歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。其中最著名的有，復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式，即將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉多面體公式。初等數(shù)論中的歐拉函數(shù)公式。歐拉公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律，它只適用于簡(jiǎn)單多面體。常用的歐拉公式有復(fù)數(shù)函數(shù)e^ix=cosx isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr ，物理學(xué)公式F=fe^ka等。
基本信息
中文名：歐拉公式
外文名：Eulers formula
應(yīng)用學(xué)科：數(shù)學(xué)
解釋：是指以歐拉命名的諸多公式之一
發(fā)現(xiàn)人：歐拉
基本介紹
(Euler公式)
在數(shù)學(xué)歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）發(fā)現(xiàn)的，它們都叫做歐拉公式，分散在各個(gè)數(shù)學(xué)分支之中。
公式介紹
復(fù)變函數(shù)
e^ix=cosx isinx，e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。
歐拉公式
e^ix=cosx isinx的證明：
因?yàn)閑^x=1 x/1！ x^2/2！ x^3/3! x^4/4! ……
cos x=1-x^2/2! x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3! x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的展開(kāi)式中把x換成±ix.
(±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 ……
e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?ix^3/3! x^4/4!……
=(1-x^2/2! ……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
將公式里的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix e^-ix)/2.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx isinx中的x取作π就得到：
恒等式
e^iπ 1=0.這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率π，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”
那么這個(gè)公式的證明就很簡(jiǎn)單了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。 那么這里的π就是x，那么
e^iπ=cosπ isinπ
=-1
那么e^iπ 1=0
這個(gè)公式實(shí)際上是前面公式的一個(gè)應(yīng)用。
分式
分式里的歐拉公式：
a＾r(nóng)/(a-b)(a-c) b＾r(nóng)/(b-c)(b-a) c＾r(nóng)/(c-a)(c-b)
當(dāng)r=0,1時(shí)式子的值為0
當(dāng)r=2時(shí)值為1
當(dāng)r=3時(shí)值為a b c三角公式
三角形中的歐拉公式：
設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則：
d＾2=R＾2-2Rr拓?fù)鋵W(xué)說(shuō)
拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式：
拓?fù)鋵W(xué)
V F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。
如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的歐拉示性數(shù)，是拓?fù)洳蛔兞?，就是無(wú)論再怎么經(jīng)過(guò)拓?fù)渥冃我膊粫?huì)改變的量，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。初等數(shù)論
歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個(gè)數(shù)。n是一個(gè)正整數(shù)。
歐拉證明了下面這個(gè)式子：
如果n的標(biāo)準(zhǔn)素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素?cái)?shù)，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。物理學(xué)
歐拉公式應(yīng)用
眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測(cè)算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數(shù)之間的關(guān)系?，F(xiàn)將歐拉這個(gè)頗有價(jià)值的公式列在這里：
F=fe^ka
其中，f表示我們施加的力，F(xiàn)表示與其對(duì)抗的力，e為自然對(duì)數(shù)的底，k表示繩與樁之間的摩擦系數(shù)，a表示纏繞轉(zhuǎn)角，即繩索纏繞形成的弧長(zhǎng)與弧半徑之比。
此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。
平面幾何
設(shè)△ABC的外心為O，內(nèi)心為I，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，又記外心、內(nèi)心的距離OI為d，則有
歐拉公式
（1）式稱為歐拉公式.
為了證明（1）式，我們現(xiàn)將它改成
歐拉公式
（2）式左邊是點(diǎn)I對(duì)于⊙O的冪：過(guò)圓內(nèi)任一點(diǎn)P的弦被P分成兩個(gè)部分，這兩個(gè)部分的乘積是一個(gè)定值，稱為P關(guān)于⊙O的冪。事實(shí)上，如圖3.21，如果將OI延長(zhǎng)交圓于E、F，那么
歐拉公式
因此，設(shè)AI交⊙O于M，則
歐拉公式
因此，只需證明
歐拉公式
或?qū)懗杀壤?/p>
歐拉公式
為了證明（5）式，應(yīng)當(dāng)尋找兩個(gè)相似的三角形。一個(gè)以長(zhǎng)IA、r為邊；另一個(gè)以長(zhǎng)2R、MI為邊。前一個(gè)不難找，圖3.21中的△IDA就是，D是內(nèi)切圓與AC的切點(diǎn)。后一個(gè)也必須是直角三角形，所以一邊是直徑ML，另一個(gè)頂點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)在圓上?！鱉BL就滿足要求。
容易證明
歐拉公式
歐拉公式
因此（5）式成立，從而（1）式成立。
歐拉公式
因?yàn)?/p>
，所以由歐拉公式得出一個(gè)副產(chǎn)品，即
歐拉公式
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