解的形式——小編注
S解與T解都是愛因斯坦場方程在球?qū)ΨQ情形在的特殊解，都是在真空背景中由球狀的物質(zhì)產(chǎn)生的引力場，不同的是，S解是球狀物質(zhì)在球體以外產(chǎn)生的引力場，T解是球狀物質(zhì)在其內(nèi)部產(chǎn)生的引力場。有了這兩個(gè)特殊解，我們就可以認(rèn)識(shí)并探索黑洞理論了。
理論工作者如何研究黑洞？
在上述兩種特殊解的表達(dá)式中，R_s被稱為Schwarzschild半徑。以原點(diǎn)為中心在空間中可以構(gòu)造一個(gè)半徑為R_s質(zhì)量為M的球體, 記為B，這個(gè)球體表面附近的引力場（即時(shí)空的幾何結(jié)構(gòu)）具有非常神奇的性質(zhì)。在S解中，
右邊第一項(xiàng)為宇宙時(shí)空結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的時(shí)間分量，第二項(xiàng)為空間分量。我們一起來研究在球體B的表面附近的時(shí)空幾何結(jié)構(gòu)：當(dāng)r從B的外部趨近于R_s時(shí)，引力場的時(shí)間分量系數(shù)
從對(duì)S解的分析中，我們就可以得到我們所熟悉的黑洞模型了：
S解所預(yù)言的黑洞——小編注
物體在B的內(nèi)部接近B的表面時(shí)又是怎樣的情形呢？B的內(nèi)部的時(shí)空幾何結(jié)構(gòu)由T解（代入R=R_s）來刻畫，我們?cè)诨氐絋解的表達(dá)式：
其中R=R_s，用同樣的研究方法，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)r從內(nèi)部趨于R_s時(shí)時(shí)空結(jié)構(gòu)中時(shí)間分量也是趨于凝固，空間分量趨于無窮大。物體從內(nèi)部運(yùn)動(dòng)接近的B的表面是的情形與上述結(jié)果相同，物體不可能接近B的表面，也不可能從B中穿越出去。物體既不能從B的表面進(jìn)入，也不能從B的內(nèi)部出來，這種性質(zhì)被物理學(xué)家稱為'奇性'，這樣的一種具有奇性表面的球體B被稱為'黑洞'，R_s被稱為黑洞半徑。
英國物理學(xué)家愛丁頓（A.S.Eddington，1882 -1944）在建立黑洞理論時(shí)提出，黑洞外界物質(zhì)可以進(jìn)入黑洞，卻不能從黑洞中出來，并采用Eddington–Finkelstein坐標(biāo)變換，（在下文介紹）將黑洞邊界的奇性消除[3]。實(shí)際上這種觀點(diǎn)起源于牛頓力學(xué)，根據(jù)牛頓力學(xué)的觀點(diǎn)，黑洞內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)物體逃離黑洞邊界的條件是其自身的動(dòng)能大于黑洞邊界的引力勢(shì)能，即
代入
經(jīng)典的宇宙學(xué)理論又采用如下Eddington–Finkelstein坐標(biāo)變換將黑洞邊界的奇性消除：
從而認(rèn)為黑洞外部的物體可以進(jìn)入黑洞[4,5]。
來自數(shù)學(xué)上的考慮：
著作[6][7]中對(duì)上述坐標(biāo)變換的合理性提出了質(zhì)疑，因?yàn)楫?dāng)r趨于R_s時(shí)，上述Eddington–Finkelstein坐標(biāo)變換本身是具有奇性的（
），也就是說上述坐標(biāo)變換并沒有消除黑洞邊界的奇性，而只是把奇性轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)變換中去了而已。著作[6][7]從數(shù)學(xué)的角度證明了黑洞邊界的奇性是'本質(zhì)的'，外界的物體并不能進(jìn)入黑洞。從另一個(gè)角度來看。黑洞的半徑
與黑洞內(nèi)部物質(zhì)的質(zhì)量M成正比，如果黑洞可以不斷吞噬有質(zhì)量的物體，那么它的半徑也應(yīng)該在不斷變大，黑洞在不斷變大的過程中瘋狂地吞噬外界的物體，似乎是一件非常可怕的事情。文獻(xiàn)[6]的第434頁與[7]的第43頁從數(shù)學(xué)的角度給出的黑洞定理，其數(shù)學(xué)證明基于廣義相對(duì)論的正確性。不過這種質(zhì)疑到底正確與否，還尚待獲得科學(xué)界的考驗(yàn)與認(rèn)可。歡迎讀者們提出自己的觀點(diǎn)！
引力波是什么？
2017年，瑞典斯德哥爾摩當(dāng)?shù)貢r(shí)間10月3日，瑞典皇家科學(xué)院將2017年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予首先探測(cè)到引力波的雷納·韋斯(Rainer Weiss)，巴里·巴瑞斯(Barry C. Barish)和吉普·索恩(Kip S. Thorne)。于是和引力波相關(guān)的話題一躍成為了近期的一大熱門。
三位諾貝爾物理學(xué)獲獎(jiǎng)?wù)摺【幾?/p>
事實(shí)上，引力波是由廣義相對(duì)論直接得到的推論。廣義相對(duì)論將引力相互作用視為宇宙時(shí)空幾何結(jié)構(gòu)的彎曲，將時(shí)空的結(jié)構(gòu)與物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)緊密地聯(lián)系在一起, 如費(fèi)曼的老師惠勒所言“時(shí)空告訴物質(zhì)如何運(yùn)動(dòng)，物質(zhì)告訴空間如何彎曲”，而物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)和時(shí)空的彎曲其實(shí)是同時(shí)發(fā)生的，物質(zhì)在不斷運(yùn)動(dòng)中就會(huì)導(dǎo)致時(shí)空的幾何結(jié)構(gòu)發(fā)生變化（幾何曲率發(fā)生變化），而時(shí)空的部分結(jié)構(gòu)發(fā)生的變化會(huì)像波動(dòng)一樣在宇宙中傳播（以光速傳播），通俗地講這就是“引力波”，是“時(shí)空彎曲中的漣漪”，波（或者波動(dòng)）是我們生活中一種很常見的現(xiàn)象，如水波、聲波、電磁波等，引力波是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的宇宙時(shí)空幾何結(jié)構(gòu)的波動(dòng)。包括地球月球的運(yùn)動(dòng)都會(huì)產(chǎn)生引力波，但就好比古人筆下的浮游一般，產(chǎn)生的引力波極為微小難以觀測(cè)。但如果是兩個(gè)密度致密雙星的相互運(yùn)動(dòng)（黑洞或中子星），產(chǎn)生的引力波強(qiáng)度就不可同日而語了。
兩個(gè)中子星相碰撞后產(chǎn)生的引力波，圖片來自Youtube——小編注
愛因斯坦預(yù)言了引力波現(xiàn)象，同時(shí)他也認(rèn)為引力波過于微小不可能在實(shí)驗(yàn)中被觀測(cè)到。在2016 年2月11日，LIGO科學(xué)合作組織和Virgo合作團(tuán)隊(duì)宣布他們已經(jīng)利用高級(jí)LIGO 探測(cè)器，已經(jīng)首次直接探測(cè)到了引力波信號(hào)。引力波的探測(cè)成功極大地支持了愛因斯坦的廣義相對(duì)論。
引力波就好比寧靜宇宙中泛起的陣陣漣漪
上述簡介用盡可能通俗易懂的方式幫助讀者認(rèn)識(shí)引力波。那么如何用更加嚴(yán)謹(jǐn)，更加符合數(shù)學(xué)的語言來描述引力波呢？事實(shí)上由于愛因斯坦場方程是高度非線性的，為了便于計(jì)算而且基于實(shí)際的近似，我們通常把時(shí)空的黎曼度量
這個(gè)公式又稱為引力線性化（Linearized Gravity——小編注）[8]。讀者可以設(shè)想宇宙是一片平靜的湖面(用
這是一個(gè)波動(dòng)方程（無阻尼，振幅和頻率保持不變的波，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律都可以用這個(gè)方程描述，如電磁波——小編注），說明時(shí)空的彎曲
下期預(yù)告：
在本系列的下一篇文章中，筆者將與小編將開始帶領(lǐng)讀者開始了解電，弱，強(qiáng)相互作用的規(guī)范場理論，這些理論的建立與發(fā)展是二十世紀(jì)下半葉科學(xué)史上的輝煌成就。筆者將從電磁場的規(guī)范對(duì)稱性開始講述物理學(xué)家是如何一步步建立規(guī)范場的思想與理論，數(shù)學(xué)方法與物理思想如何美妙地糅合在一起，成為現(xiàn)代科學(xué)史上史詩般的交響樂。敬請(qǐng)期待！
參考文獻(xiàn)：
[1] Heinzle, J. M.; Steinbauer, R. (2002). 'Remarks on the distributional Schwarzschild geometry'. Journal of Mathematical Physics. 43 (3): 1493.
[2] J.R. Oppenheimer & G.M. Volkoff (1939). 'On Massive Neutron Cores'. Physical Review. 55 (4): 374–381.
[3] Eddington, A.S. (Feb 1924). 'A Comparison of Whitehead's and Einstein's Formul?'. Nature. 113 (2832): 192.
[4] 田納西州立大學(xué)物理系教案：http://eagle.phys.utk.edu/guidry/astro421/lectures/lecture490_ch9.pdf.
[5] 帝國理工學(xué)院物理系教案：http://www.imperial.ac.uk/media/imperial-college/research-centres-and-groups/theoretical-physics/msc/current/black-holes/bh-notes-2014_15.pdf
[6] Tian Ma, Shouhong Wang: Mathematical Principles of Theoretical Physics, Science Press, August 2015, 524pp. 下載地址：http://www.indiana.edu/~fluid/MPTP.pdf.
[7] Tian Ma， Shouhong Wang, Astrophysical Dynamics and Cosmology, J. Math. Study, 47:4(2014), 305-378.
下載地址：http://www.indiana.edu/~fluid/paper/cosmology.pdf
也可以查看劍橋大學(xué)牛頓研究所的預(yù)印本: http://www.newton.ac.uk/files/preprints/ni14098.pdf
[8] http://www.physics.fau.edu/~cbeetle/PHY6938.07F/linearized.pdf
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