上一期我們講了河圖中數(shù)字的意象，其實就是不同的數(shù)字代表不同的方位而已，從這個角度來看河圖，其實并不神秘。僅研究數(shù)字一至九本身沒有太大意義。還需要研究進位制，以及研究它們之間的運算。進位制是表示更多數(shù)的理論基礎，而運算則讓數(shù)字插上了騰飛的翅膀！
河圖(圖甲)中間的三個五中的兩個黑五的和如果也看成數(shù)字十的話，那么中間那層就有了5和10兩個數(shù)字，把天數(shù)1、3、7、9用按從小到大用帶箭頭的弧線連起來，再把地數(shù)2、4、6、8也按從小到大用帶箭頭的弧線連起來，就可以得到河圖的簡略數(shù)圖，如圖(乙)。
古人研究河圖都是從圖(甲)開始的，從現(xiàn)代人的眼光來看，確實別扭神秘了許多。因此古代真正能理解河圖的人少之又少，普及起來非常困難。而觀察圖(乙)，即使是小學生也可以說出幾個數(shù)字規(guī)律來?，F(xiàn)在很多講河圖的，大都講得神神叨叨的，就像大仙兒！只講其然，不講其所以然。一副舉世皆濁我獨清的樣子。讓別人難以登堂入室。我的這個課程則不然，我講，是從“河圖自然生成”的角度去講的，讓你弄得明明白白！我這個《數(shù)學浮沉錄》系列就是打算從遠古數(shù)學開始講起，一直講到現(xiàn)代。用數(shù)學的眼光去看歷史，用歷史的眼光去看數(shù)學，盡可能做到通俗易懂，讓大家學得幸福有趣！
一、河圖中蘊含的進位制
觀察河圖(甲)。10個數(shù)分布成四個方環(huán)。最中間的方環(huán)中只有5；向外為兩個5即10所處的方環(huán)；再向外是1、2、3、4所處的方環(huán)，其和為10；最外邊是6、7、8、9所處的方環(huán)，其和為30.因此從內(nèi)層到外層的數(shù)為5→10→10→30。這都是5的倍數(shù)，再結(jié)合柱數(shù)(生數(shù))1、2、3、4，在此基礎之上就是五進制的認識。如：十進制中的六在五進制中就是11，這個數(shù)的意思，就是“伸出一只手掌然后再伸出一個手指”。我猜在人們發(fā)明十進制之前，肯定最先采用是五進制，這與人們的一只手有五個手指相關，所以河圖可以看成是人們的手掌所表示的五進制的計數(shù)模型，我們非常熟悉的五行學說與此有關，后面我還會詳細講到。
有了五進制的理解，就不難理解我們所熟悉的十進制了。隨著表示數(shù)的增多，用五進制就不如十進制方便，五個五個數(shù)不如十個十個的數(shù)方便。于是又產(chǎn)生了利用河圖中的'1、2、3、4、5、6、7、8、9'結(jié)合對10的理解創(chuàng)造出了十進制。
另外，利用'1、2、3、4、5、6、7、8'結(jié)合對9的理解也可創(chuàng)造出九進制。
如果僅從奇偶(或天地數(shù))的角度看，那里面就僅有兩個數(shù)，偶用0表示，奇用1表示的話，那就只有兩個數(shù)0與1了，利用0與1來計數(shù)就是二進制。
所以說，河圖可以看成是二進制、五進制、九進制、十進制的計數(shù)模型，當然也可以看成三進制等其他計數(shù)模型。
當然從十進制的角度看，用這么多進位制似乎沒什么用處，好像是在故弄玄虛，僅僅是玩數(shù)字游戲一樣，其實不然！
不同進位制在不同的場合有不同的用途。中國古代曾涉及到其他的進位制。例如二進制可與陰陽學說建立聯(lián)系,《易經(jīng)》的六十四卦，體現(xiàn)了二進制的思想，現(xiàn)代計算機的基本運算原理就是建立在二進制的基礎之上的；西漢揚雄著有《太玄經(jīng)》，《太玄經(jīng)》是作者在精研《周易》的二進制后演繹而出的三進制 體系。充分地詮釋了“天，地，人”的互動理念，是世界中最早的三進制體系著作；明代朱載堉在進行律管長度換算時實際上應用了九進制；清代數(shù)學家汪萊所著《叁兩算經(jīng)》，則是中國數(shù)學史上第一次系統(tǒng)探討非十進制算術(shù)的論文，文中論述了二至九進制的理論和算法，列出了二至九進制的乘法表，并討論了非十進制除法運算有否整數(shù)和有限小數(shù)商的情形?！?/span>
還需要深入探討的是，進位制的實質(zhì)就是“生活中數(shù)目太多，一個一個數(shù)不方便，那就一捆捆數(shù)”。如十進制，就是逐個數(shù)到10時，若大于等于10個的話，那就把10個打成一捆，放到十位上去看成1，然后在十位上再按照逐個數(shù)，十位上的一個一就是10，在十位上數(shù)到9后，若加1個，就是10個1.再把十位上的10個1打成一捆(實際是10個10)放到百位上，就是百位上的1，如此進行下去…。這就是十進制的理解。其他進位制道理相同。
按十進制的理解，河圖表示的就不僅僅是這10個數(shù)，它表示的是所有的正整數(shù)，比如北方的1那個位置，除了表示1外，還表示11,21,31,41，…，這些數(shù)的公共特點都是除10余1.
僅僅用一個河圖，就可以表示出所有的正整數(shù)！這是用有限表示無限的最典型實例，是遠古先人用有限的資源駕馭無限，征服這個未知世界的智慧表現(xiàn)，咱們不得不被遠古先人的智慧所折服！
二、對河圖中縱橫的理解
河圖中以數(shù)組(5,10)為中心，(1,6)在北，(2,7)在南，（8,3）在東，(4,9)在西，這意味著具備水平與垂直的坐標觀點，利用數(shù)對去刻畫方位，這是現(xiàn)代解析幾何的基本思想，傳說解析幾何是由笛卡爾觀察屋頂上的蜘蛛網(wǎng)受到啟發(fā)創(chuàng)造的，而河圖中的解析思想要比笛卡爾早幾千年！所以中國人也把河圖稱為縱橫圖，若東西為縱則南北就為橫，若東西為橫則南北就為縱。這里的四組有序數(shù)對中國人稱為縱橫數(shù)，縱橫數(shù)不就是今天的坐標概念嗎！河圖可看作表示坐標系概念的最早的模型。由河圖引發(fā)的縱橫觀一直追隨著歷史前進的腳步，經(jīng)常聽到“縱橫天下”中的縱橫就是河圖中表達方位的意思。前面我們稱“伏羲得到河圖后，騎龍馬，攜河圖，得以縱橫天下”就是這個意思。
三、讓河圖中數(shù)產(chǎn)生運算關聯(lián)
(1)內(nèi)外層奇數(shù)相加:1+9=10,3+7=10，即逆時針方向相鄰的內(nèi)外層奇數(shù)相加的和數(shù)都等于 10 。豎向奇數(shù)相加：7+1=8，橫向奇數(shù)相加: 3+9=12.
(2)內(nèi)外層偶數(shù)相加:4+6=10,2+8=10，即順時針方向相鄰的內(nèi)外層偶數(shù)相加的和數(shù)也都等于 10。堅向偶數(shù)相加:2+6=8，橫向偶數(shù)相加:5+4=12.
(3)在1、9,3、7,4、6,2、8四組數(shù)中, 其組內(nèi)的兩個數(shù)之間互為 “和為10的互補數(shù)”。為:1 與 9 互補;3 與 7 互補;4 與 6 互補;2 與 8 互補。
也就是說, “河圖” 中, 每兩數(shù)相加后, 和數(shù)等于 10 的兩數(shù)互為 “互補數(shù)”。
(4)內(nèi)外層奇數(shù)相加:1+7=8,3+9=12.即內(nèi)外層奇數(shù)相加的結(jié)果, 豎向二者相加為8 , 橫向二者相加為12。
(5)內(nèi)外層偶數(shù)相加:4+8=12；2+6=8.內(nèi)外層偶數(shù)相加的結(jié)果, 是橫向二者相加為12 , 豎向二者相加為 8 。
由(1)(2)(4)(5)四種數(shù)的計算結(jié)果看, 無論 “河圖” 內(nèi)外層的奇數(shù)還是偶數(shù)相加, 豎向二者的和數(shù)都是 8 , 而橫向二者的和數(shù)都是 12 。
三、讓河圖中數(shù)的運算與方向的關聯(lián)
(一)同一方位上的兩數(shù)之和
(1) 1(北方)+6(北方)=7(南方)，為奇數(shù)(陽數(shù))
(2) 2(南)+7(南)=9(西) ，為奇數(shù)(陽數(shù))
(3)3(東方)+8(東)=11(按十進制，除10余1，為北) ，為奇數(shù)(陽數(shù)) (4)4(西)+9(西)=13(按十進制，除10余3，為東) ，為奇數(shù)(陽數(shù))
從(1)(2)(3)(4),可以看出：生數(shù) 成數(shù) 奇數(shù)。在四個方向上, 各方的 “生數(shù)” 加 “成數(shù)” 的和數(shù), 依次分別是 7、 9、11、13, 其各方向上的和數(shù)結(jié)果, 都是 “奇數(shù)” (單數(shù)、陽數(shù))，北+北=南，南+南=西，東+東=北，西+西=東。
(5)中間方位:5+10=15.( 除10余5,為中)，中+中=中。
總結(jié)以上計算結(jié)果可知, “河圖” 各方位上都有兩個數(shù)，一個為奇數(shù)(陽數(shù))，一個偶數(shù)(陰數(shù)) 它們的和都是奇數(shù)（陽數(shù))。
(二)同一方向上的 “生數(shù)”和 “成數(shù)”, 都同時加上一個 5。
比如，“河圖” 東方的 “生數(shù)” 3 與 “成數(shù)” 8, 同時加上一個 5 。3(東)+5=8，除10余8，8還是是東方。8(東)+5=13，除10余3，也還在東方.這說明東方的3、8各加5以后，所得數(shù)還是在東方，只不過交換了位置。
同理其他方向上也是這樣。如4(西)+5=9(西),9(西)+5=14(14除10余4，還在西，在4的位置)。
即同一方向上的 “生數(shù)”和 “成數(shù)”, 都同時加上一個 5，得到的數(shù)還是這個方向上的數(shù)，只不過位置互換了。
（三）同一方位上的“生數(shù)”和 “成數(shù)”都同時相加非5的數(shù)
(1)北方的1與6 , 都同時加上一個3 。即為:1(北)+3=4(西)；6(北)+3=9(北)
也就是說,北方兩數(shù)加3，得到的是西方相對應的兩數(shù)，內(nèi)層對內(nèi)層，外層對外層，或說生數(shù)對生數(shù)，成數(shù)對成數(shù)。
同理我們可以得到：
(2)東方的 “生數(shù)” 3 與 “成數(shù)” 8 , 都同時加上一個 7 。得到的是 “河 圖” 中間10與 15，15被10除余5,所以15仍然在內(nèi)層。
(3)東方的 “生數(shù)” 3 與 “成數(shù)” 8 , 都同時加上一個 3 。得到的是 “河圖”北方相對的 “內(nèi)層數(shù)” 6 和 “外層數(shù)” 11（11被10除余1）。
(4)東方的 “生數(shù)” 3 與 “成數(shù)” 8 , 都同時加上一個 8 。得到的是 “河圖”北方相對的 “內(nèi)層數(shù)” 11 和 “外層數(shù)” 16(16被10除余6) 。
(5)西方的 “生數(shù)” 4 與 “成數(shù)” 9 , 都同時加上一個 19 。得到的是 “河圖”東方相對的“內(nèi)層數(shù)” 23 (23被10除余3)和 “外層數(shù)” 28 (28被10除余8)。
其他各方位數(shù)與某一數(shù)的和數(shù)的結(jié)果, 依此類推。
(四)橫向(或縱向)上的兩個成數(shù)相加與兩個生數(shù)相加的關系。
如，東西(不妨先稱為橫)方向上的成數(shù)8(東)與成數(shù)9(西)相加，8+9=17，除10余7，等于東西方向上兩個生數(shù)3(東)與4(西)相加相加。
南北方向上也是這樣。
即橫向(或縱向)上的兩個成數(shù)相加都大于10，被10除所得余數(shù)，與橫向(或縱向)上兩個生數(shù)相加的和相等。
(四) 內(nèi)層生數(shù)”加10 。
如，生數(shù) 4(西) , 加10 。4(西)+10=14，被10除余4，所以14還在西方，那么從大小來看，4與14之間隔了6.
即內(nèi)層生數(shù)加中 10 。等于同方位外層相隔的成數(shù)。其他方向也是這樣。
以上我們講了河圖數(shù)字的部分意蘊，事實上，遠遠不止這些！這些知識非常重要，是進一步理解其他意象的基礎，也是周易入門的基礎。請看下一期，河圖與五行的關聯(lián)(數(shù)學浮沉錄8)
本人致力于以新數(shù)學自學輔導教學法的理念進行小初高一體化課程建設，除了小初高一體化數(shù)學課程在公眾號(龍新數(shù)學：zxfd66)陸續(xù)分布外。與之相匹配的是這個《數(shù)學浮沉錄》系列，為孩子們理解數(shù)學，擴大數(shù)學視野打開另一扇窗。也為弘揚數(shù)學文化盡微薄之力。
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