我們在三維空間中構造出一個表面積無窮大，但體積卻是有限的形狀。如下圖所示，可以看出這個形狀類似樂器——小號，又稱為加百利號角。
這個號角的怪異之處就在于：如果你想要向里面灌水去填滿它，這是可以做到的；但如果你想用油漆將其表面都刷一遍，那么不好意思，這個辦不到。因為理論上你需要無窮多的油漆才能刷滿它。
乍一聽，可能很多朋友都不相信，怎么可能有這種東西呢？但實際上當初提出這個設想的可是正正經經的科學家——埃萬杰利斯塔·托里拆利。沒錯就是我們中學時代，物理課上講的那個測量大氣壓的托里拆利。
其構思是在數學層面進行的，過程很簡單：我們設想將反比例函數y=1/x，其中沿x大于等于一的部分，繞著x軸旋轉一圈，就可以得到這么一個形狀，長的和小號很像。
這時候，托里拆利就想去計算這個小號的面積和體積是多少？值得注意的是，當時距離微積分的出現還有幾十年呢。因此托里拆利只能用當時數學中的卡瓦列利原理（這個卡瓦列利原理，實際上就是中國的祖暅原理，但祖暅原理要比其早了一千年），之后托里拆利得到這個小號的表面積無窮大，但體積卻是一個有限值。
這個結論讓人非常驚訝，因為從直觀上來講，一個物體在體積有限的情況，它的表面積竟然是無窮大的，難以想象它的存在。
沒錯，因為這個小號過于違背人們的直覺，以至于當時英國著名的哲學家托馬斯·霍布斯直呼：如果你想要從感官上去理解它，只有瘋子才能辦到！
當時的數學界也是議論紛紛，直到后來微積分出現后，人們利用微積分再次對其驗證，結果發(fā)現結論是正確的，確實是面積無窮大，體積有限，且體積值為Π。
圖中出現的就是利用微積分計算面積和體積的算式，可以看到用到的微積分知識都是相當基礎的。
實際上關于這個爭論，從客觀世界出發(fā)，并沒有多燒腦，因為數學圖像是理想模型，這個小號就是一個長度無限的曲面，毫無厚度可言，而且它根本不需要考慮微觀層面的物質構成。
就好比于，在數學上我們可以說一條線、一個面。但實際上，只有長度，卻沒有厚度和寬度的線；以及只有長度和寬度，卻沒有厚度的面，二者在客觀世界中我們根本造不出來。
因此這個小號也是造不出來的，所謂的悖論也只是存在于人們的直覺感受上而已。
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