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雞爪定理：三角形一內(nèi)角的平分線與其外接圓的交點(diǎn)到其它兩頂點(diǎn)的距離及到內(nèi)心與旁心的距離相等。

如圖，△ABC的∠BAC的平分線交其外接圓于D，設(shè)E是△ABC的內(nèi)心，F(xiàn)是∠BAC內(nèi)的旁心，求證：DB＝DC＝DE＝DF。

雞爪定理的結(jié)論：DB＝DC＝DE＝DF形似雞爪，故名雞爪定理。此定理中的結(jié)論：DB＝DC＝DE已成為教科書(shū)《圓》一章中的一道習(xí)題，深受中考數(shù)學(xué)命題者的青瞇，所以是一道很好的中考數(shù)學(xué)“材料題”。下面筆者和大家交流此定理的分析與證明。

因旁心為三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線的交點(diǎn)（三角形的旁心有三個(gè)），內(nèi)心在內(nèi)角平分線上，所以A、E、D、F四點(diǎn)在同一直線上。先證明E、B、F、C四點(diǎn)共圓，再證DB＝DC＝DE得D為圓心，從而得DB＝DC＝DE＝DF

證明：∵E為內(nèi)心，∴BE平分∠ABC，∴∠2＝0.5∠ABC，

∵F為旁心，∴BF平分∠MBC，∴∠CBF＝0.5∠MBC

∴∠1＋∠CBF＝0.5（∠ABC＋∠MBC）＝0.5×180o＝90o，

∴∠EBF＝90o，同理：∠ECF＝90o，

∴∠EBF＋∠ECF＝180o， E、B、F、C四點(diǎn)共圓。

∵AD平分∠BAC，且B，D，C三點(diǎn)在△ABC外接圓上，∴DB＝DC。①

∵∠6＝∠1＋∠3，∵∠3＝∠4＝∠5，∴∠6＝∠1＋∠5，∵∠1＝∠2

∴∠6＝∠2＋∠5，∴DE＝DB。比較①得：DB＝DC＝DE；

∵E、B、F、C四點(diǎn)共圓，∴D為E、B、F、C四點(diǎn)外接圓的圓心，

∴DB＝DC＝DE＝DF，定理得證。