'角平分線上的點到這個角兩邊距離相等'是角平分線一個簡單而又重要的性質(zhì)定理．運用用個性質(zhì)定理可以解決許多具有一定難度的幾何題．
例 如圖1，已知△ABC中，AB>AC，∠BAC的外角平分線交外接圓于點D，過點D作DF⊥AB于F．
求證：AB-AC=2AF．
分析：此題曾經(jīng)是全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題，初看似有一定的難度，但如果善于聯(lián)想，問題解決并不難．
首先注意到D是角平分線上的點，DF⊥AB，聯(lián)想到定理：角平分線上的點到這個角兩邊距離相等．為了利用這個定理，作DE⊥直線CA，交CA延長線于點E，則DE=DF(如圖2)．
再考慮到點A、B、C、D四點都在圓上，所以連接BD，可得圓內(nèi)接四邊形ACBD，從而可利用'圓內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角'，得∠DAE=∠DBC．
因為∠DAE=∠DAB，
所以∠DAB=∠DBC，所以弧BD=弧CD，因此，連接DC，可得BD=DC．
注意到△BDF與△CDE中，BD=CD，DF=DE，
根據(jù)'斜邊直角邊'定理，得△BDF≌△CDE，
所以BF=CE，
而BF=AB-AF，CE=AC+AE，
所以AB-AF=AC+AE，
所以AB-AC=AF+AE．
顯然，AE=AF，
所以AB-AC=2AF．
證明：連接DB、DC，作DE⊥直線CA，垂足為E．
因為∠DAE=∠DAF，DF⊥AB，
所以DE=DF，
因為AD=AD，
所以△ADE≌△ADF，
所以AE=AF．
因為四邊形ACBD內(nèi)接于圓，
所以∠DAE=∠DBC，
因為∠DAE=∠DAB，
所以∠DAB=∠DBC，
所以弧BD=弧CD，
所以BD=DC．
在Rt△BDF與Rt△CDE中，
BD=CD，DF=DE，
所以△BDF≌△CDE，
所以BF=CE，
因為BF=AB-AF，CE=AC+AE，
所以AB-AF=AC+AE，
所以AB-AC=AF+AE=AF+AF=2AF，
所以AB-AC=2AF．
從證明過程可以發(fā)現(xiàn)，本題獲得解決的關鍵在于為了利用角平分線性質(zhì)定理作出的輔助性DE，從而構(gòu)造了全等三角形．這種思路方法在其他相關問題中都值得進行嘗試．
練習：
1.如圖3，△ABC中，AB>AC，∠ABC的外角平分線交外接圓于點D，DE⊥BC，交CB延長線于點E．BE=1，求AB-BC．
（提示：過點D作DF⊥AB于F）
2.如圖4，圓內(nèi)接△ABC中，AB=AC，D是弧BC上一點，DC>DB，AE⊥DC于E．
求證：DC-DB=2CE．
（提示：過點A作AF⊥BD交BD延長線于F）
3. 如圖5，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B、∠C的平分線BD、CE相交于點I，求證：ID＝IE．
（提示：連接IA，過點I分別作IP⊥AC于P，IQ⊥AB于Q）
