數(shù)學(xué)研究的對(duì)象在一般的感覺(jué)里是比較抽象的, 雖然它也有很實(shí)際的一面。在數(shù)論探討的是數(shù),在數(shù)學(xué)里它是最古老的一支。但是, 它仍有許多沒(méi)有解決的難題。我今天的題目是Zeta 函數(shù)與超越不變量, 就涉及了一些這樣的問(wèn)題。
我們先從數(shù)開(kāi)始。所謂的數(shù), 在數(shù)學(xué)里是指自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù), 然后是實(shí)數(shù)。所以, 通常在中學(xué)的教科書里, 畫有一個(gè)數(shù)線,先描上原點(diǎn)O,然后向右等距畫出所有自然數(shù)的點(diǎn), 向左對(duì)稱地點(diǎn)出負(fù)整數(shù)點(diǎn)。再以等分點(diǎn)對(duì)應(yīng)有理數(shù)。最后所有的實(shí)數(shù)點(diǎn)就會(huì)填滿整條數(shù)線。
我們用N 代表所有自然數(shù)集合, Z 代表所有整數(shù)的集合, Q 代表所有有理數(shù)的集合, R 代表所有實(shí)數(shù)集合。其包含關(guān)系如下:
N ?Z ?Q ?R
數(shù)論里面的難題往往可以很簡(jiǎn)潔地描述。一個(gè)例子是所謂的費(fèi)瑪(Pierre de Fermat, 1601-1665) 問(wèn)題。方程式
Xn+ Y n= Zn, XY Z≠0, n > 2
沒(méi)有整數(shù)解。這個(gè)問(wèn)題經(jīng)過(guò)三個(gè)半世紀(jì), 終于在1994年被Princeton 大學(xué)的A.Wiles 教授證明出來(lái)。這個(gè)問(wèn)題的解決, 被認(rèn)為是本世紀(jì)在數(shù)學(xué)(至少是純數(shù)學(xué)) 里面最大的進(jìn)展。
數(shù)論的特質(zhì)之一就是你可以寫下很多這樣看起來(lái)很簡(jiǎn)單, 中學(xué)生都可以了解的問(wèn)題,解答起來(lái)卻是非常困難。對(duì)數(shù)論有興趣的人,往住會(huì)花很多的時(shí)間, 總其一生的精力, 試圖去證明或解決這樣的問(wèn)題。
實(shí)數(shù)里有一個(gè)很特別的數(shù),
π=3.14159265358979323846264338…。
它不是有理數(shù), 甚至不是任何整系數(shù)方程式的根, 這種數(shù)叫做超越數(shù)。π在小學(xué)數(shù)學(xué)里就開(kāi)始教了, 但是它其實(shí)是一個(gè)不容易的觀念。我們說(shuō)π是一個(gè)不變量, 不論你畫那一個(gè)圓, 圓周長(zhǎng)和直徑的比例是不變的, 這個(gè)比例就是π。如果你實(shí)際去算的話, 就會(huì)一直不斷地寫下小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字來(lái)。然后你就會(huì)發(fā)現(xiàn), 這些數(shù)目字其實(shí)是非常非常不規(guī)則。
小學(xué)生碰到π的時(shí)候, 通常有一個(gè)疑惑, 就是π到底是多少。你如果只寫下有限個(gè)位數(shù),其實(shí)并不正確。正確的方式是要一直寫下去,小數(shù)點(diǎn)右邊不能停下來(lái)。寫得愈多位數(shù)就愈接近真正的π。既然這些小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)目字出現(xiàn)得雜亂無(wú)章, 這樣子的一個(gè)數(shù), 你怎么去了解它呢?
所謂π是超越數(shù)的意思是說(shuō), 它不滿足任何一個(gè)代數(shù)方程式:
a0+a1π+…+anπn= 0, 其中ai是整數(shù)。
這是Lindemann 在1882年證明的事。當(dāng)時(shí)證明了這個(gè)定理被認(rèn)為是十九世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)成就之一。
我們?yōu)槭裁匆プC明「π不會(huì)是任何一個(gè)整系數(shù)代數(shù)方程式的根」這樣的事呢?假如它滿足了某一個(gè)代數(shù)方程式, 找到這個(gè)方程式就能夠提供我們有關(guān)它的重要的信息,要了解它就容易多了。所以為了要真正了解這一個(gè)很實(shí)際的數(shù), 就必須先確定它是否滿足某代數(shù)方程式。如果一個(gè)數(shù)滿足某個(gè)整系數(shù)代數(shù)方程式, 就稱為代數(shù)數(shù)。否則就稱之為超越數(shù)。但是在數(shù)學(xué)上不能因?yàn)槟阏也坏竭@樣一個(gè)方程式就說(shuō)它沒(méi)有。因?yàn)榭赡苁怯卸氵€沒(méi)找到。所以唯一能夠說(shuō)它沒(méi)有的方式,就是你必須去證明。真正從邏輯上去證明,π不滿足任何代數(shù)方程式。這是很困難的事, 是數(shù)學(xué)家經(jīng)歷了兩百年才證明出來(lái)的一件事情。
一個(gè)有理數(shù)如果以十進(jìn)制數(shù)展開(kāi), 寫出的數(shù)目字就會(huì)相當(dāng)規(guī)則。也許某位數(shù)以后都是0, 也就是只有有限的位數(shù)。不然的話, 它所出現(xiàn)的數(shù)目字就會(huì)是循環(huán)的, 也就是說(shuō)往小數(shù)點(diǎn)右方繼續(xù)展開(kāi)下去會(huì)有周期的現(xiàn)象。π是一個(gè)超越數(shù), 就表示在它的小數(shù)展開(kāi)里, 數(shù)目字出現(xiàn)得相當(dāng)復(fù)雜、相當(dāng)不規(guī)則。一個(gè)基本的問(wèn)題是: 我們?nèi)绾握莆栈蛎枋鲆粋€(gè)數(shù)的「復(fù)雜程度」。這個(gè)問(wèn)題到今天還沒(méi)有完全解決。我們?nèi)匀粵](méi)有一個(gè)滿意的方法, 把所有的數(shù)按復(fù)雜程度去分類。像π這個(gè)數(shù), 它不滿足任何代數(shù)方程式, 你只能一步一步的去接近它, 近似它。這其實(shí)已經(jīng)不是容易的事了。
1950 年代計(jì)算機(jī)剛誕生在Princeton 時(shí), 數(shù)學(xué)家就用計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算π, 可以近似到小數(shù)點(diǎn)之后兩仟位?，F(xiàn)在用最新的超級(jí)計(jì)算機(jī), 可以算到幾十億位。從兩仟位到幾十億位, 這中間不只是計(jì)算機(jī)硬件的進(jìn)步, 計(jì)算方法更有大幅的改進(jìn)。計(jì)算方法的改進(jìn)就是數(shù)學(xué), 也就是說(shuō)你必須找到更好的數(shù)學(xué)方法去作數(shù)值近似。從古希臘、祖沖之、牛頓到現(xiàn)代, 數(shù)學(xué)家仍持續(xù)不斷的在找尋更好的數(shù)學(xué)方法去近似π。
從π再回到最基本的數(shù): 整數(shù)。在整數(shù)中間作除法, 就引進(jìn)了有理數(shù)。令Q 是所有的有理數(shù)所成的集合, 在這集合里就可以做加、減、乘、除四則運(yùn)算。這樣的一個(gè)結(jié)構(gòu),我們叫做域。所有實(shí)數(shù)R 也構(gòu)成一個(gè)體, 比Q 更大的域。復(fù)數(shù)C 又構(gòu)成一個(gè)更大的域。
為了要深入探討像Q 這樣一個(gè)域, 數(shù)學(xué)家引進(jìn)了特別的工具來(lái)輔助研究。Zeta函數(shù)就是這樣的一種工具
ζ(s) =∑∞n=1(1/ns) , Re(s) > 1.
這是上世紀(jì)中Riemann 所寫下的Riemann Zeta 函數(shù), 是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)。其中s表示一個(gè)復(fù)數(shù)變量, 在復(fù)數(shù)平面上跑, 原先的數(shù)軸是復(fù)數(shù)平面上的x-軸, y-軸表示虛數(shù)軸,其上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)所謂的純虛數(shù)。這個(gè)Zeta 函數(shù)級(jí)數(shù)里的每一項(xiàng)是1/ns的形式, n 是正整數(shù)。
引進(jìn)這種特殊的函數(shù), 似乎是很唐突的事, 不知從何處冒出來(lái), 但是這一步對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展卻是相當(dāng)關(guān)鍵的。在Riemann之前, 已經(jīng)有很多跡象出現(xiàn)。早他一百年,Euler 就發(fā)現(xiàn)了以下的公式, 對(duì)于偶數(shù)m
ζ(m) =∑∞n=0(1/nm) =（?(2π√?1)m/2m!）Bm
把偶數(shù)m 代進(jìn)s, 就是Zeta 函數(shù)在m 的取值, 左邊的Bm 是一個(gè)有理數(shù)的數(shù)列, 稱為Bernoulli 數(shù), 它們可以很容易的從指數(shù)函數(shù)ez的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)算出來(lái):
z/(ez? 1)=∑∞m=0Bm(zm/m!)
B0 = 1,B1 = ?1/2,B2 = 1/6,B3 = 0,B4 = 1/30,B5 = 0,…
Euler發(fā)現(xiàn)的這個(gè)公式到底有什么意思呢? 首先, 這個(gè)式子是出人意之外的, Zeta函數(shù)和超越不變量π分別出現(xiàn)在等式的兩邊。π原來(lái)是從圓周長(zhǎng)來(lái)的, 因而表示圓和Zeta 函數(shù)是有關(guān)聯(lián)的, 也表示指數(shù)函數(shù)和Zeta 函數(shù)是有關(guān)聯(lián)的。π在數(shù)學(xué)里之所以非常重要, 就是因?yàn)樗鼤?huì)在許多令人意外的關(guān)鍵場(chǎng)合很漂亮地出現(xiàn)。Euler這個(gè)式子背后其實(shí)隱藏著許多豐富的現(xiàn)象。
由Euler 的公式我們知道ζ(2) 是π2乘上一個(gè)特別的有理數(shù), ζ(4) 是π4 乘上一特別的有理數(shù), 等等。因此我們完全清楚了ζ(2),ζ(4),…, 因?yàn)棣惺浅綌?shù), 這些函數(shù)值當(dāng)然也是超越數(shù)。
如果令變量s 趨近于1,ζ(s) 的值會(huì)趨近無(wú)窮大, 但是只要復(fù)數(shù)s 的實(shí)部大于1, 級(jí)數(shù)和都會(huì)收斂, 除了2, 4, 6,…等偶數(shù)點(diǎn)的取值, 當(dāng)然也可以讓Zeta 函數(shù)在3, 5, 7, …等大于1 的奇數(shù)上取值, 可是這就發(fā)生問(wèn)題了, 不僅Euler 不知道ζ(3), ζ(5), …, 直到今天我們?nèi)匀粠缀跏裁炊疾恢?。唯一知道的事?978年法國(guó)數(shù)學(xué)家R. Apery 證明出ζ(3) 不是有理數(shù)。連ζ(5) 是不是有理數(shù)都還不知道。
Apery 能夠證明ζ(3) 不是有理數(shù)是因
為他得到另一個(gè)算式
等式中間的級(jí)數(shù)及右邊的級(jí)數(shù)各給了一個(gè)方式去近似ζ(3), 所不同的是以右邊的級(jí)數(shù)去近似速度上會(huì)快很多。能夠多快的去逼近一個(gè)實(shí)數(shù)是一個(gè)關(guān)鍵, 涉及了一個(gè)基本現(xiàn)象:如果能寫下一個(gè)數(shù)列“不太慢”的去近似一個(gè)數(shù)而不碰到那個(gè)數(shù), 那個(gè)數(shù)就必然不是有理數(shù)。原來(lái)用來(lái)定義ζ(m) 的級(jí)數(shù), 缺點(diǎn)就是收斂的太慢, 取近似值時(shí)速度也太慢。當(dāng)初Euler 研究他的公式就是先去作數(shù)值計(jì)算ζ(2), ζ(4), …, 他發(fā)現(xiàn)級(jí)數(shù)走得太慢, 因此想找出更好的線索。經(jīng)過(guò)幾年努力他猜到了公式, 然后又經(jīng)過(guò)十余年才證明出他的公式。
對(duì)于一個(gè)我們有興趣的數(shù), 像π, 很重要的問(wèn)題是能找到多快的方法去近似它。前面談過(guò)近幾十年來(lái)π的近似值計(jì)算, 所以能算出幾十億位除了計(jì)算機(jī)進(jìn)步外, 就是因?yàn)閿?shù)學(xué)家還一直在努力找更好更快的方法去近似π。
這里所涉及的深?yuàn)W數(shù)學(xué), 不只關(guān)系到一個(gè)數(shù)是否是有理數(shù), 也關(guān)系到一個(gè)數(shù)是否是超越數(shù)。早在上世紀(jì)Liouville 就已發(fā)現(xiàn), 如果我們能夠足夠快的去近似一個(gè)數(shù)而不碰到那個(gè)數(shù), 則那個(gè)數(shù)就應(yīng)該是超越數(shù)。問(wèn)題是這兒所謂速度足夠快到底要多快, 須要精確的研究。
速度是跟用以近似的有理數(shù)的分母以及誤差相關(guān)。這個(gè)問(wèn)題經(jīng)過(guò)百年研究到1956年倫敦大學(xué)的Roth 才完全解決。他的工作隨后就獲得了國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)的Fields 獎(jiǎng)。
如同自然界的許多現(xiàn)象, 數(shù)學(xué)現(xiàn)象往往也可以推得很廣, 可以有很多的變化, 并以很多不的形式呈現(xiàn)。與上述求近似值類似的一個(gè)現(xiàn)象是去考慮空間。數(shù)與空間都是數(shù)學(xué)里研究的基本對(duì)象。周煒良院士有一個(gè)很有名的定理, 是說(shuō)在復(fù)數(shù)射影空間里, 解析子空間一定也是代數(shù)子空間。代數(shù)子空間就好比是代數(shù)數(shù), 是可以由一組多項(xiàng)式來(lái)描述的。解析子空間就像是實(shí)數(shù), 放在射影空間中受到了限制, 就必須是代數(shù)子空間。
根據(jù)陳省身院士的說(shuō)法, 周院士的這個(gè)定理,當(dāng)初部分的靈感就是來(lái)自「有理數(shù)逼近實(shí)數(shù)時(shí), 如果速度受限, 能被逼近的數(shù)就必須是代數(shù)數(shù)這個(gè)事實(shí)」。陳院士與周院士年輕時(shí)曾經(jīng)一起在德國(guó)做研究, 知曉這個(gè)周定理與數(shù)論中有理數(shù)近似代數(shù)數(shù)的關(guān)聯(lián)典故。陳院士在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)紀(jì)念周院士的文章里, 還特別寫出了這個(gè)故事。
再回到Zeta 函數(shù)。我們可以把Rimann Zeta 函數(shù)看成定義在復(fù)數(shù)平面上的解析函數(shù)。原本的定義級(jí)數(shù)只有在s 的實(shí)部大于1才收斂, 但是借著所謂解析延拓, 我們可以讓它生長(zhǎng)在整個(gè)復(fù)數(shù)平面上。然后, 這個(gè)函數(shù)就會(huì)有一種對(duì)稱性, 并滿足一個(gè)函數(shù)方程式。
Λ(s) =π?s/2Γ(s/2)ζ(s),
Λ(s) =Λ(1 ? s).
這里對(duì)稱性是說(shuō)函數(shù)Λ(s) 在s 與1-s 的取值完全一樣。在實(shí)數(shù)s = 1/2 作垂線, 把復(fù)數(shù)平面分為兩半,則Λ(s) 在左右兩個(gè)半平面是完全對(duì)稱的?；氐絑eta 函數(shù), 這個(gè)對(duì)稱性告訴了我們Zeta 函數(shù)在負(fù)整數(shù)點(diǎn)的取值。在負(fù)偶數(shù), Zeta 函數(shù)值是0; 在負(fù)奇數(shù)Zeta 函數(shù)的取值是把Euler 公式中π的乘冪扔掉后所剩下的有理數(shù)。
由于Zeta 函數(shù)很對(duì)稱, 它的零根也應(yīng)是對(duì)稱的。這個(gè)對(duì)稱性就產(chǎn)生了一個(gè)數(shù)學(xué)上最重要的問(wèn)題, Riemann猜想: Zeta 函數(shù)所有的零根, 除了負(fù)偶數(shù)外, 都正好落在實(shí)部等于1/2 的x-軸垂直線上。這個(gè)Riemann猜想可以導(dǎo)出很多有用的結(jié)果, 從有關(guān)質(zhì)數(shù)的分布到理論計(jì)算器科學(xué)上的重要結(jié)果。很多數(shù)學(xué)家甚至認(rèn)為, 繼Fermat 問(wèn)題解決之后, Riemann 猜想是廿一世紀(jì)數(shù)學(xué)研究致力的最大目標(biāo)。
RiemannZeta 函數(shù)既然是很重要而牽連甚廣的函數(shù), 與它性質(zhì)相近的函數(shù)當(dāng)然也是很有意思的。于是數(shù)學(xué)家考慮廣義的Zeta函數(shù), 這些函數(shù)都生長(zhǎng)在復(fù)數(shù)平面上, 都有對(duì)稱性而滿足適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)方程式。對(duì)每一個(gè)這種Zeta 函數(shù)也都可以作Riemann 猜想, 而它們?cè)谡麛?shù)點(diǎn)的取值也應(yīng)該都是很微妙的不變量。雖然對(duì)任何一個(gè)這種Zeta 函數(shù)我們并沒(méi)有更多知識(shí), 但是考慮這些函數(shù)仍然可以發(fā)揮很大的作用。Wiles 解決Fermat 問(wèn)題時(shí)就用到廣義的Zeta 函數(shù)。
解決Fermat 問(wèn)題, 要用反證法: 假定有解, 然后找出矛盾。首先假定有非零整數(shù)a, b, c 使
al+ bl= cl
其中l(wèi) 是固定奇質(zhì)數(shù)。依Frey 的建議, 再考慮方程式
y2= x(x ? al)(x + bl)
對(duì)任何與abc 互質(zhì)的質(zhì)數(shù)p, 考慮二元同余方程式
y2= x(x ? al)(x + bl) (mod p)
解出同余解的個(gè)數(shù)為p ? ap。然后從數(shù)列{ap}p依一定方式擴(kuò)充到一個(gè)數(shù)列{an}∞n=1,再作函數(shù)
Sabc(s) =∑∞n=1an/ns
這個(gè)Zeta 函數(shù)也有一種對(duì)稱性,它滿足函數(shù)方程式:
Λ(s) =(√N(yùn)/2π)sΓ(s)Sabc(s),
Λ(s) = ±Λ(2 ? s),
其中N 是一個(gè)與a, b, c 有關(guān)的正整數(shù)。從這個(gè)Sabc(s), 根據(jù)Ribet 的理論, 可以跳到另一個(gè)Zeta 函數(shù), 滿足同型的函數(shù)方程式。
但是N 可以降下來(lái), 一直到降到2為止。然后從這種復(fù)變函數(shù)理論里, 可以導(dǎo)出滿足上述方程式的這種Zeta 函數(shù)只有零函數(shù)。因此這種函數(shù)不可能存在。因而, 一開(kāi)始始作俑者的Fermat 方程式整數(shù)解a, b, c 必定原來(lái)就是不能存在的!
Zeta 函數(shù)ζabc(s) 在這兒是作為一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的工具。有點(diǎn)像在中學(xué)幾何里面畫參考線, 要走很遠(yuǎn)的路, 寫很長(zhǎng)的論文, 證明很多細(xì)節(jié), 最后才導(dǎo)出矛盾。
有另外一種Zeta函數(shù), 來(lái)自所謂的有限域。域是一個(gè)集合, 對(duì)里面的元素你可以做加、減、乘、除。這個(gè)集合可以只有有限個(gè)元素,就叫做有限域。一個(gè)有限域的元素個(gè)數(shù)一定是一個(gè)質(zhì)數(shù)p 的乘冪q。這個(gè)時(shí)候, 這個(gè)域就是所謂的特征p 的域,里面任何一個(gè)元素把它自己加了p 次以后就變成零了。也就是說(shuō), 在它的世界里面你是走不遠(yuǎn)的, 你走了p 步就一定走回原點(diǎn)。這樣的一個(gè)世界雖然怪, 其實(shí)是有用的。在現(xiàn)代理論計(jì)算器科學(xué)里面, 很多地方就是可以用到有限域, 例如涉及網(wǎng)絡(luò)安全的密碼學(xué)。
一個(gè)有限域只是一個(gè)有限的集合, 看起來(lái)很簡(jiǎn)單。我們把這個(gè)域的元素來(lái)做系數(shù), 然后再加上一個(gè)變?cè)猼。這樣以加、減、乘運(yùn)算得到集合稱為多項(xiàng)式環(huán)A = Fq[t]。里面的元素就是多項(xiàng)式, 系數(shù)在有限體里:
∑ni=0citi, i ∈Fq。這樣子寫多項(xiàng)式的時(shí)候,可以把它看成像整數(shù)的十進(jìn)制展開(kāi), 系數(shù)就是一種digits。這些多項(xiàng)式運(yùn)算起來(lái)就像原來(lái)的整數(shù), 雖然走了p 步就一定走回原點(diǎn)。在原來(lái)的數(shù)的世界里面, 當(dāng)然沒(méi)有這樣的性質(zhì)。
可是另外一方面, 它的加乘等很多性質(zhì)是跟整數(shù)很像的。所以這些多項(xiàng)式其實(shí)是一種不同世界里的整數(shù)。
從整數(shù)做除法可以得到分?jǐn)?shù)。從多項(xiàng)式做除法也可以得到有理式, 或叫它有理函數(shù)。這些有理函數(shù)所成集合可以做加減乘除, 因此構(gòu)成一個(gè)域, 就是所謂的函數(shù)體K =Fq(t), 相當(dāng)于原來(lái)的有理數(shù)域。我們把有理數(shù)域放到實(shí)數(shù)域里填充成一條數(shù)線, 在這里也可以把函數(shù)域放入一條函數(shù)線。當(dāng)然這里的線已經(jīng)不是通常的直線。它的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是一種冪級(jí)數(shù), 以1/t為變?cè)膬缂?jí)數(shù)。寫成
cntn+…+c0+c?1/t+c?2/t2+…, ci∈Fq。
它的左半邊為多項(xiàng)式, i 走到某個(gè)n 為止, 右半邊的級(jí)數(shù), i 從?1,?2,?3,?4,…, 可以一直走下去。這個(gè)無(wú)窮系數(shù)序列ci, 就像一個(gè)實(shí)數(shù)的無(wú)窮多個(gè)digits。所有這些冪級(jí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)域Fq(( 1/t ))。
在九十年前, 美國(guó)Carlitz 引進(jìn)了下面的zeta 函數(shù), 對(duì)正整數(shù)m:
ζc(m) =∑a∈A a monic 1/am∈Fq((1/t))
如同作Riemann Zeta 函數(shù), 把多項(xiàng)式當(dāng)成整數(shù), 然后把它倒過(guò)來(lái)取它的乘冪。原來(lái)祇取正整數(shù)做, 現(xiàn)在就取那些首項(xiàng)系數(shù)是1的多項(xiàng)式來(lái)做級(jí)數(shù)的項(xiàng)。整個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)加起來(lái)之后,它的極限值仍然會(huì)在體Fq((1/t)) 里。
這些值ζc(m)是很有意思的。Carlitz發(fā)現(xiàn)了以下的現(xiàn)象: 當(dāng)m 是q?1 的倍數(shù)的時(shí)候, 可以得到一個(gè)公式, 很像Euler 原來(lái)對(duì)Riemann Zeta 函數(shù)所得到的公式
ζc(m)=π~mB~m/Γm+1
其中Γm 是多項(xiàng)式的階乘, 定義是先定D0=1,Di= (t^qi? t^qi?1)…(t^qi? t) 若i ≥ 1,然后寫下m 的q 進(jìn)位展開(kāi)∑∞i=0miqi, 再定Γm+1 =∏∞i=0Dimi。Bernoulli-Carlitz數(shù)B~m 是有理函數(shù)的序列, 它的定義是從Taylor 展開(kāi)式得來(lái):
z/expc(z)=∑∞n=0B~n（zn/Γn+1)
其中expc(z)是Carlitz 指數(shù)函數(shù)expc(z) =∑∞i=0Zqi /Di。這個(gè)Carlitz 指數(shù)函數(shù)也是一種周期函數(shù),π~就是它的基本的期, 是一個(gè)像圓周率乘上2√?1 那樣的不變量。
公式里有一個(gè)π~、有理函數(shù)B~m、以及階乘多項(xiàng)式Γm+1。在原來(lái)Euler 的公式里面, m 必須是偶數(shù), 因?yàn)檎麛?shù)里面只有兩種符號(hào)(sign):+1,?1。在有限域Fq 的世界里面卻有q ? 1 種符號(hào), 有限域里每一個(gè)非零元素都對(duì)應(yīng)一個(gè)符號(hào)。公式要成立m 就必須是符號(hào)個(gè)數(shù)的倍數(shù)。所以在Euler 的公式里m 是2的倍數(shù), 而在Carlitz 的公式里m 是q ? 1 的倍數(shù)。
就像圓周率π, π~也應(yīng)是所謂的超越數(shù)。也就是說(shuō), 它不會(huì)滿足任何一個(gè)多項(xiàng)方程式:
a0+ a0π~+…+ anπ~n= 0
方程式的系數(shù)ai 是在多項(xiàng)式環(huán)A 里。因?yàn)檫@里的A, 就扮演了原來(lái)的整數(shù)集合的角色。
π~的超越性是Carlitz 的學(xué)生Wade 證明的。把π~除以tq?t 的q ?1 次根就得到一個(gè)Fq(( 1/t )) 里的超越數(shù)。這里的超越數(shù)表面上看起來(lái)夠奇怪。但是從另一角度來(lái)看, 卻有更好的性質(zhì)。
五十年前, 法國(guó)數(shù)學(xué)家Christol-Cobham 發(fā)現(xiàn): 在Fq(( 1/t ))這個(gè)世界里面, 數(shù)的復(fù)雜性可以有比較好的描述。譬如:
cntn+…+c0+c?1/t+c?2/t2+…, ci∈Fq,
它是否滿足代數(shù)方程式的充要條件正好是看系數(shù)序列ci 是不是可以由一個(gè)有限Automata 來(lái)辨識(shí)。有限Automata 其實(shí)就是最簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī), 只有有限個(gè)state。前面說(shuō)過(guò)到今天我們?nèi)匀粵](méi)有一個(gè)滿意的方法, 把通常的數(shù)按復(fù)雜程度去分類。但是對(duì)Fq(( 1/t ))里的數(shù)的復(fù)雜程度, 卻可以翻譯成計(jì)算機(jī)科學(xué)的話去描述。計(jì)算機(jī)科學(xué)中不同的計(jì)算復(fù)雜階層, 從有限Automata 到Turing machine正好可以用來(lái)呈現(xiàn)Fq(( 1/t ))里的數(shù)的復(fù)雜程度。
回到我們研究的問(wèn)題上。對(duì)于Carlitz的這些zeta 值ζC(m), 我們想要了解。這里有一個(gè)特別有意思的現(xiàn)象, q 可以是任何質(zhì)數(shù)的乘冪, 最小可以是2。當(dāng)q 是2的時(shí)候,q ?1 就是1。因而Fq(( 1/t ))的世界是一個(gè)沒(méi)有sign 的世界。每一個(gè)數(shù)乘上?1 都是自己, ?1 等于1。在這個(gè)沒(méi)有sign 的世界, 就有一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論, 任何整數(shù)都是q ? 1 的倍數(shù)。于是Carlitz 公式清楚的告訴了我們所有的ζC(m)。一般情形下q 不是2, 當(dāng)m不是q?1 的倍數(shù)的時(shí)候, 我們?nèi)匀挥信d趣這些zeta 值。就像原來(lái)古典數(shù)論里Euler 的問(wèn)題, 要了解ζ(3), ζ(5), …。
在1991年, Anderson-Thakur解決了上述的的問(wèn)題。對(duì)于任意q 我們都得到ζC(m) 的完整了解。這里m 只要是正整數(shù), 即使m 不是q?1 的倍數(shù), 我們也能清楚的知道ζC(m), 并且證明它是超越數(shù)。不只是如此, 我們更知道, 在m 不是q?1 的倍數(shù)的時(shí)候, ζC(m) 和π~m之間的比例一定也是超越數(shù)。這是一個(gè)出乎意料之外的進(jìn)展。在Fq(( 1/t )) 這個(gè)比較怪的世界里面, Euler的問(wèn)題竟然完全解決了。這是三百年來(lái)古典數(shù)論想做而不能夠做到的事情。很多數(shù)學(xué)家曾經(jīng)
問(wèn)過(guò)以下的問(wèn)題: 當(dāng)m 是奇數(shù)時(shí),ζ(m) 和πm 之間的比例是否是有理數(shù)? 因?yàn)楫?dāng)m 是偶數(shù)時(shí)Euler 的公式說(shuō)ζ(m) 和πm之間的比例確是有理數(shù)。我們得到的結(jié)果顯示答案可能是否定的。不僅ζ(m) 和πm之間的比例不應(yīng)該是有理數(shù), 它甚至不可能是代數(shù)數(shù)。當(dāng)然, 我們的證明是在一個(gè)不同的世界, 對(duì)不同種的zeta 值。因此邏輯上并沒(méi)有回答上面的問(wèn)題, 只是給了一點(diǎn)啟示。也就是說(shuō), 合理的猜想應(yīng)是: Riemann Zeta 函數(shù)在整數(shù)點(diǎn)的取值會(huì)產(chǎn)生無(wú)窮多個(gè)超越不變量。π是里面最簡(jiǎn)單的一個(gè), 其它ζ(3), ζ(5),…, 會(huì)得到一串無(wú)窮多個(gè)代數(shù)上不相關(guān)的超越不變量。
有一次在Princeton, Fields 獎(jiǎng)得主Bombieri 與Deligne談起這個(gè)Zeta函數(shù)值的工作。他們認(rèn)為: 證明當(dāng)m 是奇數(shù)時(shí)ζC(m) 和π~m之間的比例也是超越數(shù), 是極漂亮的事。這兩個(gè)值本應(yīng)該是沒(méi)有關(guān)系的,但是在過(guò)去, 沒(méi)有人能舉出任何道理來(lái)說(shuō)明它們沒(méi)有關(guān)系。我們所做的工作, 讓他們可以完全相信這個(gè)Riemann Zeta 函數(shù)值的問(wèn)題有朝一日也可以解決。
π來(lái)自于圓。π~也來(lái)自一種對(duì)稱結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)里, 對(duì)稱結(jié)構(gòu)其實(shí)是有一個(gè)群在作用。例如圓, 你可以讓整數(shù)加法群作用, 也就是說(shuō), 圓可以轉(zhuǎn)整數(shù)倍的角度。因此, 把這個(gè)觀念推廣就可以以所謂的交換代數(shù)群來(lái)取代圓的觀念。從這幾句話, 數(shù)學(xué)家大概用了百年的時(shí)間去發(fā)展。現(xiàn)代的高等數(shù)論的核心就在這里。我們可以想象π~來(lái)自于函數(shù)域的圓,是不同世界里另一種圓。這種圓上不是整數(shù)在作用, 而是多項(xiàng)式在作用。從古典的圓推廣到多項(xiàng)式在作用的對(duì)稱結(jié)構(gòu)更是走了一大步,經(jīng)過(guò)Carlitz 引進(jìn)Carlitz 模到Drinfield在六十多年前所發(fā)展出的Drinfield 模理論。這一大步對(duì)于數(shù)論以及算術(shù)幾何有很大的影響, 因此Drinfield 也是Fields 獎(jiǎng)得主。
要去證明π或π~是超越數(shù), 對(duì)稱結(jié)構(gòu)扮演相當(dāng)關(guān)鍵的角色。所謂指數(shù)函數(shù), 就是用來(lái)參數(shù)化圓或Carlitz 模的函數(shù), 它們可以把整數(shù)或多項(xiàng)式的非線性作用轉(zhuǎn)化為線性作用。指數(shù)函數(shù)總是周期函數(shù), 2π√?1 或π~就是它們的基本周期。我們能證明π或π~是超越數(shù), 也就是因?yàn)樗鼈兪怯欣韺?duì)稱結(jié)構(gòu)的周期。
為什么能證明當(dāng)m 是奇數(shù)時(shí)ζC(m) 和π~m之間的比例也是超越數(shù), 則是因?yàn)樗鼈兪遣煌挠欣韺?duì)稱結(jié)構(gòu)的周期。這里的一個(gè)靈感來(lái)自Hilbert 第七問(wèn)題。
在1900 年的時(shí)候, 德國(guó)領(lǐng)導(dǎo)數(shù)學(xué)家Hilbert 在世界數(shù)學(xué)大會(huì)上曾經(jīng)給了一個(gè)演講, 列出了二十三個(gè)二十世紀(jì)的主要數(shù)學(xué)問(wèn)題。其中第七問(wèn)題是說(shuō): 如果a≠ 0, 1 與b 都是代數(shù)數(shù), 而b 不是有理數(shù), ab是否是超越數(shù)? 這個(gè)當(dāng)時(shí)被認(rèn)為極困難的問(wèn)題, 在1934年的時(shí)候就被俄國(guó)Gelfond 證明了。他發(fā)現(xiàn): 任何兩個(gè)代數(shù)數(shù)的對(duì)數(shù), 如果他們的比例不是有理數(shù), 就必須是超越數(shù)。這些比例不可能是非有理的代數(shù)數(shù)。譬如說(shuō), 它不可能是√2,√3,…, 不可能滿足任何代數(shù)方程式而不是有理數(shù)。它祇能滿足一次的方程式, 或者任何代數(shù)方程式都不滿足。在30年代很多人就猜想這個(gè)基本的現(xiàn)象可以推廣到不只是兩個(gè)對(duì)數(shù), 而是任意有限個(gè)代數(shù)數(shù)的對(duì)數(shù)。從這個(gè)猜想可以導(dǎo)出很多的重要結(jié)果。因此1966年Baker 解決它之后就得到Fields 獎(jiǎng)。
這個(gè)有關(guān)代數(shù)數(shù)對(duì)數(shù)的重要基本現(xiàn)象,即使走到有限體上函數(shù)域的不同世界仍然存在。布于函數(shù)域的對(duì)稱結(jié)構(gòu)Drinfield 模有它的指數(shù)函數(shù), 也有它的對(duì)數(shù)函數(shù), 包括高維的對(duì)數(shù)向量。周期則可以看成廣義的代數(shù)數(shù)對(duì)數(shù)。這中間, 雖然表面上看起來(lái)是完全不同的世界, 但是追根究底到了關(guān)鍵的地方, 是有異曲同工之妙。Anderson-Thakur 證明了ζC(m) 是某種m 維Drinfield 模上代數(shù)向量的對(duì)數(shù)。當(dāng)m 是奇數(shù)時(shí),ζC(m) 和π~m之間的比例不是有理函數(shù),所以它是超越數(shù)。在古典數(shù)的世界里, 我們猜想Riemann Zeta 函數(shù)值
ζ(m) 和πm 也是某種對(duì)稱結(jié)構(gòu)的代數(shù)向量的對(duì)數(shù), 這種對(duì)稱結(jié)構(gòu)稱為Motives?？墒且?yàn)榱私獠粔? 目前無(wú)法證明任何事。
一旦走進(jìn)函數(shù)域的世界, 就可以做相當(dāng)多事情。我只能舉出其中一小部份。在函數(shù)域的世界, 不只是可以從直線的有理函數(shù)域出發(fā), 其實(shí)還可以從任意曲線的函數(shù)域出發(fā)。所以我們可以有一整套全新的現(xiàn)象衍生出來(lái)。
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來(lái)源 | 數(shù)哲三叔
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