基本不等式在原來的教材中叫做重要不等式，從這個命名方式大家就可以想見它的重要程度，這個內(nèi)容在數(shù)學(xué)教材必修第一冊中是這樣給出的。
這部分內(nèi)容就算是初中生讀起來也沒有任何難度。但是，基本不等式在高中數(shù)學(xué)中具有極其重要的地位，從知識體系來說，基本不等式（也叫做均值不等式）不僅本身是一個重要的數(shù)學(xué)知識模塊，而且能與多個知識分支相互融合；從思維能力角度來說，基本不等式反映了創(chuàng)造性和嚴(yán)謹(jǐn)性的有機(jī)結(jié)合，發(fā)散性思維和收斂性思維的辯證統(tǒng)一。所以我們要重視這塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在考試中，這一塊還是會出現(xiàn)一些很難的題目的，值得我們好好研究一下。
【問題一】什么叫算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)？
平均數(shù)也叫均值，它是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，我們經(jīng)常用它來比較兩組數(shù)據(jù)的差異。
我們先看這樣一個問題：在高一入學(xué)后進(jìn)行的兩次數(shù)學(xué)考試中，A同學(xué)的得分分別是60和
120，B同學(xué)的得分分別是70和110。哪一個同學(xué)的平均成績更好？
很明顯，這兩位同學(xué)兩次考試的平均分都是90分，我們可以認(rèn)為兩位同學(xué)的成績從均值的角度是一致的。我們的算法是將兩次的得分相加，再除以2。這樣得出的平均數(shù)在數(shù)學(xué)上就叫做“算術(shù)平均數(shù)”。
對于上面的問題，我們增加一個條件，在高一入學(xué)后進(jìn)行的兩次數(shù)學(xué)考試中，第一次考試的滿分是100分，第二次考試的滿分是150分，A同學(xué)兩次的得分分別是60和120，B同學(xué)兩次的得分分別是70和110。哪一個同學(xué)的平均成績更好？
此時如果我們?nèi)匀挥们懊娴姆椒?，顯然就不妥當(dāng)了，因為兩次考試的維度不一致，我們可以把兩個維度統(tǒng)一之后再比較看看。如果我們把第一次的分?jǐn)?shù)按滿分為150分換算，那么，A同學(xué)的得分就換算為90分，B同學(xué)的得分就換算為105分，所以兩次考試。A同學(xué)的平均分為105分，B同學(xué)的平均分為107.5分，B同學(xué)平均成績更好。在這個問題中，我們用算術(shù)平均數(shù)來計算，顯然兩位同學(xué)的平均分相等，這個結(jié)論是錯誤的。當(dāng)然，如果這里我們通過計算
10%，2月份比上月增長20%，3月份比上月增長40%，那么，這三個月的平均增長率就為
對于兩個正數(shù)a和b，若a和b不相等，則這些平均數(shù)的大小都會介于兩者之間；若a和b相等，則這些平均數(shù)的大小都會等于a和b（這也是記憶這些平均數(shù)的方法）。因此我們就需要研究這些平均數(shù)之間的大小關(guān)系，從而得到了“均值不等式”。
【問題二】如何證明基本不等式。
基本不等式的內(nèi)容：
理解了公式的證明方法，也就能很輕松的記住和記牢公式。這是我們在學(xué)習(xí)新公式時要遵循的方法，先考慮知其所以然，再知其然。因為“過程都清楚了，結(jié)論自然就搞定了，不但搞定了，往往也就會用了”。
【問題三】基本不等式有什么用？
1.基本不等式的變形
基本不等式講的是兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，需要注意的是這兩個數(shù)可以是a和b，當(dāng)然也可以是a 1和b-1，甚至是x y-1和2x 3y 5，只要它們是兩個正數(shù)，就滿足基本不等式，這一點(diǎn)一定要想明白。
要想用好基本不等式，就需要搞明白上面的變式，理解它們的來龍去脈才可以。
2. 基本不等式的用法
基本不等式最主要的作用是用來證明不等式和求最值，由于高考主要考查的是求最值，并且兩種用法差異不大，因此這里只介紹用基本不等式求最值的方法。
關(guān)于這個問題，教材上是以一個例題的形式呈現(xiàn)的：
這也是高中數(shù)學(xué)教材的一個特點(diǎn)，一些重要的知識、方法可能是以例題、練習(xí)或習(xí)題的形式出現(xiàn)的，閱讀教材不能只是去關(guān)心那些黑體字部分，不然你會丟失掉很多很多東西。
通過上面的例題我們就得到利用基本不等式求最值的解題步驟：
第一步：找到兩個正數(shù)x,y，注意它們是變量，不是常數(shù)，字母不一定是變量，也可以是常數(shù)。這是基本不等式求最值的第一個重點(diǎn)，基本不等式研究的是雙變量的最值問題，找出這兩個正數(shù)是這里最關(guān)鍵的步驟，因為這兩個正數(shù)可以是x,y,也可以是x 2y和2x 3y,這是需要你根據(jù)題意進(jìn)行判斷，題目可能明示，也可能暗示，甚至可能需要你通過變形、通過化簡、通過換元等等方法才能發(fā)現(xiàn)。很多同學(xué)這種題目做不好，往往就是因為缺少這一步的思考，直接就胡亂的套公式。這一步我們把它簡稱為“一正”，確定兩個正數(shù)。
第二步：若xy為定值（常數(shù)），則x y就可能有最小值。（積定和最?。?/strong>
若x y為定值（常數(shù)），則xy就可能有最大值。（和定積最大）
這一步的關(guān)鍵是定值，因此這一步我們把它簡稱為“二定”，找出或構(gòu)造定值。
第三步：驗證不等式的等號能取到，如果取不到等號，則說明方法有誤。在求最值的問題中如果前兩步很容易就滿足的話，等號很多是取不到的。因為我們知道“天上不會掉餡餅”，“來得太容易的往往是假的，是坑”。這一步我們把它簡稱為“三相等”，保證取等，得出最值。
簡單說就是：一正，二定，三相等。積定和最小，和定積最大。
本題盡管不算難，但它體現(xiàn)的方法非常重要，大家可以多想幾遍，理解透徹了，很多題就能解決了?！皳Q元”是一個很有用的方法，我們今后會經(jīng)常用到它。
上面兩道題分別對應(yīng)了兩種情況：積定和最小，和定積最大。因此解題時還要注意分析所求的是最大值還是最小值，這可以幫助我們判斷研究的是積還是和，因為和與積其實是相對的。看下面的例子：
這道題已知與結(jié)論都是以和的形式呈現(xiàn)的。
在用基本不等式求最值中，認(rèn)清兩正數(shù)是關(guān)鍵，認(rèn)清后，換元是重要方法，通過換元可以把題目迅速的轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題。
這種題型非常重要，是試題中一個重要的出題點(diǎn)，很多題目的原型都是它。所以我們先給出這道題的一個通用的解法，它的理論依據(jù)來自于前面給出的一個變式。
需要注意的是，下面的解法是錯誤的，大家想想錯在哪了。
當(dāng)然，這道題也可以用前面3個例子的方法完成，畢竟它們的本質(zhì)都是一致的，也就是下面的方法二，但這里的變形，還是需要一點(diǎn)技巧的，大家要認(rèn)真體會這種變形方法。
上面的方法看起來很繁瑣，但仔細(xì)理清其中的道理，你對基本不等式的理解會有很大的提升。數(shù)學(xué)的很多方法其實都是這樣的，很多看似完全不相關(guān)的問題，其本質(zhì)往往是一模一樣的。
當(dāng)然，這道題還可以用函數(shù)的方法來處理，過程也很簡潔。
這道題最終我們還是轉(zhuǎn)化成用基本不等式的方法來求函數(shù)的最值。當(dāng)然，我們不用基本不等式，直接通過研究函數(shù)的單調(diào)性也是可以的，只是研究其單調(diào)性，用高二選擇性必修中的導(dǎo)函數(shù)處理會更方便一些，用單調(diào)性的定義處理就會比較麻煩。事實上，利用基本不等式求函數(shù)、特別是分式型函數(shù)的值域和最值，也是非常重要的方法。
由于函數(shù)與方程是息息相關(guān)的，因此，這道題還可以用方程的方法（判別式法）來處理。
這個方法又叫做“萬能k法”，它的特點(diǎn)是“問誰設(shè)誰（為k）”，把k看成常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為的一元二次方程（k以系數(shù)的方式出現(xiàn)）問題，最后用判別式構(gòu)造關(guān)于k的不等式處理，但一定不要忘了判斷取等的條件。既然叫“萬能k法”，適用面是非常廣的，前面的幾個例子（也包括后面的題目），都是可以用的。
這道題除了前面給出的四種方法以外，還可以用“三角代換法”和“幾何法”處理，這兩個方法需要用到三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)函數(shù)相關(guān)的知識，這里就不展開了。
以上8道題都屬于【例3】的類型，如果你都能解決，這塊知識就達(dá)到一定的火候了。
問題：什么時候取等號?
這個方法處理起來并不難，但有一點(diǎn)巧合，如果求
本題除了上面的方法，函數(shù)法與“萬能k法”都是可以的。
與前面的例子相比，本題沒有定值條件，但基本方法并沒有改變，我們?nèi)匀恍枰_定兩個正數(shù)。因此有
自己試一下，別急著看答案。
基本不等式求最值的基本方法就這些了，如果你能把這里給出的所有題目弄清楚，搞明白，對付一般的考試應(yīng)該是沒有多大的問題了。但是，更高階的方法這里仍然沒有涉及，象強(qiáng)基競賽黨，還需要進(jìn)一步研究，這里就不展開了。
【寫在最后】
從基本不等式這個內(nèi)容來說，課本上只有很少的幾頁，但如果我們深入的去研究，就會覺得似乎無窮無盡，這也是高中數(shù)學(xué)的一個特點(diǎn)，就象佛經(jīng)中所說的“芥子納須彌”?！敖孀印敝附娌说姆N子，佛家以“芥子”比喻極為微??；“須彌”指須彌山，佛家以“須彌山”比喻極為巨大。生如芥子有須彌，心似微塵藏大千。很多東西，你以為搞清楚了，其實只是在你的認(rèn)知層面上搞清楚了，也許別人是在更高的層面上俯視你，你看到的只是“芥子”，別人看到的是整座“須彌山”。因此，多思考、多探索，學(xué)無止境永遠(yuǎn)都是真理。
芥子納須彌
