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良好的方法

使我們更好地發(fā)揮天賦

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性?！睒闼亍⒑?jiǎn)單，是其外在形式，只有既樸實(shí)清秀，又底蘊(yùn)深厚，才稱得上至美。我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，也要追求解法之美，既簡(jiǎn)潔又突出本質(zhì)。

例1、求正12邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。

分析：看到這個(gè)問(wèn)題，有的同學(xué)會(huì)想到先根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式（n-2）.180°求出12邊形的內(nèi)角和，然后除以12。

著名數(shù)學(xué)家陳省身在北大演講的時(shí)候說(shuō)：三角形的內(nèi)角和是180°是不好的，應(yīng)該說(shuō)外角和是360°。因?yàn)榘蜒劬Χ⒅鴥?nèi)角和只能得到：

三角形內(nèi)角和是180°；

四邊形內(nèi)角和是360°；

五邊形內(nèi)角和是540°；

......

n邊形的內(nèi)角和（n-2）.180°。

如果看外角呢？

三角形外角和是360°；

四邊形外角和是360°；

五邊形外角和是360°；

......

n邊形的外角和360°。

這就把多種情形用一個(gè)十分簡(jiǎn)單的結(jié)論概括起來(lái)了。用了一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)代替了與n有關(guān)的公式，找到了更一般的規(guī)律。

如果這道題目，我們直接利用n邊形的外角和360°的結(jié)論，題目將會(huì)非常簡(jiǎn)單。每一個(gè)正12邊形的外角為360°/12=30°，則內(nèi)角為180°—30°=150°。這樣計(jì)算既簡(jiǎn)單又突出本質(zhì)。

思考：如果正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為140°，求n的值。

解析：每個(gè)外角的度數(shù)為：180°—140°=40°,故n=360°/40°=9

例2、計(jì)算的解。

分析：我們?cè)偻茖?dǎo)求根公式時(shí)，通常采用下面的方法。

由于求根公式的得出，我們能對(duì)二次方程和它的求解產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)么？

我們把每個(gè)步驟倒過(guò)來(lái)寫(xiě)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程的新解法。

這種解法更加簡(jiǎn)單，而且消除了

例3、已知點(diǎn)A(n,2)和點(diǎn)B（3，n-2）在反比例函數(shù)y=k/x上，求k。

分析：我們可以將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=k/x，得到兩個(gè)關(guān)于k和n的等量關(guān)系。

如果我們把反比例函數(shù)的形式進(jìn)行簡(jiǎn)單變形即可得到：k=xy。這種形式更能突出反比例函數(shù)的本質(zhì)和意義：反比例函數(shù)的橫縱坐標(biāo)的乘積是一個(gè)定值k。

則易得2n=3(n-2)=k,即可方便求出n和k。

思考：如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E。若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=3/4，求k的值。

解析：根據(jù)已知三角函數(shù)值，可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4a，3a），則k=12a^2，根據(jù)已知線段之間的關(guān)系可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；接下來(lái)結(jié)合點(diǎn)E在反比例函數(shù)的解析式上，解方程求出a的值，進(jìn)而求出k的值，問(wèn)題便可解答。

例4、如圖，拋物線y＝ax^2＋bx＋c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（－1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)。

（1）求拋物線的表達(dá)式。

（2）當(dāng)P為頂點(diǎn)時(shí)，求S△PBC。

（3）連接PA，分別交BC、y軸與點(diǎn)D、E，求S△PDB－S△CDE的最大值。

分析：（1）我們知道拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)A和B,因此我們可以設(shè)拋物線y=a(x+1)(x-4),把C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a=-1/2。

（2）我們通常會(huì)過(guò)點(diǎn)P作PF垂直于AB于F，然后求出直線CB的表達(dá)式及PF與CB的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而通過(guò)割的方法求出△PBC的面積。

如果我們連接OP，S△PBC＝S四邊形PCOB—S△OBC=S△OPC+S△POB—S△OBC。透過(guò)轉(zhuǎn)化，我們只需要知道點(diǎn)B、C、P的坐標(biāo)即可。這樣巧妙避開(kāi)了引入新的未知點(diǎn)及求BC的表達(dá)式，從而使計(jì)算更簡(jiǎn)單。

歡迎同學(xué)們采用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)解決第3小問(wèn)。