首先，我們要知道，數(shù)學(xué)有很多東西都是違反直覺的，尤其是“無窮”這個(gè)概念，對于一般人而言，就是非常難以理解的。
當(dāng)然，有的人會(huì)奇怪，為什么題目是點(diǎn)有沒有面積，我卻要從“無窮”這個(gè)概念說起？請聽我慢慢道來。
有一個(gè)很經(jīng)典的悖論叫做希爾伯特旅館悖論，這個(gè)悖論是這樣的：
假設(shè)有一個(gè)擁有可數(shù)無限多個(gè)房間的旅館，且所有的房間均已客滿?；蛟S有人會(huì)認(rèn)為此時(shí)這一旅館將無法再接納新的客人（如同有限個(gè)房間的情況），但事實(shí)上并非如此。
簡單說，就是假如一個(gè)整數(shù)N是無窮大，那么N+1=N。
這個(gè)說法實(shí)在是有點(diǎn)兒讓人難以理解，但是這也正是數(shù)學(xué)奇妙的地方，而且根據(jù)希爾伯特旅館悖論，我們可以得出來很多很奇怪的結(jié)論，包括：
1）大于零的偶數(shù)與整數(shù)的數(shù)量是一樣的。
2）雖然0和1之間，無理數(shù)和有理數(shù)都是有無窮多個(gè)，但是還是可以證明無理數(shù)比有理數(shù)要多。
3）假如0和1之間有N個(gè)有理數(shù)，那么1*N=2*N=3*N，只要n不是無窮大，那么n*N=N，而且也容易知道，n*N的數(shù)量依然比無理數(shù)的數(shù)量少。
當(dāng)然，大部分人可以不用糾結(jié)于要向我抗議這種說法是多么荒謬、試圖向我解釋整數(shù)就是比偶數(shù)多、無理數(shù)和有理數(shù)的個(gè)數(shù)都是一樣，因?yàn)樵敿?xì)的證明在網(wǎng)上隨便可以搜到，我不需要說服你。我要講的是如果接受了這個(gè)設(shè)定，可以讓我們明白點(diǎn)究竟有沒有面積。
所以數(shù)學(xué)上有了一個(gè)很奇怪的概念：可數(shù)集。
可數(shù)集又稱可列集、可數(shù)無窮集合，你可以把它想象成希爾伯特旅館。這個(gè)旅館的房間數(shù)量跟整數(shù)的數(shù)量一樣多。而且你可以去數(shù)下去，1，2，3，……雖然你數(shù)不到盡頭，但是你依然可以數(shù)。而這個(gè)集合里面的每一個(gè)對象，都住在希爾伯特旅館的某一個(gè)房間里面。比如說，點(diǎn)0和點(diǎn)1之間的有理數(shù)放到一起，就是一個(gè)可數(shù)集。
這個(gè)時(shí)候，我們再回到原來的那個(gè)問題，但是卻稍微退了一步：
點(diǎn)有長度嗎？如果點(diǎn)有長度，那么我們把點(diǎn)0和點(diǎn)1之間的有理數(shù)剔除出來，然后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)如果有長度，那么0和1之間的長度就是無窮長。但是顯然不是這樣。
甚至于，我們把無窮個(gè)點(diǎn)連在一起（當(dāng)然，這里我們還是說可數(shù)個(gè)點(diǎn)），這無窮個(gè)點(diǎn)還是沒有長度。不要忘了，只有n*N中的n為無窮大的時(shí)候，n*N才可以跟無理數(shù)的數(shù)量相同，所以如果N個(gè)點(diǎn)是有長度的，那么0和1之間無理數(shù)點(diǎn)的長度依然會(huì)讓這段區(qū)間的長度為無窮大。
所以，點(diǎn)是沒有長度的，甚至于無數(shù)個(gè)點(diǎn)依然沒有長度，只有無數(shù)個(gè)無數(shù)點(diǎn)，才是有長度。
這個(gè)觀點(diǎn)的出現(xiàn)也是數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步，因?yàn)槿藗兘K于可以去認(rèn)識什么叫無窮，點(diǎn)、線、面究竟應(yīng)該怎么去考慮。也終于可以名正言順的說，一個(gè)點(diǎn)乘以一個(gè)長度，這個(gè)圖形的面積就是0，并且把這個(gè)觀點(diǎn)應(yīng)用到了泛函分析、勒貝格積分中去。
比如說著名的狄利克雷函數(shù)，在有理數(shù)點(diǎn)上時(shí)等于1，在無理數(shù)點(diǎn)上時(shí)等于0，而對這個(gè)函數(shù)積分，也就是求這個(gè)函數(shù)的面積，是0。也就是說，這個(gè)函數(shù)雖然有無數(shù)個(gè)點(diǎn)位于x軸上方，但是這個(gè)函數(shù)依然沒有面積。
那么，點(diǎn)有沒有面積呢？當(dāng)然沒有面積了。
但是同時(shí)，點(diǎn)又是可以構(gòu)成長度、面積、體積的——這難道不是很神奇嗎？
