自從孩子上小學(xué)，我就開始思考這個問題——數(shù)學(xué)應(yīng)該怎么學(xué)？通過反思自己的學(xué)習(xí)歷程，觀察兩個孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以及在三年多時間中的不斷實踐，終于算是初步明確了方向。

十六年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思

我的數(shù)學(xué)學(xué)得怎么樣？不同階段的我，有不同的評價。

小學(xué)時候數(shù)學(xué)總是一百分，覺得自己學(xué)得很好。直到在沒接觸任何數(shù)學(xué)競賽題目，沒上過任何培訓(xùn)班的情況下，參加了一次數(shù)學(xué)競賽，發(fā)現(xiàn)自己只能做出來兩道題，才意識到數(shù)學(xué)原來可以這么難。自此得出結(jié)論，自己不是競賽的料，搞好課內(nèi)才是根本。

到了高中，有些時候的模擬考試，最后一道大題也不一定能做出來，我就給自己定下策略：最后一道題想三分鐘沒思路，就先放下，檢查前面的題目，確保準(zhǔn)確率，剩下的時間再攻克最后一道難題。這個策略顯然是拿不了極高分的，但可以保證一個還不錯的分?jǐn)?shù)。我就依靠著各科的“還不錯”，躋身躍過清華錄取分?jǐn)?shù)線。

和我所在的普通中學(xué)不一樣，清華人才濟(jì)濟(jì)，各種競賽高手比比皆是。我這才意識到，對于他們很多人來說，高考的卷面分顯然不能測出他們的真實水平，比如我們班另外一個女同學(xué)的高考數(shù)學(xué)就是149分。二十多年前的高考分?jǐn)?shù)和現(xiàn)在不一樣，滿分很少，這個分?jǐn)?shù)真是把我驚呆了，印象至深。我對自己的數(shù)學(xué)水平評級調(diào)整為“不行”。我們工科的數(shù)學(xué)要求在清華居中，比不上數(shù)學(xué)系、計算機(jī)系等，但比文科要難得多。在大學(xué)一年級學(xué)了兩門數(shù)學(xué)課——《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》。大學(xué)的課程對我來說很難，尤其是《線性代數(shù)》。但最終憑借著努力，這兩門課一個考了90多，一個80多。攻克這兩門功課，給我在清華的學(xué)習(xí)樹立了信心。

基于16年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，我覺得自己的數(shù)學(xué)還行吧，雖然比不上那些競賽高手，但作為普通人應(yīng)該還是可以的。

然而離開學(xué)校后，我越來越發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)水平，比自己想象中弱。

我從事的是非技術(shù)工作，工作中并不需要多復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用。但我逐漸發(fā)現(xiàn)自己缺乏的是應(yīng)用以往學(xué)到的數(shù)學(xué)知識（那些知識我都會）解決生活和工作中問題的習(xí)慣和思維方式。舉幾個例子來說明一下。

和先生去訂生日蛋糕，因為孩子的朋友來得比較多，需要訂一個大的，發(fā)現(xiàn)大號蛋糕比中號蛋糕價格高很多，我隨口說，大的怎么這么貴?。渴遣皇沁€沒有買兩個中號的劃算？先生沉默了一下，說，如果中號和大號蛋糕的高度是一樣的，那么體積的比值就是半徑平方的比值，這么算下來，還是大號蛋糕劃算。

家里暖氣片壞了，需要買一個新的暖氣片，我想把原先的矮暖氣片趁機(jī)換成高暖氣片，節(jié)省一點(diǎn)空間。買多大的呢？先生很快就定下來了方案，如果要和原先的暖氣片制熱效果一樣，散熱面積就要一樣，這么就可以根據(jù)高度的變化算出來需要買多寬的（多少片的）。他去建材城買暖氣片，銷售問我們原先暖氣多大，先生說他自己已經(jīng)算好了，銷售特別驚訝，一看算得是對的。唯一需要修整的是新舊兩個暖氣材質(zhì)稍有不同，再加上一個熱效率系數(shù)，很輕微的影響。

去辦事排隊，人很多，隊很長。我排了一會兒著急了，擔(dān)心時間來不及。先生說，大概還需要多少分鐘到我們。我問他怎么知道，他說他觀察了一下前面幾個人辦事的平均時間，又?jǐn)?shù)了一下前面還有多少人，估算出來的。

在郊野碰到一棵非常高的樹，孩子很好奇地問這棵樹有多高。附近沒有樓房，不能比較這棵樹相當(dāng)于幾層樓高。先生用腳步丈量了旁邊一棵小樹的影子長度，然后又丈量了那棵大樹的影子長度，然后就從小樹的高度（比人高不了多少，很容易估測）推算出大樹的高度。

以上用到的數(shù)學(xué)知識都是非常簡單的，我肯定是會的，如果拿到這樣的題目，我絕對能做出來。但我卻不能在生活中碰到問題時，第一時間想起利用數(shù)學(xué)工具來解決。先生在大學(xué)時的數(shù)學(xué)成績并沒有我高，但他顯然比我更積極地在生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，包括返券打折等花樣，算得清清楚楚。

基于自己的生活經(jīng)歷，我開始思考一個問題——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到底對我們有什么影響？

數(shù)學(xué)的影響

對于絕大多數(shù)從事非技術(shù)工作的人來說，他們工作和生活中所用到的數(shù)學(xué)知識基本上就是小學(xué)范圍內(nèi)的。即便忘記了什么無理數(shù)、如何解三角函數(shù)、如何做幾何證明題、如何多項式展開，其實也不怎么影響我們的生活。那么我們哼哧哼哧費(fèi)了10年勁兒學(xué)習(xí)中學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)課，又有什么用呢？

最根本的原因就是選拔。通過一些抽象、有難度的學(xué)習(xí)來選拔學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、智力條件好的人。就像以前奧數(shù)沒取消時，小升初最硬核的證書就是奧數(shù)杯賽獲獎證書，為什么？難道數(shù)學(xué)就比英語和語文重要？并不是。但數(shù)學(xué)競賽無疑是客觀度高，便于衡量、且能直接反映智力條件和學(xué)習(xí)能力的一個指標(biāo)。最近剛讀完一個研究超常兒童的頂級外國專家寫的書，其中講到超常兒童的一些特征，明確說到，大多數(shù)超常兒童都有驚人的數(shù)學(xué)能力。

然而受教育的作用不僅是“選拔”，還有一項重要的作用就是“培養(yǎng)”。隨著社會的進(jìn)步，越來越多的家長開始重視如何更好培養(yǎng)的孩子，而不僅僅是讓孩子拿到畢業(yè)證。一個人的能力，將比畢業(yè)證更能預(yù)測他走向社會后的成功和幸福感。

那么從“培養(yǎng)能力”、“素質(zhì)教育”的角度來說，作為一個“非技術(shù)工作者”，數(shù)學(xué)帶給我們怎樣的影響？我認(rèn)為有兩項：

第一，在生活和工作中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題。

數(shù)學(xué)是一種思維方式，是一個工具，是用來解決實際問題的。數(shù)學(xué)不等于做題。從閱讀財務(wù)報表、到理財，到更實惠地購物，到如何更好地安排時間，都離不開數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)幫助我們量化，讓我們能夠從定性估計到定量計算，讓我們更精確地認(rèn)知這個世界以及進(jìn)行生活、工作的安排。

除了上面分享的一些生活中的小例子，我還想分享一個工作中遇到的案例。曾經(jīng)我從事的一份工作中，客戶、領(lǐng)導(dǎo)都對我們的合作伙伴的質(zhì)量很關(guān)心，但我們的合作伙伴數(shù)量極多，沒有辦法對每一個進(jìn)行實時檢查。一個同事就想出一個辦法，隨機(jī)抽取一些合作伙伴進(jìn)行檢查，從這個小樣本來推測整體情況。這就要用到統(tǒng)計學(xué)的知識，抽取多少樣本才夠？結(jié)果的可信程度（置信區(qū)間）是怎樣的？如何抽取樣本才是隨機(jī)？這些題目在學(xué)統(tǒng)計學(xué)時我做過很多，但可惜的是，我沒有主動運(yùn)用它來解決實際問題。

第二，鍛煉抽象思維，以及學(xué)習(xí)理性分析、推導(dǎo)、解決問題的嚴(yán)謹(jǐn)能力。

畢業(yè)后，幾何證明題如何做輔助線并不重要，重要的是對空間想象力的鍛煉，對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)過程的鍛煉。代數(shù)計算的結(jié)果以后也都會煙消云散，但我們知道“結(jié)果是不能靠猜的”，要通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠嬎愫图?xì)致的核查才能確保質(zhì)量。

我不想讓數(shù)學(xué)僅僅淪為“選拔”的一個工具，一旦選拔結(jié)束，就拋之腦后，棄如敝履。那么給孩子的“素質(zhì)數(shù)學(xué)教育”應(yīng)該是怎樣的呢？不管以后學(xué)文、學(xué)理還是學(xué)工，他們應(yīng)該怎么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢？

孩子如何學(xué)數(shù)學(xué)

首先，就是讓孩子對數(shù)學(xué)有興趣。

討厭數(shù)學(xué)的人非常多。很多人談數(shù)學(xué)變色，也有很多人是出于對數(shù)學(xué)的恐懼和無力感才“被動”選擇了文科。我承認(rèn)個體差異，每個孩子的數(shù)學(xué)能力是不一樣的，每個人的興趣愛好也是不一樣的。有些孩子就是會對數(shù)學(xué)癡迷，而有些孩子卻做不到。這些都是正常的。但是，如果搞到那么多人都討厭、害怕數(shù)學(xué)，這挺不正常的。就算不能讓每個孩子都熱愛數(shù)學(xué)，但是通過努力，“不害怕、不排斥”還是應(yīng)該可以達(dá)到的。當(dāng)然，這和家長的態(tài)度、老師的教學(xué)都是分不開的。

現(xiàn)實生活中，很多人卻在走相反的方向。扼殺孩子數(shù)學(xué)興趣、人為制造“恐懼感”，這些做法甚至已經(jīng)到了學(xué)齡前。逼孩子做題（特別是非?？菰锏挠嬎泐}），逼孩子報班，對孩子做錯題進(jìn)行懲罰、責(zé)罵。什么是對，什么是錯，不能人云亦云，自己要有個判斷。家長確實不可能對所有領(lǐng)域都精通，我的方法是，不知道就問專家。

在孩子入學(xué)前，我去大學(xué)同學(xué)家玩，同學(xué)的媽媽是華東某經(jīng)濟(jì)強(qiáng)省的小學(xué)特級數(shù)學(xué)教師，退休后一直在辦奧數(shù)班，教學(xué)質(zhì)量遠(yuǎn)近聞名。而我的同學(xué)也在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽獲過獎。我向同學(xué)媽媽請教孩子該不該學(xué)奧數(shù)。阿姨告訴我，奧數(shù)對數(shù)學(xué)思維的拓展還是很有好處的，尤其是對數(shù)學(xué)有興趣的孩子，學(xué)習(xí)的樂趣很大。因為我小時候沒參加過數(shù)學(xué)競賽（在那唯一一次體驗和失利之后），就有點(diǎn)覺得孩子也不用學(xué)。但是聽完阿姨的話，我決定要看孩子的狀態(tài)才定，奧數(shù)不應(yīng)該被妖魔化，對于有些孩子來說是很好的課內(nèi)補(bǔ)充。我又接著問阿姨，如果要學(xué)，該什么時候?qū)W，阿姨說一二年級過早，沒有必要，如果想學(xué)，三年級可以開始。當(dāng)時我不知道為什么，就是記住這個結(jié)論了。后來在孩子上學(xué)的過程中才知道，一二年級基本上都在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本概念和加減乘除四則運(yùn)算。這些基本功都沒有，就像手頭基本的工具都沒有，很難去解決一定難度的問題。

我還看見過一些清華畢業(yè)生的分享，他們都是中學(xué)省級、全國數(shù)學(xué)競賽獲獎?wù)?，?dāng)他們成為父母，開始關(guān)注孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，他們認(rèn)為小孩子應(yīng)該從游戲開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有關(guān)數(shù)學(xué)的游戲很多、棋牌、桌游、生活中的場景。我本來就認(rèn)為刷題非常損害學(xué)習(xí)熱情，現(xiàn)在看到數(shù)學(xué)高手們也這么說，就更堅定了自己的想法。

因此，為了提升孩子的數(shù)學(xué)興趣，我會努力尋找有意思的數(shù)學(xué)繪本、數(shù)學(xué)故事，玩一些數(shù)學(xué)相關(guān)的游戲，在生活中提出數(shù)學(xué)問題，讓他們理解數(shù)學(xué)和生活的練習(xí)非常緊密。比如小姨說她每天下午都要喝一杯咖啡，假定一杯咖啡20元，那小姨一年要花多少錢買咖啡呢。順便說，現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)課本和生活聯(lián)系就很緊密。以前有好多“無意義”的應(yīng)用題我都想不通什么奇葩的人會這么做，比如一個水池同時開著進(jìn)水管和出水管。但現(xiàn)在孩子學(xué)習(xí)面積單位時，就會讓孩子估算假設(shè)一平米能站16個人，那么一公頃能容納多少人。用常見的一些地標(biāo)來理解公頃的大小，比如鳥巢有20公頃。

其次，讓孩子思考。

我認(rèn)為相比起我們小時候的學(xué)習(xí)，現(xiàn)在孩子們的學(xué)習(xí)有一個重大問題，就是沒機(jī)會思考。為什么？因為現(xiàn)在輔導(dǎo)班多、家教多、教輔多，孩子一不會，家長就著急，就報班，就買參考書，就給孩子講。有一次看見網(wǎng)上一個帖子說某語文班好，老師總結(jié)了很多實用的知識點(diǎn)，比如四大名著人物關(guān)系圖、重大事件、中心思想等等。我當(dāng)時就想，這不就是老師把飯菜放到嘴里嚼過了，再吐出來讓孩子吞下去嗎？孩子什么都不需要自己總結(jié)，只剩下記憶了。

布魯姆的教育目標(biāo)分類有六個層次，從低到高分別是：記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)新。老師都給掰開了、揉碎了、總結(jié)了，孩子要做的就一件事就是記憶，而這恰恰就是最低的層次。

不懂學(xué)習(xí)的人以為學(xué)習(xí)是記住知識點(diǎn)，其實不管是學(xué)校里的真學(xué)霸，還是大教育家、大科學(xué)家（我看過多本這方面的書），都會認(rèn)為其實那個知識點(diǎn)反而不是最重要的，而這個發(fā)現(xiàn)、說明、分析、嘗試、驗證的過程才是學(xué)習(xí)的真諦——學(xué)習(xí)能力因此而形成。前兩天看見清華附中的校長說，在一些應(yīng)試成績很好的地區(qū)，孩子的學(xué)習(xí)能力反而比較差，原因就是教師的應(yīng)試經(jīng)驗太豐富了，全都給孩子總結(jié)好了套路，讓孩子避開每一個坑，其實這個過程就是讓孩子失去了鍛煉學(xué)習(xí)能力的機(jī)會。

好，再回到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。語言本來就是約定俗成的用法，語文和英語都少不了大量記憶的東西，但即便這樣，教的太多，孩子自己思考的太少，也會有很多損害。數(shù)學(xué)和語言學(xué)習(xí)不一樣，走到了死記硬背的路上，就算廢了。

數(shù)學(xué)課，我最怕的就是老師拿出一道例題，孩子們看了一眼沒時間思考，老師就開始講解題方法。然后布置一堆非常類似的題目，孩子們照貓畫虎、照葫蘆畫瓢，都做的挺好。然而，在這個過程中，孩子們鍛煉到了什么能力？有些孩子雖然當(dāng)時理解了，但因為都是外在灌輸?shù)模瑳]有經(jīng)過自己思考，所以很快就會忘記。而有些孩子壓根就沒理解老師的解題方法，只是簡單地模仿、套用。這樣的學(xué)習(xí)把危害說低了就是浪費(fèi)時間，把危害說高了，就是讓孩子誤解了數(shù)學(xué)，形成了錯誤的學(xué)習(xí)方法。

數(shù)學(xué)教學(xué)，我以為一定是要啟發(fā)孩子們思考的。題目可以少做，但是一定要讓孩子主動參與。孩子認(rèn)真思考，想出來一道題，比教十道題都有益處。我也會讓孩子有空時做點(diǎn)兒拔高難度的有意思的題，每次就一兩道，有時候他一道題就要做一小時，試了很多方法都沒成功。沒關(guān)系，這個試錯的過程本身就是有意義的（想想愛迪生發(fā)明燈泡）。我從來不告訴他答案，也從來沒給他講過題，當(dāng)他卡住實在進(jìn)行不下去的時候，我會給他一點(diǎn)啟發(fā)，提示他用某種方法試一試，但過程都要靠他自己去鉆研。

第三，課內(nèi)一定要扎實。

我最不喜歡貪多嚼不爛。課外的東西是學(xué)有余力再去學(xué)的，前提就是課內(nèi)基礎(chǔ)很扎實，如果課內(nèi)不扎實，就不要學(xué)課外。

課內(nèi)非常重要，學(xué)會了很多概念，公式、定理。小學(xué)的這些內(nèi)容還不算多，很容易記憶。到了中學(xué)公式就會越來越多，凡是死記硬背公式的，數(shù)學(xué)都學(xué)不了多好。公式記住，可以提升解題速度，但是必須要知道公式從何而來，要有推導(dǎo)出基本公式的能力。

比如孩子課內(nèi)學(xué)了長方形面積的計算公式，很簡單，就是長乘以寬。我問他，這個公式從何而來，你憑什么這么說？他就會把長方形劃分成小方格，每一個小方格都是一個單位，這樣就得出了面積計算公式。

課內(nèi)學(xué)的淺嘗輒止，危害是很大的。概念沒有理解深入（概念不是講一遍就理解了，要去體驗、嘗試），就去應(yīng)用，以為自己會了，其實到了復(fù)雜一點(diǎn)兒的應(yīng)用環(huán)境就會錯誤百出。

寫到這里已經(jīng)夠長了，關(guān)于孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本理念，就說到這兒。以后有機(jī)會，可以再舉一些具體例子，來說說我家兩個孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，他們性格不同、數(shù)學(xué)興趣以及數(shù)學(xué)能力都不相同，但今天談到的理念在他們身上都還比較適用。

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