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1．曲線與方程的定義
一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。
2．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟
考點(diǎn)一、直接法求軌跡方程
例1已知△ABC的頂點(diǎn)B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|＝3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)_______.
[答案] (1) A (2) (2，2)
[解析] 設(shè)A(x，y)，由題意可知Dx2，y2.
又∵|CD|＝3，∴x2－52＋y22＝9，即(x－10)2＋y2＝36，
由于A，B，C三點(diǎn)不共線，∴點(diǎn)A不能落在x軸上，即y≠0，
∴點(diǎn)A的軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0).
[類題通法]
直接法求軌跡方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性。
通常將步驟簡(jiǎn)記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性。
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1，1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)且直線AP與BP的斜率之積等于－13，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______________．
[答案] x2＋3y2＝4(x≠±1)
[解析]
因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(－1，1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－1)．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
由題意得y－1x＋1·y＋1x－1＝－13，化簡(jiǎn)得x2＋3y2＝4(x≠±1)，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1)
考點(diǎn)二、相關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程
例2設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且MN―→＝2MP―→，PM―→⊥PF―→，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程[解析] 設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，考點(diǎn)三、定義法求軌跡方程
例3已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程
[解析]
由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；
圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.
設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.
因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2
由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為 x24＋y23＝1(x≠－2)
【變式1】將本例的條件“動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動(dòng)圓P與圓M、圓N都外切”，求圓心P的軌跡方程
[解析]
由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；
圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.
設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R，
因?yàn)閳AP與圓M，N都外切，
所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，
即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2
所以點(diǎn)P的軌跡方程為y＝0(x<－2)
【變式2】把本例中圓M的方程換為：(x＋3)2＋y2＝1，圓N的方程換為：(x－3)2＋y2＝1，求圓心P的軌跡方程
[解析]
由已知條件可知圓M和N外離，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，
故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，
由雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支
其方程為x2－y28＝1(x>1)
【變式3】在本例中，若動(dòng)圓P過(guò)圓N的圓心，并且與直線x＝－1相切，求圓心P的軌跡方程
[解析]
由于點(diǎn)P到定點(diǎn)N(1，0)和定直線x＝－1的距離相等，
所以根據(jù)拋物線的定義可知，
點(diǎn)P的軌跡是以N(1，0)為焦點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸、開(kāi)口向右的拋物線，
故其方程為y2＝4x
[類題通法]
應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E
(1)證明|EA|＋|EB|為定值；
(2)求點(diǎn)E的軌跡方程，并求它的離心率
[解析]
(1)證明：因?yàn)閨AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4
(2)由圓A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)，
因此|AB|＝2，則|EA|＋|EB|＝4>|AB|
由橢圓定義，知點(diǎn)E的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(不含與x軸的交點(diǎn))
所以a＝2，c＝1，則b2＝a2－c3＝3
所以點(diǎn)E的軌跡方程為x24＋y23＝1(y≠0)
故曲線方程的離心率e＝ca＝12
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