中點(diǎn)模型
【模型1】倍長(zhǎng)
1、倍長(zhǎng)中線；2、倍長(zhǎng)類(lèi)中線；3、中點(diǎn)遇平行線延長(zhǎng)相交
【模型2】遇多個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)造中位線
1、直接連接中點(diǎn)；2、連對(duì)角線取中點(diǎn)再相連
【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC＝60°，G是DF的中點(diǎn)，連接GC、GE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，若AB＝10，BF＝4，求GE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段GE、GC有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并給予證明；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）問(wèn)中的關(guān)系還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想，并給予證明．
【解答】
（1）延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H
易證明△CHG≌△CEG，則GE＝3√3
（2）延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)I，
易證明△BCE≌△FIE，則△CEI是等邊三角形，GE＝√3GC，且GE⊥GC
（3）
【例2】如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上一點(diǎn)，連接DE、EF，且AE＝AF，∠DAE＝∠BAF.
（1）求證：CE＝CF；
（2）若∠ABC＝120°，點(diǎn)G是線段AF的中點(diǎn)，連接DG、EG，求證：DG⊥EG.
【解答】
（1）證明△ABE≌△ADF即可；
（2）延長(zhǎng)DG與AB相交于點(diǎn)H，連接HE，證明△HBE≌△EFD即可
【例3】如圖，在凹四邊形ABCD中，AB＝CD，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，BA交EF延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，CD交EF于H點(diǎn)，求證：∠BGE＝∠CHE.
【解答】
取BD中點(diǎn)可證，如圖所示：
角平分線模型
【模型1】構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)
【模型2】角平分線遇平行構(gòu)等腰三角形
【例4】如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC邊于E，EF⊥AE交邊CD于F點(diǎn)，交AD邊于H，延長(zhǎng)BA到G點(diǎn)，使AG＝CF，連接GF.若BC＝7，DF＝3，EH＝3AE，則GF的長(zhǎng)為_(kāi)______.
【解答】
延長(zhǎng)FE、AB交于點(diǎn)I，易得CE＝CF，BA＝BE，設(shè)CE＝x，則BA＝CD＝3＋x，BE＝7－x，
3＋x＝7－x，x＝2，AB＝BE＝5，AE＝，作AJ⊥BC，連接AC，求得GF＝AC＝3
手拉手模型
【條件】OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD
【結(jié)論】△OAC≌△OBD，∠AEB＝∠AOB＝∠COD（即都是旋轉(zhuǎn)角）；OE平分∠AED
【例5】（2014重慶市A卷）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且，連接BE．過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足是F，連接OF，則OF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】6√5/5
【例6】如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC邊上，連接BE，AG⊥BE于F，交BC于點(diǎn)G，求∠DFG．
【答案】45°
【例7】（2014重慶B卷）如圖，在邊長(zhǎng)為6√2的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線一點(diǎn)，BE＝DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，連接CE、BH．若BH＝8，則FG＝_____________．
【答案】5√2
鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ)模型
【模型1】
【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°
【結(jié)論】AC平分∠BCD
【模型2】
【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°
【結(jié)論】① ∠ACB＝∠ACD＝45°； ② BC＋CD＝√2AC
【例8】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，G為CD中點(diǎn)，DE＝DG，FG⊥BE于F，則DF為_(kāi)____.
【答案】9√5/5
【例9】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)M，使BM＝1，連接AM，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AM，垂足為N，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，連結(jié)ON，則ON的長(zhǎng)為_(kāi)_________.
【答案】6√5/5
【例10】如圖，正方形ABCD的面積為64，△BCE是等邊三角形，F是CE的中點(diǎn)，AE、BF交于點(diǎn)G，則DG的長(zhǎng)為_(kāi)__________.
【答案】4√3 4
半角模型
【模型1】
【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°，∠EAF＝
1/2∠BAD， 點(diǎn)E在直線BC上，點(diǎn)F在直線CD上【結(jié)論】BE、DF、EF滿足截長(zhǎng)補(bǔ)短關(guān)系
【模型2】
【條件】如圖，在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足∠EAF＝45°，AE、AF分別與對(duì)角線BD交于點(diǎn)M、N．
【結(jié)論】①BE＋DF＝EF；
②
；③AH＝AB；
④
；⑤BM2＋DN2＝MN2；
⑥△ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM（由AO：AH＝AO：AB＝1： √2可得到△ANM和△AEF相似比為1： √2）
⑦
⑧△AOM∽△ADF；△AON∽△ABE；
⑨△AEN為等腰直角三角形，∠AEN＝45°，△AFM為等腰直角三角形，∠AFM＝45°；⑩A、M、F、D四點(diǎn)共圓，A、B、E、N四點(diǎn)共圓，M、N、F、C、E五點(diǎn)共圓．
【模型2變形】
【條件】在正方形ABCD中，已知E、F分別是CB、DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且滿足∠EAF＝45°
【結(jié)論】BE＋EF＝DF
【模型2變形】
【條件】在正方形ABCD中，已知E、F分別是BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且滿足∠EAF＝45°
【結(jié)論】DF＋EF＝BE
【例11】如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，射線EF與線段AB相交于點(diǎn)G，與射線CA相交于點(diǎn)Q.若AQ＝12，BP＝3，則PG＝__________.
【解答】連接AE，題目中有一線三等角模型和半角模型
設(shè)AC＝x，由△BPC∽△CEQ得
BP/CE=BE/CQ， 3/(（√2/2)x）＝(√2/2)x/（x＋12），解得x＝12
設(shè)PG＝y，由AG2＋BP2＝PG2得32＋(12－3－x)2＝x2，解得x＝5
【例12】如圖，在菱形ABCD中，AB＝BD，點(diǎn)E、F在AB、AD上，且AE＝DF．連接BF與DE交于點(diǎn)G，連接CG與BD交于點(diǎn)H，若CG＝1，則S四邊形BCDQ＝__________．
【解答】√3/4
一線三等角模型
【條件】∠EDF＝∠B＝∠C，且DE＝DF
【結(jié)論】△BDE≌△CFD
【例13】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為AB、BC、CD邊上的點(diǎn)，EB＝3，GC＝4，連接EF、FG、GE恰好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則正方形的邊為_(kāi)_________.
【解答】如圖，構(gòu)造一線三等角模型，△EFH≌△FGI
則BC＝BF＋CF＝HF－BH＋FI－CI＝GI－BH＋HE－CI＝7√3/3
弦圖模型
【條件】正方形內(nèi)或外互相垂直的四條線段
【結(jié)論】新構(gòu)成了同心的正方形
【例14】如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，AF＝AB，AC與FD交于點(diǎn)G，∠FAB的平分線交FG于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作HA的垂線交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)I.若AH＝3AI，FH＝2√2，則DG＝__________．
【解答】17√2/4
【例15】如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，連接BE，作AG⊥BE于F，交BC于點(diǎn)G，連接EG，求證：AG＋EG＝BE．
【解答】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AC交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易證
最短路徑模型
【兩點(diǎn)之間線段最短】
1、將軍飲馬
2、費(fèi)馬點(diǎn)
【垂線段最短】
【兩邊之差小于第三邊】
【例16】如圖，矩形ABCD是一個(gè)長(zhǎng)為1000米，寬為600米的貨場(chǎng)，A、D是入口，現(xiàn)擬在貨場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)收費(fèi)站P，在鐵路線BC段上建一個(gè)發(fā)貨站臺(tái)H，設(shè)鋪設(shè)公路AP、DP以及PH之長(zhǎng)度和為l，求l的最小值．
【解答】600 500√3，點(diǎn)線為最短．
【例17】如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF，連接CF交BD于G，連接BE交AG于H，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____________________．
【解答】如圖，取AB中點(diǎn)P，連接PH、PD，易證PH≥PD-PH即DH≥√5-1．
課后練習(xí)題
【練習(xí)1】如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的長(zhǎng)分別為3、5，求三角形OBE的面積．
【解答】5/2
【練習(xí)2】已知：如圖1，正方形ABCD中，為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．
求證：EG＝CG且EG⊥CG；
將圖1中△BEF繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖2所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
將圖1中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？
【解答】
略
方法一：如圖所示
方法二：如圖所示
（3）
方法一：
方法二：
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