初中數(shù)學(xué) | 幾何巧畫輔助線秘籍

2016.12.18

小簡(jiǎn)

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基本圖形的輔助線的畫法

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三角形問題添加輔助線方法

（1）有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。

（2）含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問題。

（3）結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。

（4）結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2

平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：

（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線；

（2）過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形；

（3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線；

（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形；

（5）過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。

3

梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

（1）在梯形內(nèi)部平移一腰；

（2）梯形外平移一腰；

（3）梯形內(nèi)平移兩腰；

（4）延長(zhǎng)兩腰；

（5）過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高；

（6）平移對(duì)角線；

（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)；

（8）過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線；

（9）作中位線。

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。

4

圓中常用輔助線的添法

在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對(duì)提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。

（1）見弦作弦心距。有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。

（2）見直徑作圓周角。在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用'直徑所對(duì)的圓周角是直角'這一特征來證明問題。

（3）見切線作半徑。命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，利用'切線與半徑垂直'這一性質(zhì)來證明問題。

（4）兩圓相切作公切線。對(duì)兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。

（5）兩圓相交作公共弦。對(duì)兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。

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