hello，大家好。咱們又見面了，我就是傳播知識傳播愛的吳老師。
初中幾何圖形中的輔助線做法可以說是中考中的重點(diǎn)，難點(diǎn)和熱點(diǎn)，往往如何添加合適的輔助線孩子們經(jīng)常是一頭霧水，其實(shí)還是本質(zhì)上對常見的數(shù)學(xué)模型不夠熟悉，只有真正的吃透輔助線的做法和一些基本的幾何模型，解題的時(shí)候才能有文思泉涌，如有神助。
初中的幾何變換強(qiáng)調(diào)的是以動態(tài)思想去處理靜態(tài)幾何問題，初中數(shù)學(xué)幾何變換主要有三大類：平移，翻折和旋轉(zhuǎn)。而往往輔助線的添加是建立在這三大類幾何變換上，比如我們這次會講到的將軍飲馬模型，角平分線模型等等。
一：將軍飲（yìn）馬模型（“飲”讀第四聲，讓馬喝水的意思）
歷史典故：據(jù)說，在古希臘有一位聰明過人的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍向他請教了一個(gè)問題：從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后再B地，走什么樣的路線最短？如何確定飲馬的地點(diǎn)？提起路線最短的問題，大家知道：連結(jié)兩點(diǎn)之間所有線中，最短的是線段。這個(gè)題中馬走的是一條折線。這又該怎么辦呢？
解決辦法：那聰明的海倫是這樣解決的
首先他任意選取A,B兩個(gè)定點(diǎn)中的一個(gè)，假設(shè)選取的為B點(diǎn)。
然后過B點(diǎn)作動點(diǎn)P所在直線的對稱點(diǎn)B'。
最后連接對稱點(diǎn)B'和A點(diǎn)與直線的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)。
解決思路：同側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題。
推導(dǎo)過程：通過構(gòu)造對稱點(diǎn)，就相當(dāng)于把之前的折現(xiàn)給它拽直了，轉(zhuǎn)化成直線問題。由對稱性質(zhì)我們知道，PB=PB'。
∴PA+PB=PA+PB'>=AB',當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)取等。
例題：大家可以動手做一做
以上就是將軍飲馬模型的基本圖形，而關(guān)于將軍飲馬模型的變形圖形實(shí)在是太多了，接下來我們拓展一種比較常見的變形圖形：
問題背景：假設(shè)我現(xiàn)在比較任性，從A點(diǎn)騎著馬兒，先去OM這條河上的c點(diǎn)，讓馬兒喝口水，然后在騎著馬去ON這塊草坪上D點(diǎn)讓馬吃過口草，最后再回到B點(diǎn)，問怎樣走能夠使得路徑最短？
解決思路：分別過定點(diǎn)A,B做兩條直線的對稱點(diǎn)A',B'，然后連接兩對稱點(diǎn)，與直線OM和ON的交點(diǎn)C,D就是所求點(diǎn)。
所以我們可以總結(jié)將軍飲馬類題型的輔助線做法特點(diǎn)：
做定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，
幾個(gè)動點(diǎn)就做幾次對稱。
二：角平分線的輔助線做法
模型一：雙垂模型
輔助線思路：當(dāng)題干中角平分線上有一點(diǎn)向一邊作垂線，可以選擇再做一條垂線，構(gòu)造雙錘模型。
例題賞析：如圖所示，在△ABC中，PB、PC分別是∠ABC的外角的平分線，求證：∠1=∠2
模型2：截取等長造全等
輔助線思路：在角的兩邊截取相等的線段構(gòu)造全等三角形。
例題賞析：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．?求證：AB=AC+CD．
模型三：單垂模型
輔助線思路：當(dāng)角平分線上有垂線，并且垂足在角平分線上，一般延長垂線構(gòu)造單垂模型。
例題賞析：?如圖4，BD是∠ABC的平分線，AD⊥BD，垂足為D，求證：∠BAD=∠DAC+∠C.
模型四：角平分線+平行線→等腰三角形
輔助線思路：過∠AOB平分線OC上的一點(diǎn)P，作PE∥OB，交OA于點(diǎn)E，則EO=EP.
在整個(gè)初中階段，幾何類綜合題目當(dāng)題干中給出角平分線的時(shí)候，如果需要添加輔助線，基本上99%都是上面總結(jié)的4種輔助線添加，根據(jù)題目條件靈活選用即可。
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