注重數(shù)學本質(zhì) 提高數(shù)學素養(yǎng)（1） 視頻下載
張奠宙 教授 數(shù)學教育家 華東師范大學
唐彩斌 中學高級教師 浙江杭州現(xiàn)代小學數(shù)學教育研究中心
唐：各位老師大家好。今天我們交流研討的話題是“注重數(shù)學本質(zhì)，提高數(shù)學素養(yǎng)”。討論小學數(shù)學教學中常見的“數(shù)學問題”，為什么強調(diào)是數(shù)學問題呢，是因為我們希望今天的交流能突出數(shù)學的本質(zhì)，幫助大家一起提升數(shù)學素養(yǎng)。也正如大家常說“教什么比怎樣教更重要”，我們今天討論的就應該屬于“教什么”的范疇。
張：各位老師，大家可能都聽到一句俗語叫做要給學生一杯水，教師必須有一桶水。所以我們今天來談談小學數(shù)學的內(nèi)容，大家不會覺得太簡單嗎？實際上我們要關注小學數(shù)學教材里邊背后的內(nèi)容，就是說我們是要源于教材但是要高于教材；另外，就是要居高臨下，我們有一些更高的觀點來觀察小學教材的內(nèi)容；其次，我們要有全面的整體的意識，知道小學數(shù)學教材他在整個教育當中的地位和作用，然后，我們就可以心中有數(shù)；最后，小學教材雖然看來比較簡單，但是它與時俱進，還是有許多時代特色需要我們展示，需要我們深入的了解。所以，我們愿意給大家來探討，小學當中的一些數(shù)學問題，我想，希望給各位理解教材，理解課程標準有所幫助?！綪PT】（PPT內(nèi)容為畫線部分，下同）
一、數(shù)與代數(shù)領域問題的討論
1．0為什么是自然數(shù)
唐： 現(xiàn)在我們就按照小學數(shù)學的幾大領域來選擇一些問題來具體分析。我們都知道，小學數(shù)學中最大的學習領域是數(shù)與代數(shù)領域。首先我們討論關于自然數(shù)。大家可能會問： 自然數(shù)誰不懂？ 這里還會有數(shù)學問題嗎？其實與時俱進地看，自然數(shù)的問題還真不少。大家可能爭論最多的是“0本來不作為自然數(shù)，現(xiàn)在怎么又說是自然數(shù)了，為什么”？
張： 在上世紀90年代以前，自然數(shù)不包括0，但是1993之后，就包括0在內(nèi)，這當然是一個規(guī)定所產(chǎn)生的，那是在1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》里面有一句話說規(guī)定自然數(shù)包含0，從此之后，0就屬于自然數(shù)的范圍了。【PPT】
唐： 從近年來編寫新課標小學數(shù)學教材中，我們可以發(fā)現(xiàn)教材也都根據(jù)上述國家標準進行了修改。具體的表述是：用0表示“一個物體也沒有”所對應的計數(shù)。【PPT】只是在教學中，有些老師覺得把0作為自然數(shù)，與傳統(tǒng)不同，不太習慣。
張： 這只是習慣問題。0是自然數(shù)有許多理由。首先， 人的經(jīng)驗是，從無到有。 魔術師先交代兩手空空， 再變出一只兔子， 然后兩只兔子……。鉛筆盒中本來是空的，然后裝進一支鉛筆、兩只等等。第二，更重要的是書寫的需要， 十的位置記數(shù)寫法是10?！綪PT】 沒有0， 就寫不出10，20，30， 100。 所以0，1，2……9， 共十個數(shù)字是最基本的。第三， 0的出現(xiàn)可以保證自然數(shù)集有單位元 a+0 =0+a=a.【PPT】在自然數(shù)中5－5＝0，如果0不是自然數(shù)，那么5－5豈不是不能減了。此外，大數(shù)學家馮·諾依曼用集合論的語言寫自然數(shù)， 第一個是“空集Φ”， 用0表示，【PPT】 然后把以空集為元素的集合{Φ}叫做1， 依次類推。從文化的角度看來“有”也是從沒有開始的。
唐： 這么說， 0是自然數(shù)的說法，既有生活經(jīng)驗， 又符合數(shù)學規(guī)則， 還有文化背景和科學依據(jù)， 是合乎情理的。
說起習慣，從某種意義上是老師的習慣，學生其實沒有這樣的習慣。從這個角度來說，有時有些新的事物老師認為難接受，但學生反而覺得好接受，可能也是這樣的原因吧。
2．數(shù)位的分級是三位一級還是四位一級
唐：下面的類似問題是關于數(shù)位的分級。自然數(shù)用十進位記數(shù)。在小學里教材上，讀數(shù)與寫數(shù)的時候，一向強調(diào)四位一級，分為個級、萬級、億級，但是在現(xiàn)實生活，無論是銀行里的計數(shù)，還是信息技術中的計數(shù)都是三位一級，即個、千、百萬……，從數(shù)學角度上怎樣看這種現(xiàn)象？
張：這個問題我覺得應該“與時俱進”，在以前我關注到，小學數(shù)學教學中只講四位一級，只講個、萬、億。但是現(xiàn)在與國際接軌之后“千”的用途越來越大。所以說四位計數(shù)是我們的傳統(tǒng)，必須保持，【PPT】我們的學生應該懂，三位一級更是國際慣例，又必須與國際接軌，【PPT】我們也應該讓學生掌握。兩種并存，是必然趨勢，逐步與國際接軌。我們也注意到，像尺和寸現(xiàn)在就用的比較少了，米和厘米用的比較多了。將來，會通過社會的選擇來確定哪一種是主要的。我想，兩種都要學，這大概是不可避免的。
唐：聽張老師這么一說，我們知道既要保存?zhèn)鹘y(tǒng)，又要與國際接軌。也有學者把數(shù)位的分級與空間圖形結(jié)合起來，認為“三位一級”更符合數(shù)形結(jié)合的規(guī)律。具體地說，一個小立方體表示1， 那么10個一排就是10，10個10排成1個面就是一個百，每一百算一層，10層就是一個新立方體，表示“千”。 再從“千立方體”出發(fā)， 10個一排， 10排構(gòu)成面， 10個面疊成新的立方體就是一百萬。這就很形象地描繪出“三位一級”的構(gòu)造?！綪PT】這樣看來，“三位一級”也是可以通過數(shù)形結(jié)合來描述這種結(jié)構(gòu)。
張：我還注意到，不管是“四位一級”還是“三位一級”，百萬是大家共用的名詞， 例如“百萬雄師”，“和百萬英鎊， 中外都用百萬形容很多。所以對百萬我們還應該多多的關注。
唐：張老師說起那個百萬，就不僅讓我想起我們經(jīng)?？吹降囊恍┱n題教學。我們經(jīng)常聽到這樣的片段，1百萬有多大？讓學生認識 “1百萬顆黃豆有多少體積。” 【PPT】
張：當初設計這樣的教案，它的初衷是好的，就是要大家體驗一下一百萬是怎么樣過來的。它一定是從一開始，然后到十、百、千一點一點數(shù)出來的。當數(shù)目很大的時候，數(shù)起來很費力。讓兒童經(jīng)歷這樣一個過程還是很有好處。不過，我又覺得，我們本質(zhì)上還是要關注100萬這個數(shù)的結(jié)構(gòu)。至于說100萬粒米有多大，這個不是數(shù)學要研究的問題，這是個別的體驗，100萬粒米， 100萬顆花生， 100萬個籃球有多大等像這樣的問題是沒有窮盡的，也不是我們每個人都需要去體驗的。所以。我覺得還是要把精力放在100萬的結(jié)構(gòu)上面，比如100萬里面有多少個1000，100萬里面有多少個1萬，我們每人捐款1000元，要捐到100萬需要多少個人捐，這樣的素材不僅有現(xiàn)實背景，而且還有數(shù)學意義，可能更值得我們?nèi)ニ伎?/span>。
3．分數(shù)的定義
唐： 聽張老師這么說，就是我們在組織這樣的活動的時候，一方面要關注現(xiàn)實背景，但是更重要的是要關注數(shù)學的意義。前面我們主要討論的是關于自然數(shù)的問題。接下來我們要討論的是一個比較難學，但卻很重要的課題：分數(shù)。我想我們從分數(shù)的定義開始談起。教材很多都是從份數(shù)的定義開始的?！綪PT】 一般都這樣描述：單位1平均分為若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)?！綪PT】這樣的描述聽起來比較自然，也符合“幾分之幾”的稱呼。因而是引入分數(shù)的首選。張老師你怎么看。
張：對，用份數(shù)的定義來引入分數(shù)是非常自然的。但我覺得這樣也有缺點，最后是一份或幾份，那究竟是自然數(shù)還是分數(shù)？這樣不太明確。因此必須盡快過渡到分數(shù)的“商”定義，分數(shù)的定義就是，分數(shù)是兩個正整數(shù)a，b，a除以b的商。所以分數(shù)是一個商，這個概念我們現(xiàn)在注意的不夠，而這恰恰是我們學習分數(shù)的核心所在。用a除以b，當除的進時（整除），就是原來的自然數(shù)，沒什么問題，問題就在除不進的情況下面，那么我們就得到了一個分數(shù)，這就是分數(shù)所以要成為分數(shù)根本的原因，就是除不進的情況下需要分數(shù)，除的進就不需要分數(shù)了。
例如1/4， 它是一個整體平均分為4份中的一份。 但是， 這一份究竟有多大呢？ 1除以4的商是多大呢？它一定比1小， 卻又比0大。于是我們在數(shù)射線上可以標出它的位置：它在0和1之間，當中這一點是一半就是1/2，把1/2和0之間再分一半，那個地方就應該是1/4，這樣一畫，數(shù)的概念就出來了。這就顯示它是一個新的數(shù)，是原來自然數(shù)所沒有的數(shù)，它是我們現(xiàn)在要研究的對象。商的分數(shù)的定義比份數(shù)的定義要深入一步，體現(xiàn)了分數(shù)出現(xiàn)的必要性，特別是商和除法之間的關系，我想，如果理解了這一點，分數(shù)的價值才能完整的體現(xiàn)。
份數(shù)定義還停留在“幾份”的思考上，還沒有擺脫自然數(shù)的表示。1份，幾份，是分數(shù)還是自然數(shù)？ 因此必須盡快過渡到分數(shù)的“商”定義。
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0 1
【PPT】
唐：剛才張老師也說起分數(shù)與除法的關系，但是以前我們描述分數(shù)與除法的關系時只講分數(shù)與除法之間的關系，一般描述為：分數(shù)中的分子相當于除法中的被除數(shù)，分母相當于除法中的除數(shù)。但到底是怎樣的一種關系，尚不明晰。通過剛才的介紹分數(shù)的商的定義，可能分數(shù)是一個新的數(shù)。張老師，你剛才還提到了分數(shù)的另外一種定義，那是一種怎樣的定義？
張：分數(shù)的第三個定義是比的定義
兩個自然數(shù) a比b, b≠0,即a/b叫做分數(shù)。
比和除，本來是一個問題的兩個方面，我的意思是說，用比的概念之后，分數(shù)就可以擴大它的應用范圍，使我們的視野更廣闊。我記得我曾經(jīng)請你做過一個實驗，你把實驗向大家介紹一下。
唐：好的，我們來分享一下這個實驗的結(jié)果。上次張老師布置我做過一個小調(diào)查，我們就組織了100多名學生，分別來自三、四、六年級，調(diào)查的方法是，就是當學生看到屏幕上有一個圓，我們把圓分成4份，其中的一份涂成藍色，這時學生會想到哪些分數(shù)呢？我們給學生一些時間，讓他們想，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)：（時間2分鐘）【PPT】
測試結(jié)果： 【PPT】
| | 總?cè)藬?shù) | 1/4 | 3/4 | 1/2 | 4/1 | 1/3 | 3/1 |
| 三年級 | 39 | 38 | 14 | | | | 0 |
| 四年級 | 39 | 36 | 17 | 10 | 8 | 8 | 2 |
| 六年級 | 38 | 36 | 8 | 3 | | 3 | |
| 合計 | 116 | 110 | 39 | 13 | 8 | 11 | 2 |
| 百分率 | | 94.83 | 33.62 | 11.2 | 6.90 | 9.48 | 1.72 |
張老師。你怎么看這個數(shù)據(jù)。
張：我想，比的定義和我們原來份數(shù)的定義是相關的，份數(shù)的定義是說一個整體平均分之后，其中的幾份。從這個小調(diào)查看出，以整個圓作為“整體單位”的思維定勢還是比較強的。但整體不僅僅是一個圓，也可以是1個半圓，或3/4個圓，所以整體是可以變化的，是可以有多種多樣的選擇的。所以就一個大學的教師來看，我首先看到的是在1個圓里面1快藍3塊白，藍和白之比是1：3，然后馬上就認為是一個1/3。所以說不能把一個整圓分成4等分作為一種定式，以至于看不到一塊藍三塊白之間的比。我想比的定義也許和份數(shù)之間的靈活轉(zhuǎn)換有一定的關系，我也希望大家把份數(shù)和比的定義連接起來思考。
唐： 如果電視機前面的老師也有興趣的話，你也不妨對你班里的學生做這樣的調(diào)查，或許你能更加深刻的認識到剛才張老師所講的從份數(shù)定義怎樣過渡到商的定義的重要性。因為在這個過渡的過程中，讓我們明確了分數(shù)是不同于自然數(shù)的一種“新”的數(shù)，是我們的新朋友。當我們把1/3，1/6等等分數(shù)標在數(shù)軸（數(shù)射線）上的時候 ，新數(shù)的面貌就完全呈現(xiàn)出來了。【PPT】
4．分數(shù)基本性質(zhì)
唐：分數(shù)學習中有一個重要的性質(zhì)，是老師們都特別熟悉的，就是分數(shù)的基本性質(zhì)。但是所謂基本性質(zhì)，我們總是這樣描述：分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。除了這樣的描述，究竟是什么性質(zhì)呢？并沒有明確的詞語，好像總得有一個特別的名字才好。從數(shù)學的角度應該怎么描述？
張：我想，這就是分數(shù)相等的性質(zhì)，在自然數(shù)里面，兩個數(shù)相等，這兩個數(shù)的表達是一樣的，2等于2，2就是2。在分數(shù)里面，不同形式的分數(shù)，它是相等的，但相等的東西可以不一樣，這就是一個新問題了。在數(shù)學上面，這叫做“等價類”。就是把不同表現(xiàn)形式的東西歸為一類，這樣，我們在觀察問題時，就不僅是看一個數(shù)，而是看一群數(shù)，一類數(shù)，這類數(shù)我們就叫做“等價類”。這個思想在教材當中未見得要出現(xiàn)，但是作為老師我們要認識到，自從進入分數(shù)范圍內(nèi)以后，這個基本性質(zhì)，實際上是說明了：不同的東西可以歸為一類，但是它們有個標準，就是數(shù)值相等。“等價類”是一種非常重要的數(shù)學思想，也是我們處理分數(shù)不可缺少的一個思考。
大家也可以看這個“等價類”例子，
1/2所在的等價類，各個分數(shù)彼此相等：
1/2 = 2/4= 3/6 =……= n/2n =……【PPT】
唐： 聽張老師這么一說，就是說有不同分數(shù)的外形，但是它的數(shù)值是一樣的，如果要派代表的時候，我們都很熟悉，叫做最簡分數(shù)。那么用最簡分數(shù)作代表行不行？你能不能給我們結(jié)合具體的事例形象地說明一下？
張： 我可以有兩個比喻：
一個是：分數(shù)好像一個人可以穿不同的衣服。體育課穿運動服，上課穿校服，正式場合穿西裝，文藝演出穿演出服， 休閑時穿休閑服等等。不同場合穿不同衣服，雖然最常用的是校服，但校服不能代替其它的服，但人是同一個。
另一個是：分數(shù)又好像我們的學校。里面的成員都是平等的，都能代表學校，但是各有各的作用。校長會議校長去參加，數(shù)學教師活動請數(shù)學教師去，5年級學生的競賽則必須由5年級學生參與。
所以我想，“等價類”就是這樣，大家都是平等的，不同的場合要有不同的表示形式。最簡分數(shù)固然重要，但分數(shù)相加需要通分， 最簡分數(shù)就不夠用了。就如校長雖然重要，卻不能代表一切。所以你剛才提的問題很好，所謂分數(shù)的基本性質(zhì)，就是分數(shù)相等的性質(zhì)。什么叫做分數(shù)相等，就是這樣的定義。
唐：經(jīng)過張老師這樣形象地描述，分數(shù)的這個等價性大家一定清楚些了。那為什么分數(shù)要出這樣一個基本性質(zhì)，而自然數(shù)沒有呢？
張：相等的自然數(shù)只有一種形式。 但是相等的分數(shù)卻有不同的形式。 而且分數(shù)的約分，通分在后續(xù)學習中非常有用。所以必須認真學習，加深理解。
唐：基于以上的討論，我感到分數(shù)教學對我們老師的啟示有以下兩點： 第一， 分數(shù)是“新朋友”，是除不盡情形下引進的新數(shù)。分數(shù)的本質(zhì)在于使得自然數(shù)的除法總可以施行，因而分數(shù)的“商定義”顯得十分重要。 第二。分數(shù)是一個大家庭，相等的分數(shù)可以有不同的形式。等價類的思想應該有所滲透?！綪PT】
5．小數(shù)與分數(shù)的關系
唐：說完了分數(shù)，我們來討論和分數(shù)密切相關的小數(shù)，小數(shù)與分數(shù)的關系，我們常常這樣說：小數(shù)是分數(shù)的另一種形式。十分之幾的分數(shù)可以寫成一位小數(shù)，百分之幾的分數(shù)可以寫成兩位小數(shù)，……依此類推，所以一般都先學分數(shù)再學小數(shù)。你怎么看？
張：先學分數(shù)再學小數(shù)是從一般到特殊，一般的分數(shù)有了，我們再來研究特殊的，以10為分母的分數(shù)。但是小數(shù)是不是因為分數(shù)才產(chǎn)生的呢？這不是。小數(shù)的產(chǎn)生與現(xiàn)實中的度量有密切關系。我們有了尺所以下面有寸、有分，我們有了斤所以下面有兩。所以我想，如果我們先學分數(shù)，比如說幾元、幾角、幾分，然后再把特殊的分數(shù)，我們分成10份的分數(shù)，推廣為一般，從特殊到一般，也是一種認識的規(guī)律。所以這兩者，在我所見到的國內(nèi)外許多教材當中，是有不同的安排的。有些就是由一般到特殊，像我們現(xiàn)在多數(shù)采取的，有些國外的教材就是從特殊到一般，先有小數(shù)這樣的分數(shù)，然后在推廣到一般的分數(shù)，都是可以的。
唐：看來現(xiàn)代人們在編教材的時候有不同的解讀，所以順序也不一定一樣。哪么我們想小數(shù)與分數(shù)之間到底有怎樣的關系，有什么區(qū)別呢？在數(shù)學史上到底是先有分數(shù)還是先有小數(shù)？
張：中國在商代，就是現(xiàn)在出土的文物中就有尺了，那個尺里面就有寸，而且是十進位的，所以這個是有考古的實物為證的，所以小數(shù)在商代就出現(xiàn)了。分數(shù)根據(jù)記載是在春秋時代出現(xiàn)的，比商代就要晚很多了。從中國的小數(shù)和分數(shù)出現(xiàn)的時間來說，是先有小數(shù)，后有分數(shù)。于一般分數(shù)。度量衡的發(fā)展大約始于父系氏族社會末期。傳說唐帝“設五量”，“少昊同度量，調(diào)律呂”。這時的單位尚有因人而異的弊病?！妒酚?#183;夏本紀》中記載禹“身為度，稱以出”，則表明當時已經(jīng)以名人為標準進行單位的統(tǒng)一，出現(xiàn)了最早的法定單位。商代遺址出土有骨尺、牙尺，長度約合16厘米，與中等身材的人大拇指和食指伸開后的指端距離相當。尺上的分寸刻劃采用十進位?！綪PT】
唐：分數(shù)產(chǎn)生在什么時候呢？
張：我國的分數(shù)記載出現(xiàn)于春秋時代（公元前770年～前476年《左傳》中，規(guī)定了諸侯的都城大?。鹤畲蟛豢沙^周文王國都的三分之一，中等的不可超過五分之一，小的不可超過九分之一。秦始皇時代的歷法規(guī)定：一年的天數(shù)為三百六十五又四分之一。在小數(shù)出現(xiàn)的時候，并不覺得這是分數(shù)。 后來有了一般的分數(shù)概念，才看到小數(shù)是“沒有寫分母”的分數(shù)， 其分母由位置確定。
唐：古代的教學史對我們現(xiàn)代的教學也是有一定的啟示的，有一種關系可能是值得我們思考的，就是既然分數(shù)可以和小數(shù)互化，那么已經(jīng)有了小數(shù)， 何必還要學習分數(shù)呢？
張：問題就在于實際的需要，小數(shù)是運算比較方便，很容易看得出來它的大小，但是無限循環(huán)小數(shù)的加減乘除非常麻煩。因此，分數(shù)運算必須單獨學習。 反過來， 只學分數(shù)不學小數(shù)也不行。 因為小數(shù)是十進位的， 比較實用。 尤其是比較兩個小數(shù)的大小， 無論是有限小數(shù)還是無限循環(huán)小數(shù)，用“字典順序”比較，一目了然。不像面對兩個分數(shù)， 要比較它們的大小比較困難。所以說，它們各有各的好處。
唐：小數(shù)和分數(shù)在具體的問題當中各有個的好處，通過剛才我們討論小數(shù)與分數(shù)的關系，也正是印證了張老師最前面講的一句話，讓我們總體把握，做到心中有數(shù)。
6．算法多樣化的思考
唐：討論完了數(shù)以后，我想在數(shù)與代數(shù)當中另外一大塊就是計算，或許電視機前的老師和我們一樣，現(xiàn)在一提起計算，腦子里就會反映出一個新的詞，叫做“算法多樣化”，這也正是我們新課程改革以來，一直倡導的一種理念，
張老師你是怎樣看“算法多樣化”這種理念的？
張：算法，就是計算方法。隨著計算機時代的到來，計算機可以做各種各樣的事情，但是計算機都是按照算法運行的，所以算法的重要性不言而喻。所以《新課標》提出算法的意義，也提出了算法的多樣性也是非常必要的。 而小學提倡算法多樣化， 目的在于重視算法， 創(chuàng)造性地運用算法。
唐：“算法多樣性”是一種好的理念，但是在具體的實施過程中，我們又會碰到怎樣的問題呢？我來舉一個例子：28×15，兩位數(shù)乘兩位數(shù)。
學生可能使用的其他方法，至少有以下四種：
28×15＝28×（10＋5） 28×15＝28×5×3
＝28×10＋28×5 ＝140×3
＝420 ＝420
28×15＝15×4×7 28＝30－2
＝60×7 28×15＝30×15－2×15
＝420 ＝420
一位同學是把15分拆成10＋5，然后利用乘法分配律計算出結(jié)果，另外一位同學是把28分成4×7，然后先用15和4相乘得到60，然后在乘以7也得到420的結(jié)果。還有同學是把15分成5×3，然后再來相乘算出結(jié)果。有同學把28看成是30-2的差，再和15相乘。
當然，在計算的過程當中有一種基本的方法，就是豎式計算的方法。
首先是常規(guī)的豎式計算?！綪PT】
28
× 15
----------
140
28
--------
420
這么多的算法，張老師你怎么看。
張：算法可以多樣化，但是必須選擇一種作為基礎。 豎式計算方法， 就是大家的首選。這是無數(shù)的人，經(jīng)過挑選之后確定下來的，無論在國內(nèi)還是國外都是一樣的。豎式算法是基本技能，基本算法。它的特點是程序化、機械化，按部就班，能夠?qū)Ω度魏挝粩?shù)、任何形式的自然數(shù)的加減乘除運算。這個算法雖然顯得笨重一點，也不夠簡便，但它是最基本的，我們必需把基本的先掌握好。將來多項式相乘也是這樣操作。我們把這類算法，稱作通性通法。它永遠行得通，算得出。其它的算法都在它的基礎上靈活運用，隨機應變。
唐：這種通性通法也有算起來不夠迅速、快捷的缺點，而上面指出的學生的一些簡便算法，是一種針對特殊問題的特殊算法，屬于“巧算”一類，不能適用一般情形。我們使用這些特殊算法，有助于提高計算效率，培養(yǎng)個人的計算特點，增強數(shù)學的創(chuàng)新能力。張老師你認為課堂上出現(xiàn)的多種多樣的方法，是否需要 “優(yōu)化”？
張：豎式計算是笨辦法，但永遠有效。但是，我們每個人都有自己的個性，肯定也有一些自己喜歡的個性的算法。相對而言其他算法更加巧妙，但要隨機應變，沒有普遍性。實際上如果把上面的四種方法比較一下就可以發(fā)現(xiàn)，有兩種算法其實就是利用乘法分配律，另兩種就是湊整的思想，都特別有利于心算。乘法分配律在數(shù)學中的作用，有學者認為，相當于人類從石器時代到鐵器時代；靈活運用分配律是一種數(shù)學技能。所以，我想在提倡算法多樣化的時代，一方面要把豎式算法學會，同時也要充分運用一些能使我們計算更加簡便、靈活的算法，要把基礎和靈活都掌握好。
唐：張老師剛才在講算法多樣化的時候，還特別提到了乘法分配律它特別重要的地位，我想盡管它不是我們算法多樣化的一種普遍的規(guī)律，但是它的重要性或許會引起大家更多地思考。同時在算法多樣化問題上， 橫式計算方法值得重視。其原理是從高位到低位，與豎式計算相反。 例如
28×15 = 20×10 + 20×5 + 10×8+ 5×8
= 200 + 100 + 80 + 40 = 420。
先用兩個乘數(shù)的十位和十位相乘，再用第一個乘數(shù)的十位和第二個乘數(shù)的個位相乘，在分別用以第一乘數(shù)的個位和第二個乘數(shù)的十位相乘，然后再是個位和個位相乘，最后相加。這種橫式算法張老師你是怎么看的。
張：橫式算法在國外比較盛行，可能是因為它對算理說的比較清楚，它揭示了不同的位數(shù)它們所產(chǎn)生的作用。但是它有一個缺點，就是對位比較復雜，在對位的過程中容易出錯，所以橫式算法還是不如豎式算法哪么有效。橫式算法是一種從高位到低位的算法，和中國的珠算加法相同。所以現(xiàn)在國內(nèi)外一致討論的結(jié)果是豎式算法為主，橫式算法為輔來說明算理，再加上各種各樣的簡便、創(chuàng)造性的一些計算方法，使得“算法多樣化”真正成為中國數(shù)學教育的一個特色。
唐：剛才張老師講起來從低位算起還是從高位算起，讓我也想起了張?zhí)煨⒗蠋熖貏e提到的對算法多樣化的一種理解，他認為起算點不同也是我們算法多樣的一種不同，有的從低位算起有的從高位算起。橫式算法在對位的過程中比較容易出現(xiàn)錯誤，而豎式算法是一種通性通法，從后續(xù)學習當中來看，即便我們以后學習多項式的乘法，也是符合這樣的道理的。
張：對，以前降冪排列，升冪排列都是按照豎式計算的方法。
唐：也就是說，豎式計算不僅適用于小學，也是后續(xù)學習當中都要用到的方法。
唐：說起計算，張老師在你編著的《中國數(shù)學雙基教學》中，提到雙基的一個維度是速度。對于學生的計算，我們是不是要提出一些速度的要求？
張：從國內(nèi)外的調(diào)查來看，中國學生的計算能力特別是心算的能力是被國際公認的。新加坡一個代表團在調(diào)查后認為中國學生的心算能力要強于新加坡，當然比美國就更好，這種計算的能力對我們成人后的生活也是非常重要的，所以我們一定要保持中國學生在心算領域的優(yōu)勢。但要注意的是，我們說的心算主要是指100以內(nèi)或者兩位數(shù)的加減乘除，過多的則沒有必要。速度是我國雙基的一個維度。但是對于計算來說，隨著計算器的普及，不需要對計算有過高的要求，尤其不要用一些大數(shù)目的繁雜的計算來考查學生計算能力。這種機械的勞動還是讓機器來做比較好。但是，兩位數(shù)的加減運算，一位數(shù)乘兩位數(shù)等的心算能力，還是非常重要的，屬于“雙基”范疇。
唐：我想是不是可以這樣理解，我們作為老師去考察學生的計算能力的時候，不要用那種繁雜的、特別大數(shù)字的計算題來增加學生計算的難度，而學生對于計算基本的方法是否掌握，是我們所更要關注的。記得以前張老師也請中西部的一位老師做過這樣的調(diào)查，或許電視機前的老師會想，中國的計算那么好，是不是也是指我們那里呢？
張：現(xiàn)在小學生的計算能力，張曉霞老師做過一個非常詳細的調(diào)查，我總的感覺中國的計算能力確實比外國要強很多，或許要求是高了一點。但是因為我們已經(jīng)有了這樣一個傳統(tǒng)，丟掉一個傳統(tǒng)很容易，但保持一個傳統(tǒng)很困難，所以我們應該在保持一個合理的計算速度的基礎上進行改革。
唐：我想聽了張老師剛才這樣的點評以后，我們中西部的老師心里一定會更加自信了，因為我們在計算方面的優(yōu)勢說不定就在你們班里。
7．什么是代數(shù)？
唐：剛才我們討論了數(shù)和計算，其實有一個名詞或許老師也和我一樣有疑問的，叫做“數(shù)與代數(shù)”，新課標設置了“數(shù)與代數(shù)”的學習領域。過去的小學里，對于數(shù)的認識我們比較熟悉。至于代數(shù)，相對來說比較陌生一些。怎么理解代數(shù)？
張：代數(shù)學的西文名稱是algebra，是9世紀阿拉伯數(shù)學家花拉子米的一部著作的名稱。原意是“還原與對消的科學”。什么叫做對消，大家知道的有正負對消，就是解方程時所謂的移項，所謂還原，就是把本來淹沒在方程中的ｘ把它暴露出來，還原了ｘ的本來面目，所以方程是和代數(shù)緊密聯(lián)系的，所以我們一說到代數(shù)，就會聯(lián)系到解方程?！綪PT】
唐：一般在學習方程之前，我們都要先學習“用字母表示數(shù)”，方程理論就是“用字母代表數(shù)”嗎？它們之間到底以一種怎樣的關系。
張：單單用文字代表數(shù)， 還不是代數(shù)。例如加法交換率寫為： a+b = b+a ,雖然也用文字代表數(shù)，卻和代數(shù)思想方法沒有關系。用文字代表數(shù)，即設某量為x這樣的做法,只是運用代數(shù)方法的第一步。它后面進一步的是“式”的運算，有“式”參與運算就是代數(shù)。所以所謂代數(shù)，就是把文字代表數(shù)往前推一步，可以進行“式”的運算，最后把問題數(shù)找出來這樣一個過程全部叫做代數(shù)。代數(shù)思想方法的核心是基于含有x的“式”的運算來求得未知數(shù)，最后解決數(shù)學問題。從數(shù)的運算到“式”的運算， 是算術與代數(shù)的根本區(qū)別。
唐：聽得出來就是從“數(shù)的運算”到“式的運算”，才是算術與代數(shù)的根本區(qū)別。這就是說，所謂代數(shù)，需要和方程聯(lián)系在一起。代數(shù)的主要內(nèi)容就是通過文字和數(shù)的運算，把方程中的未知數(shù)求出來。【PPT】
唐：小學數(shù)學的“代數(shù)”內(nèi)容就是能夠部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cx＋d這樣的方程小學里解起來還是有些困難。
張：解一般的一元一次方程的通性通法，需要使用負數(shù)，沒有了負數(shù)解方程就不能夠完整的體現(xiàn)出來。但是從我們國家的教學情況來看，小學生學習負數(shù)還是比較困難的，我們現(xiàn)在的課標也沒有把負數(shù)放到小學教學的內(nèi)容里面，那我們應該怎樣解方程呢？那就是逆向思維的方法。而逆向思維的方法本質(zhì)上又是一種算式思維的方法。用逆向思維解方程，是現(xiàn)在小學數(shù)學里應該掌握的一部分，接下來就是在中學里進行負數(shù)的學習，然后把方程的全部都解出來。在逆向思維解方程中，要做到適可而止，學生能通過一些簡單的逆向思維把方程解出來即可，不要搞一些繁難的逆向思維，結(jié)果等到將來這些逆向思維都沒有用。而且當學習負數(shù)之后，解方程就是程式化的，一步步做下來就是了，根本不需要逆向思維，逆向思維太多了，反而會干擾負數(shù)的學習，所以，我們逆向思維的要求應該是適可而止、不要太高。
唐：張老師多次提到適可而止，剛才也講到負數(shù)的概念，其實小學里只是一個簡單的涉及，但是不參與運算，所以解方程是就不能運用這方面的知識了。
其實對方程的概念我們也常有爭論，關于方程概念的爭論也很多。如：x=1。是不是方程？雖然我們說要避免這樣的爭論，但是老師當看到試卷上有這樣的問題時，還是會為此爭論不休。張老師你如何看這樣的爭論。
張：方程的本意就是要求未知數(shù)，如果ｘ=1，未知數(shù)也求出來了，也就沒有方程的問題了，所以我們也就不需要去爭論這些問題，比如說０×ｘ＝０是不是方程？ｘ－ｘ＝０是不是方程？這樣的問題還有很多，但對我們學習方程知識是沒有關系的，所以要把這些形式的問題淡化掉，不要在這些無意義的問題上面進行爭論，數(shù)學上不可能把所有的問題按照邏輯的關系一一寫出來，因為那樣做的話過于繁瑣，我們只有抓住方程就是一個從等式的關系求未知數(shù)這一主要關系，其它一些枝節(jié)問題，一些過于形式化的問題則不必過分的關注。正如西南師范大學的老校長陳重穆先生所說需要“淡化形式，注重實質(zhì)”。【PPT】
唐：也就是說，對于我們教學來說，我們不要過度的爭論是不是方程，而是要討論怎樣解、會不會解這樣的方程。我想我們大家一定要牢記剛才張老師所講的西南師范大學的老校長陳重穆所講一句話：“淡化形式，注重實質(zhì)”，這應該成為我們數(shù)學教學的追求。由于時間的關系，這一講就講到這里，謝謝大家。
注重數(shù)學本質(zhì) 提高數(shù)學素養(yǎng)（2）
張奠宙 教授 數(shù)學教育家 華東師范大學
唐彩斌 中學高級教師 浙江杭州現(xiàn)代小學數(shù)學教育研究中心
8． 問題解決與應用題的教學
唐：在數(shù)學新課程改革中，電視機前的老師會有很大的困惑，就是以前特別熟悉的應用題不見了，取而代之的是解決問題。這兩者有怎樣的聯(lián)系？我們應該怎樣來處理傳承與創(chuàng)新之間的關系？請張老師從數(shù)學的角度談談這兩者之間的關系。
張：數(shù)學問題分為兩類，一類稱為純數(shù)學問題，像歌德巴赫猜想，另一類稱為應用問題，像大學里有應用數(shù)學專業(yè)，可見應用問題是客觀存在，似乎不必回避。我們反對的是過去小學數(shù)學中那些“矯揉造作”的遠離現(xiàn)實，使學生得不到什么教育的應用題。
新的應用題， 其情境更有真實性，方法上強調(diào)數(shù)學模型的建立。條件可以冗余， 數(shù)據(jù)需要取舍， 模型需要建立， 結(jié)果需要驗證。 像這一些都是過去的應用題所缺乏的。
唐：張老師你也常常提起一個很典型的例子，就是弗賴登塔爾舉過的一個例子，你能否再給大家介紹一下。
張：對，這是我很欣賞的一個例子，弗賴登塔爾可以說是20世紀最偉大數(shù)學教育家，【PPT】弗賴登塔爾有一個經(jīng)典的問題：“昨夜外星人訪問我校，留下了一個巨大的手印（圖）， 今夜他還要來，試問： 我們給他坐的椅子應該有多高？他用的新鉛筆應該要多長？【PPT】像這樣的問題很現(xiàn)實，使我們每個學生都很感興趣，但是它蘊含的數(shù)學思想又非常深刻。尤其是體現(xiàn)比例的思想，通過測量兩只手大小的比值， 按比例放大，將比值用于設計椅子高度和鉛筆長度， 這是比、比例、相似等數(shù)學本質(zhì)的體現(xiàn)。像這樣的問題就和過去的應用題有很大的區(qū)別，是我們需要關注的。
唐：像這樣的問題既具有現(xiàn)實意義，又包含了很重要的數(shù)學思想。但說起應用題與解決問題，還有一個著名的“船長問題”不得不讓我們重提。“一條船上有75頭牛， 32頭羊， 問船長幾歲？”。記得這個題目最早是張教授引進國內(nèi)的。那時是怎樣的一個背景情況？【PPT】
張：當時我是在一個國際會議上面，見到法國的一個數(shù)學教育家，他告訴我在1980年前后，他們在法國進行調(diào)查。 這本來是一道是不能做的題目，可是在調(diào)查過程中發(fā)現(xiàn)他們學校的學生往往能夠做出來，因此法國的教育家說了一句很語重心長的話：“我們的學校是不是把孩子越教越笨了？”記得那年我們在國內(nèi)也選取一些學校做實驗，結(jié)果有近90％的學生得出來答案。學生都有這樣的思想，就是老師出的題目都是對的，都是有答案的。
唐：對，當時我也是看到你的調(diào)查有一些新的啟示，這么多年過去了，現(xiàn)在的情況又是怎樣的呢？所以最近我們又做了一個調(diào)查，老師們可以看一下屏幕上的表格，我們選擇的調(diào)查對象既有二、三年級，也有四、五、六年級的學生，老師們可以從數(shù)據(jù)上發(fā)現(xiàn)，有26.7％的學生是把兩個數(shù)相加作為船長的年齡，還有45.1％的同學通過兩個數(shù)相減得出船長的年齡。也就是說有超過70％的同學僅僅通過加減算出來答案。20年過去了，張老師當你看到這一組數(shù)據(jù)時是一種什么樣的感覺？
| 答案 | 107歲 | 43歲 | 加減都做 | 其它答案 | 不能做 | 合計 |
| 六年級 | 4 | 18 | 2 | 17 | 4 | 45 |
| 五年級 | 29 | 19 | | 7 | 0 | 55 |
| 四年級 | 9 | 39 | 1 | 27 | 8 | 84 |
| 三年級 | 23 | 46 | 1 | 10 | 2 | 82 |
| 二年級 | 24 | 28 | 1 | 11 | 3 | 67 |
| 合計 | 89 | 150 | 5 | 72 | 17 | 333 |
| 百分率 | 26.7% | 45.1% | 1.5% | 21.6% | 5.1% | |
【PPT】
張： 這就是我們在應用題方面的一個缺陷，認為什么題目都能算，都有結(jié)果。其實我們應該能夠區(qū)別哪些是數(shù)學問題，哪些不是數(shù)學問題。數(shù)學問題要求揭示事物內(nèi)在的數(shù)量關系，牛、羊數(shù)目和船長年齡沒有內(nèi)在的關系，學生卻盲目解答，明明不能做的題目，學生卻非要做，這就值得我們深思了。
唐：或許電視機前的老師也有這樣的好奇心，你不妨也去做一下這樣的試驗，可能結(jié)果和你想象的有很大的不同。我們不展開討論關于解決問題的教學，但是我們必須引起重視的是，解決數(shù)學問題應該是重在分析內(nèi)在的數(shù)量關系。而這些都是值得我們繼續(xù)研究。
二、圖形與幾何領域問題的討論
1．小學幾何學習內(nèi)容的增加
唐：前面說了這么多數(shù)與代數(shù)的問題，接下來我們把目光轉(zhuǎn)向圖形的領域，在新課程改革過程中，我們發(fā)現(xiàn)在空間與幾何的領域多了一些新的內(nèi)容？也常常出現(xiàn)在一些公開課觀摩課中，看來很受老師們的歡迎。為什么要增加了這些新的內(nèi)容？
張：從大學數(shù)學的觀點來看，幾何可以分成很多內(nèi)容， 具體說來， 有以下5個方面：首先是直觀幾何學，就是對平面圖形，立體圖形的認識；還有一些求面積、體積的問題，屬于度量幾何。在新課標以前，小學數(shù)學主要包括這兩部分內(nèi)容。后來我們發(fā)現(xiàn)，大學數(shù)學的許多問題，它的原始思是想非常簡單，非常樸實的，和我們小學生的生活也是密切相關的，所以后來我們就增加了三個方面的內(nèi)容。第三就是演繹幾何，比如說垂直，平行，線段，射線這些名詞都屬于演繹幾何的范疇。然后運動幾何學的一些基本的內(nèi)容也加到了當中，最后我們發(fā)現(xiàn)在中學、大學中經(jīng)常出現(xiàn)的解析幾何學，它的坐標的思想也是非常樸實、簡單，大家所容易接受的，所以我們現(xiàn)在小學里也有了坐標幾何學的內(nèi)容?？傮w的看，小學里包括直觀幾何；度量幾何；演繹幾何學；運動幾何學；坐標幾何學；這五大塊。從過去的兩塊擴大到五塊，擴大了我們幾何學的視野和感受，是十分有意義的改革?！綪PT】
唐：聽了張老師剛才的講解，我有一個即時的一個想法，就是我們小學數(shù)學是打基礎的，就像造房子打地基一樣，我們現(xiàn)在把每一個方面的地基都壘上來了，為他以后的學習打下了更好的基礎。說起這5個方面的內(nèi)容，再聯(lián)系我們平時聽到的一些課，我們就不難發(fā)現(xiàn)，如果下次你再聽到比如說不同的角度觀察物體，比如說平移和旋轉(zhuǎn)，比如說確定位置的時候，就便于把另外幾個領域的幾何聯(lián)系起來了。不過對于小學來說可能還是直觀幾何最為基本。張老師你認為直觀幾何學教學的重點是什么？
張：我想小學數(shù)學當中，直觀幾何最根本的或者最核心的內(nèi)容就是用平面來描述立體。因為我們每個人所處的世界的事物都是立體的，但是我們看到的、畫在教科書上的都是平面的；因此，空間圖形平面化，通過平面圖形想象空間物體是直觀幾何的重要內(nèi)容。新課標里通過照相機從“不同角度下拍攝照片”想象物體前后位置就是新增的內(nèi)容。通過三視圖科學描述簡單對象， 也是如此。所以說我們通過平面來描述立體的手段越來越多，角度也是多種多樣的?！綪PT】
唐：這樣說來，就大大溝通了現(xiàn)實和數(shù)學之間的聯(lián)系。我們引導學生觀察三視圖，就是希望學生從平面圖形讀出立體的形狀；以培養(yǎng)學生想象空間的能力。
2．什么是長度、面積、體積
唐：在幾何教學中，還有一些常見的概念，也常常引起一線教師的爭論，比如什么是長度？什么是面積？什么是體積？
張：人的概念有兩種，一種就是生活中自然形成的，比如說面積、體積，大家都明白，但是要嚴格的定義卻很困難。你能說說小學是怎么樣定義這些概念的嗎？
唐：小學教材中一般這樣說：“物體表面或平面封閉圖形的大小叫面積”，這樣是面積的定義嗎？可以嗎？
張：【PPT】小學教材中“物體表面或平面圖形的大小叫面積”，這些也只是對面積的描述，不是嚴格的定義。因為總是先有面積定義，才有面積大小。在嚴格的面積定義里不能出現(xiàn)“大小”的詞匯。但是對小學生，不要講究“面積”的嚴格定義（那是大學數(shù)學課程的內(nèi)容）。 我們的任務是在描述面積和體積之后，著重求一些幾何圖形的面積和體積。
唐：也就是說對于面積的嚴格定義不是重要的，重要的是我們的學生會不會求面積。當然我們也要知道長度、面積、體積是刻畫圖形大小的度量。幾何學起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標志三維圖形大小的數(shù)。線段長度是一切度量的出發(fā)點。
知道了關于面積的定義，我們再來討論面積公式的推導。在常見的平面圖形面積推導的過程中，除了記住面積的計算公式，還有重要一種數(shù)學思想方法的滲透：轉(zhuǎn)化思想方法。 例如，求平行四邊形面積化為求矩形面積，把三角形的面積轉(zhuǎn)化為求平行四邊形或矩形面積等，學習梯形和圓也是一樣，所有新學圖形的面積都可以由已學的圖形面積來推導。這也是數(shù)學轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)。這在中國古代應該怎樣稱謂。
張：這很重要，這也是中國古代數(shù)學“出入相補原理”的具體運用。這種化歸的方法就是演繹幾何的一部分。就像我們現(xiàn)在從正方形出發(fā)到矩形再到三角形這樣一種化歸的辦法就是一種演繹的推理的方法，是演繹幾何在小學里的一種表現(xiàn)?，F(xiàn)在我們有一個明確的說法叫做化歸的思想，這是邏輯框架里面非常重要的一種。在演繹幾何的領域里面，學好化歸的方法是非常重要的。
3．平移、旋轉(zhuǎn)和對稱之間是什么關系
唐：張老師講到的古代數(shù)學中的“出入相補原理”一定會給大家很多的啟示，記得吳文俊老師就講過我們古代數(shù)學的輝煌，或許有很多在我們小學數(shù)學當中也會有所體現(xiàn)。剛才張老師所講到思想方法，或許又是值得我們老師探討的一個新的方面。在我們小學數(shù)學教學的過程當中，除了知識和技能以外，我們又滲透率哪些思想方法，是值得我們系列的展開研究和討論的。
唐：在小學里，為什么要學習平移，旋轉(zhuǎn)和軸對稱這些知識？他們之間有怎樣的關系？
張：這就是我們剛才所說的第四塊－運動幾何學， 小學里原來就有運動。 例如， 平行四邊形面積，通過三角形的運動， 拼成矩形，這就是平移運動。面積在平移運動下面不變，同樣， 矩形旋轉(zhuǎn)90度， 面積也是不變的，這就是面積的特性。所以說運動對于我們小學老師來說并不陌生，大家是經(jīng)常在那里使用的。
唐： 知道了平移和旋轉(zhuǎn)之后，為什么還要談軸對稱變換呢？這三者之間有沒有一種內(nèi)在的聯(lián)系，能否舉例說明。
張：我想比較詳細的來說一說這件事情。大家都知道平移和旋轉(zhuǎn)的概念，至于軸對稱，我想大家也是很熟悉的，軸對稱的圖形非常漂亮，所以大家都很喜歡軸對稱的圖形，這里要從數(shù)學上講一講它的原始的價值?！綪PT】（1）一點到另一點的運動，要知道方向和距離；用平移就能實現(xiàn)了。（2）如果是兩根一樣長的線段（火柴棒），先將一根火柴移動過去，使得火柴頭和火柴頭重合， 但是火柴尾不一定重合， 還得轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)才行。（圖）
（3）如果是兩個一模一樣的三角形ABC和A’B’C’， 如何看它們運動過程呢？ 首先，平移運動使得A和A’重合， 然后轉(zhuǎn)動， 使得AB和A’B’重合。 這時可能三角形已經(jīng)重合了， 也可能不重合，還需要反射一下才行。（圖）
因此， 我們在平面上作運動， 需要平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱三種不同的變換。【PPT】在小學里我們要學習這三樣東西，而這三樣東西互相構(gòu)成一個叫做“剛體運動”，我們小學里面接觸它還是很有必要的。
唐：剛在張老師對這3個例子的講解，把數(shù)學發(fā)生的很強的驅(qū)動性體現(xiàn)出來了，不知電視機前的老師是否聽清楚了，我們不妨再來看一下這三幅圖。如果一點到另一點的運動，用平移就能實現(xiàn)了。如果是兩根一樣長的線段，還得轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)才能重合。如果是兩個一模一樣的三角形，如何看它們運動過程呢？ 首先要平移， 然后旋轉(zhuǎn)一下。這時可能三角形已經(jīng)重合了， 也可能不重合，還需要翻轉(zhuǎn)一下才行。這樣就把平移、旋轉(zhuǎn)和對稱聯(lián)系在一起了。這部分內(nèi)容的學習對后續(xù)學習有什么作用？
張：因為這是最簡單的運動，接下來還有“相似運動”，“投影運動”等等，平面圖形的很多的證明都需要依賴它。運動幾何學是一門很大的學問，后續(xù)要學習的內(nèi)容還有很多，但是我們在初步接觸，對我們開闊幾何的視野，了解幾何的內(nèi)容是很有幫助的。所以新課標把它列為小學數(shù)學的內(nèi)容是很有見地，很有眼光的。
唐：說起來還是為以后的學習打重要的基礎。但是還有一個概念在我們教學當中也是常常會碰到的，就是鏡面對稱是不是軸對稱圖形？【PPT】
張：我看到有些教材或者材料里面說鏡面對稱就是軸對稱，我認為不太妥當。因為軸對稱都是在同一個平面當中的兩個圖形，鏡面對稱的兩個圖像不在一個平面內(nèi)，所以不是平面上的軸對稱圖形。 雖然二者有聯(lián)系，但畢竟是不同的，我們不能混為一談。
唐：對，就是有聯(lián)系，但是也有區(qū)別。
4．小學數(shù)學為什么要滲透平面坐標思想
唐：小學數(shù)學的學習為什么要滲透平面坐標思想？從數(shù)學學習的過程和地位來看，它有怎樣的地位和作用。
張：各位老師都學過解析幾何，所以大家都知道笛卡爾發(fā)現(xiàn)解析幾何是數(shù)學上一個巨大的進步、也是人類歷史上一個重大的進步，所以我們在小學中加入坐標幾何的內(nèi)容是非常正確的。我想笛卡爾的重要貢獻，就是一個幾何的對象，他可以用數(shù)來描寫，而數(shù)所滿足的關系就是方程。我們小學里面先學第一步，就是把坐標建立起來，并用數(shù)對（x，y）來表示點。把坐標幾何放到小學的學習內(nèi)容中，體現(xiàn)了隨著時代的進步，我們小學數(shù)學也在發(fā)展。
唐：可能電視機前的老師對于解析幾何內(nèi)容慢慢地有些淡忘了，通過張老師這么一說，我們也可以聯(lián)系起我們教過的一些內(nèi)容。比如說在平面坐標這個領域當中，確定位置可能是我們首先要學的。那么我們有的疑問就是坐標的核心思想就是確定位置嗎？
張：很多的教案都是到此為止，就是認為坐標就是確定位置，這是第一步要做的事情。笛卡爾當時發(fā)明坐標，并不是單純的表示位置，坐標表示位置更多的是地理學上的應用，大家知道，地理學要求用經(jīng)緯線確定地球表面上的位置，而不是數(shù)學光要研究的問題。 數(shù)學課程中用平面坐標系確定位置僅僅是學習坐標系知識的初步結(jié)果。 更重要的是用坐標來表示幾何圖形。【PPT】例如， 兩個坐標一樣的點， 形成一條直線（y=x的圖像）， 兩個坐標都小于或等于10的點， 構(gòu)成一個邊長為10的正方形等等?！綪PT】所以我們甚至建議，大家在講完坐標之后，讓大家說一說兩個坐標都一樣的點是形成一個怎么樣的幾何圖形，于是發(fā)現(xiàn)它是一條直線或者半直線。也可以問兩個坐標都小于3的是一個怎樣的圖形啊，那肯定就是一個正方形。所以不要僅僅停留在用坐標確定位置，應該稍微的引申開去。
唐：剛在張老師也舉了兩個例子，我們不妨也看看屏幕上的兩個例子【PPT】：如果x＝y(tǒng)的圖像就是左邊這幅圖，如果兩個坐標都小于或等于3的，那么他構(gòu)成的是一個邊長是3的正方形，我想用平面坐標不僅能表示位置，而且能表示數(shù)學的對象。
三、統(tǒng)計與概率領域的問題討論
統(tǒng)計數(shù)據(jù)與概率有什么關系
唐：下面的問題有關統(tǒng)計與概率的學習領域。小學數(shù)學一向?qū)y(tǒng)計并不陌生，以前沒有概率，平均數(shù)、條形統(tǒng)計圖，折線統(tǒng)計圖、扇形圖等等教學，也都可以順利進行。 大家不很清楚的是，為什么統(tǒng)計要和概率放在一起？
張：統(tǒng)計和概論在18世紀以前是沒什么關系的，后來就發(fā)生了聯(lián)系，大家不知道有沒有注意到在新課標中有這樣一條，就是用我們現(xiàn)在的數(shù)據(jù)去估計和預測一個東西。就像天氣預報，是用我們過去的知識，去預測明天的、不知道的知識，這就是統(tǒng)計和概論結(jié)合的地方。就是要我們從一個局部去推測、預計整體，這時問題就來了，比如局部的推測究竟準不住啊，能不能代替全部啊。舉例來說，如果只研究本班的情形，統(tǒng)計我們班上的期中數(shù)學考試的平均分， 各個分數(shù)段的人數(shù)，畫直方圖， 那的確和概率沒有關系。問題在于， 如果本班是我們縣數(shù)學教研室抓的點，要從本班成績推測全縣小學5年級學生的期中數(shù)學成績， 那就和概率有關了。 因為我們會問，本班的數(shù)學成績能夠代表全縣嗎？多大程度上可以代表？在城市的學校能否代表農(nóng)村？教研試驗的點能否代表非實驗的點？這就是一個“不確定”的隨機問題了。因為未來是不知道的，整體也是不知道的，局部是否具有代表性也是不確定的，所做的估計只是一種隨機的現(xiàn)象，這就和概率連在一起了。
唐：對，本班的數(shù)學成績確實能夠代表一部分，但是不能完全代表，那么到底在怎樣的概率意義上能夠代表。
張：這就需要我們進一步學習來掌握，小學里不需要知道這么多。但是我們老師則應該具備這樣的知識。小學里，只要知道有樣本和總體之間的區(qū)別就可以了。例如下面這一個例子：
中華人民共和國國家統(tǒng)計局
關于1995年全國1％人口抽樣調(diào)查主要數(shù)據(jù)的公報
（1996年2月15日）
我國于1995年進行了全國 l％人口抽樣調(diào)查。這次調(diào)查，在全國30個省、自治區(qū)、直轄市（未含臺灣省和港澳地區(qū)，下同）共抽取了1559個縣級行政單位、47471個調(diào)查小區(qū)，共調(diào)查登記了12565594人（含現(xiàn)役軍人），占全國人口總數(shù)的1.04％。1995年我國人口出生率為17.12‰,出生人口2063萬人;【PPT】
抽樣是一種生活的常識，小學生要知道抽樣這件事，我們老師給他做一些適當?shù)慕忉?，這對提高我們公民的素質(zhì)是非常有幫助的。所以統(tǒng)計和概論聯(lián)系起來是我們小學數(shù)學向前跨的一步，希望我們大家能夠進一步的關注。
唐：前面講到的這一組數(shù)據(jù)，我想電視機前的老師的想法一定跟我一樣，小朋友雖然不能科學完整的來表達什么是樣本、什么是總體，但看到這組數(shù)據(jù)一定能讀懂其中的意思。說起統(tǒng)計與概率的聯(lián)系，統(tǒng)計圖中的直方圖（也就是條型統(tǒng)計圖）是不是也可以和概率聯(lián)系上呢？
張：是的。我認為小學數(shù)學里面的統(tǒng)計和概論聯(lián)系起來的一個途徑就是抽樣，這個我們前面說過了，另一條渠道就是直方圖。例如下面是80名9歲兒童身高的直方圖。將頻數(shù)除以總數(shù)80得頻率圖， 頻率可以在某種意義上代替概率， 所以就和概率聯(lián)系上了。所以這個直方圖就等于是描述了我們兒童身高的分布，落在127－130的概率是1/4，而小學數(shù)學的統(tǒng)計通過直方圖很容易走到概率的方向，所以小學數(shù)學中應有初步的了解，這不但為將來的學習打下基礎，也是公民素質(zhì)的重要組成部分。
【PPT】
唐： 張老師的提醒讓我們有了這樣的一種意識，就是把統(tǒng)計當中的抽樣和條形統(tǒng)計圖、概率聯(lián)系起來，可能有利于我們后續(xù)的學習?？磥恚鳛槔蠋?，我們有時真的需要居高臨下，盡量多懂一點，才能抓住數(shù)學的本質(zhì)。
四、綜合與實踐活動領域問題的討論
1．綜合與實踐活動的特點
唐：一說起這個活動，很多老師的心里就會感到?jīng)]底，因為這是一個全新的內(nèi)容，很多問題還在探索之中。我想，如果我們能夠把綜合實踐活動進行分類，應該會有助于今后的研究，同時研究起來目標也更明確了。那么張老師你認為綜合實踐活動從數(shù)學的角度可以分為哪幾類？
張：這是一個新問題，我們的想法也是大家參考，我初步的想法是可以分為5類：第一是綜合應用型；第二類是活動操作型，就是通過肢體運動、實踐操作來學習數(shù)學知識；第三類是數(shù)學欣賞型，數(shù)學不是光做題目，數(shù)學的美需要大家去欣賞；第四類是數(shù)學史話型，就是要聯(lián)系到人文、文化；最后一類數(shù)學素養(yǎng)型，就是課本的基礎上進行拓展和提高。
2．綜合與實踐活動案例：
唐：我想這只是一個初步的分類，不同的分類標準最后的結(jié)果也不盡相同，但是我們的目標是一致的，就是把綜合與實踐活動研究的更深入。剛才我們把綜合與實踐活動做了大致的分類，能不能列舉幾個案例，也便于讓教師實踐操作。
張：綜合應用型還可以細分為兩種類型，一種是綜合應用各種知識和技能的，案案例一：身份證檢驗碼的探索
身份證最后一位是檢驗碼， 可以根據(jù)前17位的數(shù)碼算出來。書號， 超市商品號都有檢驗碼。
身份證前十七位數(shù)字本體碼加權(quán)求和公式
Ai:表示第i位置上的身份證號碼數(shù)字值
Wi:表示第i位置上的加權(quán)因子Wi: 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2
求第18位檢驗碼的具體步驟是：
（1）S = Sum(Ai× Wi), i = 0, ... , 16，先對前17位數(shù)字的權(quán)求和
（2）計算模 Y = mod(S, 11)， 即除以11所得的余數(shù)為Y
（3）通過模得到對應的校驗碼
Y: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
校驗碼: 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2
唐：如果有一張身份證的前17位是： 11010519491231002
第18位是什么？
首先， 將前17位數(shù)字和17個 權(quán)因子
7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2
兩兩相乘再作和：
7+9+0+5+0+20+2+9+24+27+7+18+30+5+0+0+4=167.
然后將167除以11，余2，
根據(jù)對應表， 2對應 X
所以這位居民的第18位（檢驗碼）是x。
電視機前的老師和同學如果有興趣的話也可以自己試一下。
張：綜合應用型還有一類就是需要肢體參與的活動。
唐：記得張老師介紹過這樣的案例：
案例二： 自制紙飛機能夠飛多遠
老師可以組織這樣的活動。
操作方法（1）用一張A4紙折飛機，能夠飛多遠呢？（2）要比飛的距離？飛幾次比較合適？（3）用哪個數(shù)代表飛行距離？（4）在機頭上加上一個別針，再次測量飛行距離；看看結(jié)果會是怎樣？（5）加兩個別針再作試驗；（6）分析數(shù)據(jù)，推斷：是不是別針越多越遠？學生很快就會發(fā)現(xiàn)，如果太重也飛不遠 。在這樣的過程中，讓學生去歸納，影響紙飛機飛行距離的各種因素。在這一活動，為了反應飛機飛的距離不斷引發(fā)學生提出數(shù)學問題，收集相應的數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出判斷，是一個完整的數(shù)學活動過程。
唐：對于數(shù)學欣賞型，我們語文經(jīng)常聽到一些欣賞，數(shù)學怎么欣賞呢？
張：語文是會欣賞但不會做，數(shù)學是會做但不會欣賞，所以 學會欣賞也許是我們實踐活動的一個重要方面。最容易想到的是幾何圖形的美：比如建筑中的美，可以欣賞北京的天安門，澳門的大山巴，也可以是少數(shù)民族的物 件：蒙古的蒙古包，傣族的竹簍，學生可以直觀地欣賞這些現(xiàn)實事物中的數(shù)學美。我們也可以設計一些實踐活動，應用數(shù)學的美來解決問題；
案例三：圓規(guī)畫米老鼠
要求學生只用圓規(guī)，在方格紙上用圓弧畫一個米老鼠的頭像。要求學生寫出圓心的位置，半徑的大小。
這樣的數(shù)學美，不是客觀地欣賞， 而是主觀地創(chuàng)造， 所以有特別的美學價值。
唐：數(shù)學美的欣賞是不是都在圖形與幾何的領域？在數(shù)與代數(shù)當中有沒有這些欣賞的元素呢？
張：數(shù)與代數(shù)中也有數(shù)學的美；如果說圖形的美是一種美觀，那么代數(shù)中也有美。比如
案例四：數(shù)學的和諧美
交換律就很美：
2＋3＝5，1/2×1/3＝1/6, a×b＝b×a；這些算式看起來就和諧。分配律也是和諧的。當然1/2＋1/3＝2/5；也很和諧的但它是錯的。當然這方面的研究還比較少，我希望大家一起來做，來幫助學生欣賞數(shù)學。
唐：有一種欣賞的眼光是很重要的。數(shù)學史話型有怎樣的案例，哪些數(shù)學史是容易被學生所接受的呢？
張：數(shù)學史是數(shù)學文化的一部分。數(shù)學是歷史地發(fā)展過來的。我們可以組織學生在圖書館、網(wǎng)上收集資料，體味數(shù)學文化的偉大價值。下面是現(xiàn)代和古代的兩個案例。
案例五：陳景潤與哥德巴赫猜想：1742年，歌德巴赫寫信給著名數(shù)學家歐拉，信中提出如下問題：每一個偶數(shù)n≥6，都是兩個奇質(zhì)數(shù)p1,p2之和，即n=p1+p2.這就是至今仍未能完全解決這個世界著名的難題，歌德巴赫猜想。
我國數(shù)學家陳景潤證明了（1＋2），在國際數(shù)學界引起極大反響，離最終目的（1＋1）只有一步之遙。人們對歌德巴赫猜想的研究，嘔心瀝血奮斗了兩個世紀，還差這最艱難的一步。
案例六：認識算盤。珠算已經(jīng)成為我國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)（6月15日剛剛通過），目前正在申報世界非物質(zhì)遺產(chǎn)。隨著時代的發(fā)展，人們不會把它作為一種計算工具，但是它所蘊含的計數(shù)和位值的思想是留給我們很多啟示的。為什么中國的算盤上面有兩顆珠？它的數(shù)學意義是什么？
唐：就是不是一定要學生會用算盤去計算，而是讓他了解算盤作為中國的一種傳統(tǒng)文化它的數(shù)學內(nèi)涵是什么。
唐：數(shù)學素養(yǎng)型的活動案例有哪些？
數(shù)學綜合實踐活動的內(nèi)容很多， 特別是為了提高數(shù)學素養(yǎng)，可以組織許多活動。在新課標新修訂的過程中，就有很多好的案例，例如：
案例七：圖形分類（課程標準的修訂稿）
例19
如圖所示，桌上散落著一些扣子，請同學們想一想可以把這些扣子分成幾類？分類的標準是什么？然后，數(shù)一數(shù)每一類各有多少顆扣子，并用文字、圖畫或表格等方式把結(jié)果記錄下來。
本活動的目的是希望學生能夠清楚，分類是要依賴分類標準的，比如扣子的形狀、扣子的顏色或者扣眼的數(shù)量都可以作為分類的標準，而在不同的分類標準下分類的結(jié)果可能是不同的。本活動將有利于培養(yǎng)學生把握圖形的特征、抽象出多個圖形的共性的能力。另一方面，活動還要求學生運用文字、圖畫或表格等方法記錄對扣子進行分類后的結(jié)果，這有利于培養(yǎng)學生整理數(shù)據(jù)的能力。這個案例學生操作起來比較方便，也是一個完整的數(shù)學活動。張老師你還有一些別的案例嗎？
張：高年級學生不妨試一試張景中院士給我們提供的一個案例?！綪PT】
案例八：三角比的滲透
把正方形壓扁成菱形，菱形的面積與壓扁的角度有關；把壓扁后菱形的面積所打的折扣叫做正弦。
如果邊長是1有一個角為a的菱形的面積叫做角a的正弦，那么平行四邊形的面積＝sinA×a×b?？梢砸龑W生推導出三角形等其他平面圖形的面積。
學生通過自己的觀察， 從邊長為1的正方形，壓扁成菱形的現(xiàn)象出發(fā)，完成一個數(shù)學探究的過程。經(jīng)過一些小試驗，發(fā)現(xiàn)小學生很喜歡這樣的活動，我想大家不妨也試試看。
唐：或許正是印證了張景中院士一直倡導的“從數(shù)學教育到教育數(shù)學的歷程”。通過張老師的舉例，可以感受得到案例濃濃的數(shù)學氣息。相信大家一定和我有同樣的體會，我們不妨來做一個這樣的小結(jié)。
最后的小結(jié)：
唐：通過今天與張教授的訪談，相信大家一定與我一樣有一種深刻的體會，我們在教學小學數(shù)學的時候，應該“源于教材，高于教材”；就像我們不僅知道0是自然數(shù)還知道為什么是自然數(shù)？知道教材上說的什么是面積，但那并不是嚴格的定義，而對于小學生來說也不需要嚴格的定義？我們還應該“居高臨下，注重本質(zhì)”；就像我們不僅關注分數(shù)的份數(shù)定義，還關注分數(shù)的商的定義，以及比的定義，分數(shù)是一個新的數(shù)；我們還知道分數(shù)的基本性質(zhì)是一個等價性，在分數(shù)的大家庭里，有多種表示的形式。我們還體會到應該“總體把握，做到心中有數(shù)”；正如知道幾何有5種不同方面的幾何， 知道算法多樣化中什么是最為基本的通性通法？還知道為什么概率要和統(tǒng)計聯(lián)系在一起？與此同時，我們更感覺到數(shù)學教學應該“與時俱進，富有時代特色”；就象身份證檢驗碼，以及圖形的運動變換，以及富有時代氣息的問題解決都是不斷提醒我們要有“與時俱進”的眼光來看小學數(shù)學?！綪PT】
張：今天的培訓就到這里，謝謝大家。
唐：謝謝大家。
作業(yè)：（選擇其中的3個問題進行解答）
1． 說說你對分數(shù)基本性質(zhì)的新的理解？
2． 談談你對算法多樣化的新認識？
3． 舉例說明有哪幾種不同的幾何？
4． 用案例說明統(tǒng)計與概率的結(jié)合；
5． 設計一個有關注數(shù)學本質(zhì)的綜合實踐活動？
6． 提出一些其他的關乎數(shù)學本質(zhì)的問題，與同伴交流。
