在前面幾講中我們研究了隨機(jī)變量的概率分布。隨機(jī)變量的概率分布能全面完整地描述隨機(jī)變量的概率性質(zhì)。不過，在實(shí)際問題中要求一個隨機(jī)變量的概率分布往往是困難的，而且在很多場合下，并不需要知道隨機(jī)變量的概率分布，只要知道隨機(jī)變量的某些特征就夠了。隨機(jī)變量的常見數(shù)字特征包括數(shù)學(xué)期望和方差。今天我們就來了解一下數(shù)學(xué)期望的概念。講到數(shù)學(xué)期望，就要了解一下概率論的歷史。其實(shí)，概率的概念及其確定概率的古典方法最早形成于16世紀(jì)，當(dāng)時起源于博弈（賭博）問題。在15-16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾的著作里曾經(jīng)討論過“如果兩人賭博提前結(jié)束，該如何分配賭金”等問題?？栠_(dá)諾早在約1564年完成了著作《機(jī)遇博弈》，只是他去世后1663年才得以發(fā)表。而荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯發(fā)表于1657年的著作《論賭博中的計算》，是公開發(fā)表最早的概率著作，其中涉及到了一些早期的概率概念和有關(guān)概率的定理，標(biāo)志著概率論的誕生。在這些 著作中都使用過概率的古典定義。當(dāng)時卡爾達(dá)諾深入研究了擲骰子賭博的游戲：投擲兩個各面點(diǎn)數(shù)分別從1~6的普通骰子，如果你擲出的總點(diǎn)數(shù)大于6，叫做“大”；如果總點(diǎn)數(shù)小于或者等于6，叫做“小”。你愿意押大還是押小呢？卡爾達(dá)諾認(rèn)為，對于擲骰子這種看似靠運(yùn)氣的游戲，其實(shí)是可以通過計算概率取勝的。他的關(guān)鍵思想，就是我們前面講過的“樣本空間”。樣本空間，是古典概率論的最重要思想。根據(jù)這個思想，兩個骰子一共有6×6=36種不同的組合，也就是說這一樣本空間中有36個元素。如果我們把這36種可能都列舉出來，例如(1,1)，(1,2)，……，一直到(6,6)，會發(fā)現(xiàn)其中有21種組合的總點(diǎn)數(shù)大于6。由于其中每個組合出現(xiàn)的可能性都是一樣大的，所以卡爾達(dá)諾認(rèn)為，結(jié)果為“大”的概率等于21÷36=58.33%。因此，他在這種賭博游戲中就堅決押大！傳說卡爾達(dá)諾甚至靠賭博贏下了自己的大學(xué)學(xué)費(fèi)。
同時擲兩個骰子的所有可能結(jié)果（36種結(jié)果中，點(diǎn)數(shù)為“大”的有21個）
100多年后，概率論再次因?yàn)橘€博而被發(fā)揚(yáng)光大。17世紀(jì)有個法國貴族安托萬·古保德，他還有一個更出名的頭銜，叫做梅累騎士。他酷愛賭博，而且他懂概率，贏錢多到別人以為他作弊的程度。有一次，梅累騎士遇到了一個問題。1654年，他向帕斯卡請教了一個親身經(jīng)歷的“分賭注問題”。故事大概如此：梅雷和賭友雙方各自出50枚金幣，共100枚金幣作為賭注。約定誰先贏3局，則獲得全部賭注。賭博進(jìn)行了一段時間，梅累贏了2局，對方贏了1局。但這時，梅雷接到緊急命令，要立即陪國王接見外賓，于是只好中斷賭博。那么，問題就來了，這100枚金幣的賭注應(yīng)該如何分配才合理呢？這個問題其實(shí)有廣泛的應(yīng)用。比如，五局三勝制的體育比賽，一方以2:1領(lǐng)先，假設(shè)雙方每局獲獎的機(jī)會都相等，那么各自獲得最后勝利的概率是多少呢？梅累騎士的概率知識解決不了這個問題，不過他有個科學(xué)家朋友，就是名字后來被用作壓強(qiáng)單位的法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡。帕斯卡意識到?jīng)]有現(xiàn)成的理論可以解決這個問題，他不得不求助于另一位數(shù)學(xué)家，也就是提出“費(fèi)馬大定理”的費(fèi)馬。1654年，帕斯卡和費(fèi)馬兩人開始以通信的方式反復(fù)討論，并共同建立了概率論的第一個基本概念 — 數(shù)學(xué)期望。即隨機(jī)變量取值乘取值的概率相加即得平均值。這就是數(shù)學(xué)期望的概念。
通過上述3個引例，我們可以給出如下定義。
E(X)是一個實(shí)數(shù)，而非變量，它是一種加權(quán)平均，與一般的平均值不同，它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變值取可能值的真正平均值，也稱均值。
由此引出連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義：
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