今天是3.14圓周率日，提到對圓周率的研究，我們會立刻想到一個人，他就是南北朝時期的祖沖之。
祖沖之（429—500），字文遠(yuǎn)，生于建康（今江蘇南京），祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水），南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、機械制造專家。其主要事跡記載于《南齊書·祖沖之傳》《南史·祖沖之傳》《疇人傳·祖沖之傳》中。祖沖之一生鉆研自然科學(xué)，他創(chuàng)制的《大明歷》是當(dāng)時最科學(xué)最進步的歷法，并為后世的天文研究提供了正確的方法。他首次將圓周率精算到小數(shù)點后第七位數(shù)字，提出的“祖率”對數(shù)學(xué)的研究有重大貢獻。
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自幼愛好科學(xué)
元嘉六年（429），祖沖之出生在南朝宋（又稱劉宋）的都城建康（今江蘇南京）。然而，他的祖籍則在范陽郡遒縣（今河北淶水）。那么，祖家為什么要從北方南遷到建康呢？這要從當(dāng)時的時代背景說起。西晉惠帝時期朝廷內(nèi)部爆發(fā)了“八王之亂”，導(dǎo)致晉室分裂，國力空虛，民生凋敝。北方的少數(shù)民族趁機起兵，紛紛建立政權(quán)，并不斷南下侵?jǐn)_。為了避亂，晉朝皇室和北方的廣大居民紛紛南遷，進入到相對安定的長江流域生活，史稱“衣冠南渡”。衣冠南渡的結(jié)果就形成了南北朝對峙的局面，中國歷史也進入了南北朝時期，而祖家正是在這個時候南遷到建康的。
祖沖之的先祖最早見于史籍的是他的曾祖父祖臺之，東晉時官至侍中、光祿大夫?；感o政時，曾受命彈劾中書侍郎范泰及前司徒左長史王準(zhǔn)之、輔國將軍司馬珣之“居喪無禮”，終使范泰等罷官離職。祖臺之還是一個文學(xué)愛好者，撰有一部名叫《志怪》的小說流行于當(dāng)時。祖沖之的祖父祖昌曾在南朝宋任大匠卿，就是掌管土木工程事宜的官，懂得一些科學(xué)技術(shù)。祖沖之的父親祖朔之，則以奉朝請一職為官于劉宋王朝。
南朝劉宋時代，官宦子弟多崇尚浮華，縱情于酒色。然而，祖沖之卻不隨波逐流，他年少時便好學(xué)且淡薄功名利祿，特別是對科學(xué)技術(shù)和機械制造情有獨鐘。歷史上流傳著這樣一個故事，祖沖之的祖父祖昌經(jīng)常給小祖沖之講一些科學(xué)家的事跡，其中張衡發(fā)明地動儀的故事深深打動了祖沖之幼小的心靈，讓他折服于古代科技的發(fā)明和奧妙。
此外，由于祖昌是負(fù)責(zé)土木工程的官，他常常利用工作之便帶小祖沖之到建筑工地去玩，如何丈量、如何計算建筑物的周長和面積、建筑部件的結(jié)構(gòu)是怎樣的這些問題也引起了小祖沖之的極大興趣。可以說，祖沖之從小就受到了很好的家庭教育，他對自然科學(xué)、數(shù)學(xué)、科技、機械制造等都產(chǎn)生了興趣，并下功夫去鉆研，還是青年的他在當(dāng)時已小有名氣。
在南朝宋的政府里，有一個叫作華林學(xué)省的機構(gòu)，相當(dāng)于現(xiàn)在的學(xué)術(shù)機構(gòu)。由于祖沖之有相當(dāng)?shù)膶W(xué)識和刻苦鉆研的精神，政府就讓這個年輕人到華林學(xué)省專門從事研究工作，也就是當(dāng)上了研究員。在這里，祖沖之除了擴充學(xué)識之外，還努力學(xué)習(xí)南北朝以前和外國傳來的天文歷法、科技知識，這為他將來成為一位科學(xué)家打下了很好的基礎(chǔ)。
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改革歷法，制訂《大明歷》
南朝宋大明五年（461），皇族劉子鸞被任命為南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）刺史，他看中了祖沖之的才華，讓其在自己手下做從事史（協(xié)助刺史處理政務(wù)的官）。不久，劉子鸞兼任管理民政的長官——司徒，祖沖之隨即轉(zhuǎn)任司徒府的公府參軍。雖然離開了華林學(xué)省，但是祖沖之并沒有放松對科學(xué)的探索。
中國古代以農(nóng)業(yè)立國，歷法在人們的日常生活中起到了極其重要的作用。祖沖之生活的年代，朝廷采用的是何承天在元嘉六年（429）所制的《元嘉歷》。《元嘉歷》較之此前的歷法已經(jīng)有不少改進。但是祖沖之經(jīng)過認(rèn)真研究和實際觀察，認(rèn)為《元嘉歷》還是不夠精密。舉例來說，我國古代歷法家把19個陰歷年叫作一“章歲”。
最早的閏法就是一章歲加7個閏月，也就是19年7閏。這種閏法在我國實行了一千多年都沒有改變，《元嘉歷》用的也是這個閏法。然而，祖沖之研究認(rèn)為，19年7閏的歷法閏數(shù)過多，和四季變化的真實情況有不小的出入，且經(jīng)過200年就會相差一天。于是，祖沖之改歷法為在391年中設(shè)144個閏年，并將“歲差”這一概念應(yīng)用于其中，由此編成了《大明歷》。應(yīng)該說，這部歷法是當(dāng)時最好的，也是祖沖之在天文歷法方面為后人作出的貢獻。
然而，在推行《大明歷》的過程中，卻出現(xiàn)了阻礙。當(dāng)時的皇帝宋孝武帝不懂歷法，《元嘉歷》和《大明歷》哪個更好，他也不清楚，于是“下之有司，使內(nèi)外博議”。當(dāng)時懂得些歷法的人都認(rèn)為《大明歷》為佳，只有權(quán)臣戴法興反對新的歷法，他憑借自己僅有的天文歷法知識與祖沖之進行辯論，說：“太陽的運動，有時快有時慢，沒有一定的規(guī)律?！弊鏇_之回應(yīng)道：“太陽的運動的確有快有慢，但卻有一定的規(guī)律，這是有事實為證的?！?/span>
戴法興還對“歲差”提出異議，認(rèn)為“冬至所在”“萬世不易”，并給祖沖之扣上了“誣天背經(jīng)”的罪名。祖沖之對戴法興提出的異議一一作了反駁。
最終，戴法興氣急敗壞地說：“歷法是古代流傳下來的，即使有錯誤的地方，也不能隨便改。”祖沖之堅定地回答：“我將古今歷法的優(yōu)缺點做了研究比較，我的研究是有根據(jù)的，我們不能盲目信從古人，舊歷法既然有錯，就應(yīng)該采用新的。”在場的很多大臣都認(rèn)為祖沖之是對的，但是他們畏懼戴法興的權(quán)勢，不敢多言，一些人則為了討好戴法興而反對新的歷法。直到皇帝的另一個親信巢尚之站出來說：“新的歷法是祖沖之經(jīng)過多年的研究制訂的，用這個歷法計算出來的月食情況與現(xiàn)實中的相同，可是用舊歷法推算出來的結(jié)果卻不符合實際情況?！?/span>
宋孝武帝聽了這一言論，決定在大明九年（465）改換年號并實行新的歷法。然而，事不湊巧，孝武帝在大明八年就去世了，新繼位的皇帝則把改換歷法的事放在了一邊。
從祖沖之創(chuàng)制新歷法并和戴法興的辯論中我們可以看出他尊重實踐、實事求是、敢于創(chuàng)新的可貴精神，以及思路清晰、層次分明、因勢利導(dǎo)、就實避虛的辯論技巧。這場辯論的實質(zhì)是革新與守舊之爭，是真理對權(quán)勢的挑戰(zhàn)。祖沖之在這場爭辯中，表現(xiàn)出了不畏權(quán)勢、敢于堅持真理的勇氣。
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將圓周率精確到小數(shù)點后第七位數(shù)字
如果說《大明歷》的制訂在今天看來于我們很陌生的話，那么祖沖之在圓周率方面的貢獻則是眾所熟知的。
我們在求圓的周長、面積和球的體積時需要用到一個常數(shù)π，這就是圓周率。圓周率是個無理數(shù)，用任何有限的數(shù)來作為圓周率的值，都只能是近似的。我國古人最初從經(jīng)驗中得知要用3來作圓周率的值，即所謂的“徑一周三”。后來，人們在長期的實踐中發(fā)現(xiàn)不是“徑一周三”，而是“圓徑一而圓周三有余”，但究竟余多少，卻無人得出準(zhǔn)確的數(shù)字。到了西漢末年，由于建筑工程、機械制造、改進度量衡等的需要，人們開始發(fā)現(xiàn)用3作為圓周率進行計算太不精確了，這就促使當(dāng)時的數(shù)學(xué)家對圓周率的值進行進一步精確的計算。
在我國歷史上第一個不用3作圓周率的是新莽時期的劉歆，他采用的圓周率的值是3.1547，這比以前的計算結(jié)果當(dāng)然要精確一些了。到了東漢，科學(xué)家張衡曾用3.1622和92/29來作圓周率的值。到了三國末期，對圓周率的研究進入了一個新的階段，數(shù)學(xué)家劉徽在研究容器的容積和注解《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上創(chuàng)造了用割圓術(shù)來計算圓周率數(shù)值的科學(xué)方法。割圓術(shù)的發(fā)明，是我國數(shù)學(xué)史上的一大成就，用這種方法得出的圓周率的數(shù)值是3.141024，但實際計算的時候人們往往用3.14這個數(shù)值。劉徽又把π=3.14用幾何法化為157/50，后人把π=157/50稱作“徽率”。
割圓術(shù)
接下來的南北朝時代，祖沖之為了天文歷法上的推算和考量度量衡的需要，對圓周率做了進一步的研究。他認(rèn)為劉徽計算出來的圓周率的值也不是很準(zhǔn)確，于是就繼承了劉徽割圓術(shù)這種求圓周率的科學(xué)方法，并在此基礎(chǔ)上繼續(xù)推求。
關(guān)于祖沖之在圓周率方面的成就，有關(guān)史料僅有兩條，一條出自《隋書·律歷志》，一條出自李淳風(fēng)等注的《九章算術(shù)》。由于李淳風(fēng)是《隋書·律歷志》的編者，則兩條史料實同出一源。
《隋書》（點校本二十四史修訂本）
《隋書·律歷志》相關(guān)內(nèi)容是這樣說的：
“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒（nǜ）數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二?！敢?，算氏之最者也?！?/span>
其大意是：古代的數(shù)學(xué)中，都認(rèn)為圓的周長是3，直徑就是1，這個數(shù)值是很不精確的。劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗等人雖然分別提出過新的圓周率的值，但是也沒有讓人滿意的結(jié)果。到了（南朝）宋末年，南徐州從事史祖沖之創(chuàng)造出更精確的圓周率的值。他把1億那么大的圓徑算作1丈，那么比圓周長大的數(shù)是3.1415927丈，比圓周長小的數(shù)是3.1415926丈，圓周的長度正好在這兩個數(shù)之間。密率就是355/113，約率就是22/7。祖沖之在數(shù)學(xué)方面所得到的結(jié)果，是當(dāng)時最精密的。
祖沖之是世界上第一個把圓周率的值推算到小數(shù)點以后第七位數(shù)字的人，他在這一計算中指出了圓周率的“上下二限”〔即3.1415927（盈）>π>3.1415926（朒）〕，并用分?jǐn)?shù)355/113作為表示圓周率的密率。密率是分子分母都在一千以內(nèi)的分?jǐn)?shù)形式的圓周率的最佳近似值。用這兩個近似值進行計算，可以滿足一定精度的要求，并且非常簡便。
355/113這一密率，一千年后才由德國人奧托和荷蘭人安托尼茲重新得到?？墒牵@一成果后來卻被誤認(rèn)為是安托尼茲首先求出的，因而將其稱為“安托尼茲率”。日本數(shù)學(xué)史家三上義夫主張應(yīng)將這一數(shù)值改稱為“祖率”，將榮譽還給中國古代這位偉大的數(shù)學(xué)家。
此外，直到15世紀(jì)初，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西才求得圓周率的17位精確小數(shù)值，從而打破了祖沖之保持近千年的紀(jì)錄。
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研究興趣轉(zhuǎn)到機械制造方面
公元464年，南朝宋前廢帝登基，統(tǒng)治集團內(nèi)部矛盾升級，劉子鸞被殺死。失去依靠的祖沖之被調(diào)到婁縣（今江蘇昆山東北）擔(dān)任縣令。后來，又調(diào)回建康做謁者仆射，負(fù)責(zé)掌管朝廷宴會、臣子朝見皇帝及重大禮儀的禮節(jié)。隨著南朝宋統(tǒng)治力量的削弱，政權(quán)落到掌握禁衛(wèi)軍的蕭道成手中。479年，蕭道成在建康稱帝，改國號為齊，史稱南朝齊或蕭齊。隨著處境和時代的變化，祖沖之的研究興趣也轉(zhuǎn)變到了機械制造方面。其中最突出的成就就是重造了指南車、制造了水碓磨。
指南車是一種用來指示方向的車子，是中國古代獨有的一項奇特發(fā)明。指南車中裝有機械，車上裝有木人，車子開行之前，先把木人的手指向南方，以后不論車子怎樣轉(zhuǎn)彎，木人的手始終都指向南方不變。指南車究竟起源于何時，已不可考證。相傳遠(yuǎn)古時代黃帝對蚩尤作戰(zhàn)，就曾經(jīng)使用指南車來辨別方向。東漢的張衡、三國時代的發(fā)明家馬鈞都制造過指南車，但早已失傳。公元417 年東晉大將劉裕進軍至長安時，曾獲得后秦統(tǒng)治者姚興的一輛指南車，可這輛指南車只剩下了一個空架子，內(nèi)部機械已經(jīng)毀壞了。南朝齊高帝蕭道成得知祖沖之善于發(fā)明創(chuàng)造，就令其重新制造一輛。經(jīng)過細(xì)心推敲和反復(fù)運算、測試后，祖沖之重新制造出了指南車。
指南車模型
據(jù)說，在蕭道成的御苑里還曾舉行過一次別有情趣的“賽車會”，轟動了朝野。只見兩輛獨轅的雙輪車，每輛上面都高高豎立著一個木人。當(dāng)車子走動時，不論向右轉(zhuǎn)還是向左轉(zhuǎn)，木人的手指總是指向南方。其中的一輛，由于傳遞齒輪和機件都是銅做的，所以比另一輛木制的靈敏度高得多，使在場的觀者無不為之拍手叫絕。
另外，由于祖沖之做過地方縣令，他發(fā)現(xiàn)農(nóng)民舂米、磨粉很費力，于是就制造了一種糧食加工工具——水碓磨。顧名思義，水碓磨是利用水的沖擊力量來帶動機械運轉(zhuǎn)的。西晉初年的杜預(yù)曾發(fā)明連機碓，即在水流很急的地方裝一個大水輪，輪軸長數(shù)尺，上面安一列橫木，水力推著輪子轉(zhuǎn)動的時候，軸上的橫木能帶動好幾個石杵一起一落地在石臼里舂米。此外，他還創(chuàng)造了水轉(zhuǎn)連磨，用水力帶動石磨磨粉。祖沖之的水碓磨就是在連機碓和水轉(zhuǎn)連磨的基礎(chǔ)上改進而成的，他把水碓和石磨結(jié)合起來，不僅減輕了農(nóng)民的負(fù)擔(dān)，更提高了生產(chǎn)效率。
水碓磨
由于南方水資源豐富，河道眾多，祖沖之因此還注意研究水上交通機械。他設(shè)計了一種千里船，又叫千里舩，一天能走一百余里。從上面的這些事例來看，祖沖之在機械制造方面也取得了相當(dāng)大的成就。
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祖暅：祖沖之事業(yè)的繼承者
南朝齊后期，朝廷內(nèi)亂不斷。此時，步入晚年的祖沖之開始關(guān)心政治。南朝齊明帝時期（494—498），祖沖之被任命為長水校尉，為守衛(wèi)京城的禁衛(wèi)軍將官。此前，祖沖之一直擔(dān)任的是文官，這次調(diào)職武官，說明他對國家安危的重視。任職期間，他寫了《安邊論》一文，主張開墾荒地、發(fā)展農(nóng)業(yè)，以增加財政收入，從而鞏固邊防。應(yīng)該說，這是一份很中肯的建議書。然而，由于內(nèi)亂和戰(zhàn)爭，祖沖之的這些建議在當(dāng)時的南朝齊內(nèi)部已經(jīng)很難推行下去了。
公元500年，任長水校尉沒多久的祖沖之去世了，享年72歲。祖沖之去世后，其子祖暅（gèng）繼續(xù)著父親的研究事業(yè)，并完成了父親未完成的愿望。祖沖之去世后不久，蕭衍就起兵奪取了帝位，建立了梁朝，史稱南朝梁。由于祖沖之制訂的《大明歷》一直沒有被施行，祖暅便一連三次向朝廷建議，最終得到了朝廷的同意，《大明歷》于梁天監(jiān)九年（510）正式被政府采用，從此一直沿用到陳后主禎明三年（589），在南朝內(nèi)前后使用了八十年。
尤其值得一提的是，祖沖之研究球體積的算法，可惜沒有完成，這個未竟的事業(yè)被祖暅徹底解決了。他還總結(jié)出了一條公理，即：“冪勢既同，則積不容異?！币馑际钦f，位于兩平行平面之間的兩個立體，被任意一個平行于這兩平面的平面所截，如果兩個截面的面積恒相等，則這兩個立體的體積相等。這就是著名的“祖暅公理”。這一公理一直到17世紀(jì)才被意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚了一千多年。
祖沖之去世距今已有一千五百余年，但他鍥而不舍、鉆研繼承的求知精神，求真求實、理性批判的懷疑精神，開拓變革、超越前人的創(chuàng)新精神，不畏權(quán)勢、敢于堅持真理的勇氣成為后人特別是后世科學(xué)家的榜樣。
祖沖之一生的輝煌成就，也為他博得了極高的聲譽：我國紫金山天文臺發(fā)現(xiàn)的一顆小行星就是用他的名字命名的；法國巴黎科學(xué)博物館“發(fā)現(xiàn)宮”的墻上列有世界著名科學(xué)家的名字，祖沖之的名字也在其中；俄羅斯莫斯科大學(xué)的大禮堂走廊上，有祖沖之的彩色塑像。
位于河北淶水祖沖之中學(xué)的祖沖之雕像
（本文原載于《月讀》2017年第9期）
（統(tǒng)籌：陸藜；編輯：思岐）
