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（2018·南京）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE．過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D、F，與AD相交于點(diǎn)G．

（1）求證：△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE=1，求⊙O的半徑．

【分析】（1）欲證明△AFG∽△DFC，只要證明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；

（2）首先證明CG是直徑，求出CG即可解決問(wèn)題；

【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，

∴∠CDF+∠ADF=90°，

∵AF⊥DE，

∴∠AFD=90°，

∴∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠DAF=∠CDF，

∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠FCD+∠DGF=180°，

∵∠FGA+∠DGF=180°，

∴∠FGA=∠FCD，

∴△AFG∽△DFC．

（2）解：如圖，連接CG．

∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，

∴△EDA∽△ADF，

∴EA:AF=DA:DF，即EA:DA=AF:DF，

∵△AFG∽△DFC，

∴AG:DC=AF:DF,

∴AF:DC=EA:DA，

在正方形ABCD中，DA=DC，

∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，

∴CG=5，

∵∠CDG=90°，

∴CG是⊙O的直徑，

∴⊙O的半徑為2.5．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．