數(shù)學(xué)——在大多數(shù)人心目中，都是完美的、融洽的、毫無漏洞的；當(dāng)然對(duì)某些人來說，也是觸不可及的。
沒錯(cuò)，在二十世紀(jì)前，數(shù)學(xué)一直都被認(rèn)為是自洽的，沒有矛盾的，可是在1931年后，這個(gè)認(rèn)知就被一個(gè)定理打破了，它就是大名鼎鼎的——哥德爾不完備性定理。
哥德爾不完備性定理
這就是完整的哥德爾不完備性定理，被譽(yù)為二十世紀(jì)最偉大的發(fā)現(xiàn)之一，由奧地利裔美國數(shù)學(xué)家哥德爾（Goedel，1906-1978）在1931年提出。
該定理的描述其實(shí)是說，只要數(shù)學(xué)系統(tǒng)包含了初等數(shù)論描述，那么該系統(tǒng)的自洽性和完備性就不可能同時(shí)得到滿足。該定理一出就震驚整個(gè)科學(xué)界，然后一舉粉碎了數(shù)學(xué)家們二千多年來統(tǒng)一數(shù)學(xué)的愿望，然后魔爪延伸至哲學(xué)，甚至物理學(xué)。
最為人所知的不可判定命題，當(dāng)屬歐幾里德第五公設(shè)（也叫平行公設(shè)），該命題已經(jīng)被證實(shí)為不能證明也不能證偽，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)平行線不相交也是能相容的，在更高級(jí)的系統(tǒng)中相容。
歐幾里德第五公設(shè)
哥德爾不完備性定理的意義非常深刻，以至于數(shù)學(xué)家們感嘆道'上帝是存在的，因?yàn)閿?shù)學(xué)無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因?yàn)槲覀儾荒茏C明這種相容性。'
可有趣的是，我們雖然不能證明這種相容性，但是我們居然能證明'這種相容性無法被證明'。數(shù)學(xué)家的語言，可真是形如鬼魅啊。
其實(shí)，關(guān)于哥德爾不完備性定理的影響，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止數(shù)學(xué)領(lǐng)域，甚至在哲學(xué)領(lǐng)域都涉其根本，物理學(xué)也遇到了類似的問題，在2016年，霍金在一次演講中，提道哥德爾不完備性定理時(shí)：'我們迄今所有的物理學(xué)理論，既是不相容的，也是不完備的！'
哥德爾不完備性定理的推導(dǎo)過程，本質(zhì)上都是從一個(gè)著名的'說謊者悖論'開始的，該悖論的深刻意義，反映了我們?nèi)祟惖恼Z言在邏輯上的缺陷，或許這就是我們?nèi)祟愓J(rèn)知的必然缺陷吧！
說謊者悖論
該定理對(duì)數(shù)學(xué)界來說，是個(gè)非常大的災(zāi)難，因?yàn)樵谖覀兊臄?shù)學(xué)系統(tǒng)中，陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了一些不能被證偽，也不能被證明的命題，而且這些命題越來越初等化。
比如這個(gè)命題：如果我們用可數(shù)種顏料，對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行染色，那么是否必定存在四個(gè)互不相等的數(shù)x、y、z、w，使得他們顏色相同而且滿足等式x+y=z+w？
不可判定的問題
該命題就是不能判定的，因?yàn)橛腥俗C明了它和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等價(jià)，而連續(xù)統(tǒng)假設(shè)就是不能判定的命題之一。
既然數(shù)學(xué)中有了這個(gè)魔鬼，那么數(shù)學(xué)家是怎么解決的呢？其實(shí)數(shù)學(xué)家解決不了這個(gè)問題，他們只能推開這個(gè)“魔鬼”定理，而且是往更高級(jí)的系統(tǒng)中推，好比推卸責(zé)任一樣。
就如：兩個(gè)學(xué)生打架了，他們又不想負(fù)擔(dān)責(zé)任怎么辦？于是兩個(gè)學(xué)生就把責(zé)任推給班長，然后班長推給班主任，班主任又推給校長，校長又推給教育局局長……這樣一步步下去，就好似誰都沒有責(zé)任了。數(shù)學(xué)家對(duì)哥德爾不完備性定理的處理方式也是這樣的。
這樣的處理的確很有效，但是誰也不知道，我們的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，是否已經(jīng)存在了漏洞，希爾伯特說道：'數(shù)學(xué)家把羊趕進(jìn)圍欄，并保證狼無法進(jìn)入圍欄內(nèi)，可是數(shù)學(xué)家永遠(yuǎn)不知道，原來的羊群中，是否已經(jīng)混入了狼！'
喜洋洋灰太郎。。。嘻嘻
要是真有那一天，那很可能就是第四次數(shù)學(xué)危機(jī)了，數(shù)學(xué)家是否能解決危機(jī)，我們還不得而知，或許他們都還沒準(zhǔn)備好呢！你說呢？
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