題：如圖，已知E是正方形ABCD外一點，滿足BE=BD，CE∥BD，BE交CD于F，
求證：DE=DF.
分析：欲證DE=DF，設法證明∠DEF=∠DFE.
從已知出發(fā)，根據(jù)已知條件聯(lián)想到其相關的性質。
由四邊形ABCD是正方形，可得該四邊形四邊相等，四個角都是直角，對角線與邊的夾角為45°；
由BE=BD，可得∠BED=∠BDE；
由CE∥BD，可得∠BEC=∠DBE，∠DCE=∠BDC=45°.
經過探索，以上這些條件仍然不足以證明∠DEF=∠DFE.
考慮添加輔助線.注意到正方形對角線互相垂直評分且相等，為了利用這個性質，連接AC，交BD于點O（如圖2）.則
AC⊥BD，OC=BD/2.
因為CE∥BD，所以AC⊥CE，
從而有∠DOC=∠OCE=90°.
考慮到這兩個直角，再作EG⊥BD于G（如圖2），
則四邊形OCEG是矩形，
所以EG=OC=BD/2.
注意到直角三角形BGE中，
因為BE=BD，所以EG=BE/2，
所以∠EBG=30°.
這是個偉大的發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)了∠EBG為30°，接下來的問題就不成問題了.
證明：連接AC，交BD于點O（如圖2）.則
AC⊥BD，OC=BD/2.
因為CE∥BD，所以AC⊥CE，
作EG⊥BD于G（如圖2），
則四邊形OCEG是矩形，
所以EG=OC=BD/2.
在直角ΔBGE中，
因為BE=BD，
所以EG=BE/2，
所以∠EBG=30°，
所以∠BDE=∠BED
=(180°-30°）/2=75°，
因為∠BDC=45°，
所以∠EDF=30°，
所以∠DFE=180°-30°-75°=75°，
所以∠DFE=∠DEF，
所以DE=DF.
