“概率”這兩個(gè)字，除了出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)課本中外，最常出現(xiàn)的地方也許就是天氣預(yù)報(bào)中的“降水概率”了，
也就是未來(lái)幾天下雨的可能性有多大。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，概率論是專(zhuān)門(mén)研究“可能性”的一個(gè)分支。它涉及的問(wèn)題非常廣泛，涵蓋的內(nèi)容遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了課本里那些刻板的習(xí)題。
一切隨機(jī)或者不確定的事件，都是概率論研究的范疇。上至氣象下至金融，甚至連“磁鐵的磁性是怎么來(lái)的”這種物理問(wèn)題，都可以用概率的方法進(jìn)行研究。
不過(guò)，雖然概率論的應(yīng)用范圍非常廣泛，但這門(mén)學(xué)科的誕生卻有些“不太光彩”。
來(lái)自賭博的問(wèn)題
1654年的一天早上，法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）收到了他的朋友貢博的一封來(lái)信。
這位朋友自稱(chēng)“來(lái)自梅雷的騎士”，也算是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家。他向帕斯卡提出了如下問(wèn)題：兩位貴族A與B正在進(jìn)行一場(chǎng)賭局，賭注是每人500法郎。游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，兩人輪流擲硬幣，得到正面則A得一分，反面則B得一分，每局兩人得分的機(jī)會(huì)相等，誰(shuí)先得到6分誰(shuí)就拿走這1000法郎。兩人激戰(zhàn)至2比4之際，B突然有事需要提前中止賭局。那么問(wèn)題來(lái)了，究竟應(yīng)該如何分配賭資才最公平呢？
在數(shù)學(xué)中，這一類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)為點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題。早在16世紀(jì)就有人研究過(guò)，不過(guò)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家給出的答案并不令人滿(mǎn)意，在某些極端情況下，甚至?xí)o出非常不合理的分配方案。也許這位“梅雷騎士”正是見(jiàn)識(shí)過(guò)現(xiàn)實(shí)中因這類(lèi)賭局和突發(fā)狀況而引起的矛盾，因此才特意寫(xiě)信給帕斯卡，希望他能夠完美地解決這個(gè)問(wèn)題。
作為一代數(shù)學(xué)大家，帕斯卡對(duì)此也產(chǎn)生了濃厚的興趣。隨即，他便向另一位業(yè)余數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬
（Pierre Fermat）發(fā)去了一封信，共同討論這個(gè)問(wèn)題?！皹I(yè)余數(shù)學(xué)家之王”費(fèi)馬很快就給出了一個(gè)答案。他認(rèn)為，不能單憑賭局停止時(shí)的比分或者各自獲勝所需要的分?jǐn)?shù)來(lái)決定賭注的分配，而是應(yīng)該考慮所有比賽可能出現(xiàn)的狀況，從而計(jì)算出雙方的獲勝比例。當(dāng)然，列舉所有可能性的計(jì)算量非常大，于是帕斯卡提出了一個(gè)簡(jiǎn)化算法，并完美地解決了點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題。
實(shí)際上，他們的解答就相當(dāng)于在計(jì)算兩位玩家勝利概率的大小。在研究中，帕斯卡提出了“數(shù)學(xué)期望”的概念，以及著名的“帕斯卡三角形”（我國(guó)稱(chēng)其為“楊輝三角形”，即二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律）。
某個(gè)結(jié)果為實(shí)數(shù)的隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)期望，也就是所有結(jié)果按照發(fā)生概率加權(quán)之后的平均值。
數(shù)學(xué)期望這個(gè)概念，掀開(kāi)了概率論研究的序幕。無(wú)疑，帕斯卡和費(fèi)馬對(duì)早期概率論的發(fā)展起到了極大的影響。
什么是概率
很多概率問(wèn)題都有著特別的結(jié)構(gòu)。以某個(gè)非常簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件來(lái)說(shuō)，比如拋擲硬幣。
我們知道每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性的大小，而這類(lèi)事件就被稱(chēng)為“基本事件”。我們可以多次重復(fù)這些基本事件，假定它們發(fā)生的可能性不會(huì)改變，而且這些重復(fù)沒(méi)有相互影響。如果我們將這些基本事件以合適的形式組合起來(lái)，就能得到一個(gè)更為復(fù)雜而有趣的系統(tǒng)。
事實(shí)上，許多概率問(wèn)題就是對(duì)這些隨機(jī)系統(tǒng)的各種性質(zhì)的研究。比如說(shuō)，在點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題中，基本事件就是硬幣的拋擲，而系統(tǒng)則是賭局的具體規(guī)則，最后我們希望得知的則是每一方獲勝的可能性大小。
在概率論的早期發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家研究的問(wèn)題大多比較簡(jiǎn)單，不僅基本事件只有有限的幾種結(jié)果，就連組合的方式也相對(duì)單一。這樣構(gòu)成的隨機(jī)系統(tǒng)就被稱(chēng)為古典概型。
隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家開(kāi)始考慮更加復(fù)雜的模型。18世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家布豐（Der Buffon）
提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：在數(shù)條間隔相等的平行線(xiàn)之間，隨機(jī)投下長(zhǎng)度與間距相等的一根針，那么它與這些平行線(xiàn)相交的概率是多少？在這個(gè)問(wèn)題里，由于角度與距離都是連續(xù)的值，因此這樣的基本事件就有著無(wú)數(shù)種不同的結(jié)果。這樣的隨機(jī)系統(tǒng)就被稱(chēng)為幾何概型。
其實(shí)早在19世紀(jì)，概率論就已經(jīng)成為了一門(mén)枝繁葉茂的數(shù)學(xué)分支。但有趣的是，直到20世紀(jì)，“概率”這個(gè)概念才有了嚴(yán)格定義。雖然古典概型的結(jié)果數(shù)量有限，其定義相對(duì)簡(jiǎn)單，并沒(méi)有什么含糊之處，但幾何概型的情況顯然更為復(fù)雜。
我們不妨考慮這樣一個(gè)問(wèn)題：圓中有一條隨機(jī)的弦，它的長(zhǎng)度比圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)更長(zhǎng)的概率是多少？其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題又叫做貝特朗悖論，
它的奇特之處在于，選取“隨機(jī)的弦”的方法不同，得到的概率也不盡相同。
直到1933年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸?/p>
（Andrey Nikolaevich Kolmogorov）為概率論建立公理體系之后，這個(gè)問(wèn)題的解答才變得昭然若揭?？?tīng)柲缏宸驅(qū)⒏怕誓Ｐ徒⒃谀骋活?lèi)所謂的“σ代數(shù)上的測(cè)度”上，這樣的測(cè)度可以有很多種，而不同的測(cè)度則對(duì)應(yīng)著不同的“隨機(jī)”。在貝特朗悖論中，選取隨機(jī)弦的方法實(shí)際上對(duì)應(yīng)著不同測(cè)度的選取，也就是不同的“隨機(jī)”概念，自然會(huì)得到不同的結(jié)果。
如今，概率模型的種類(lèi)已經(jīng)變得越來(lái)越多，也越來(lái)越復(fù)雜，系統(tǒng)可以包含無(wú)限個(gè)基本事件，而具體的組織方式也更加繁復(fù)、更為有趣——隨機(jī)圖、滲流模型、自回避行走……這些概率模型早已不能用古典概型或幾何概型來(lái)概括了。不過(guò)，也正是因?yàn)橛辛诉@些復(fù)雜的模型，我們才能用概率論解決在現(xiàn)實(shí)世界中碰到的種種難題。
無(wú)處不在的分布
如果讓數(shù)學(xué)家評(píng)選概率論中最重要的定理，桂冠可能中心極限定理（Central Limit Theorem）莫屬。它不僅是概率論中許多重要結(jié)果的基石，就是在其他學(xué)科，尤其是計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，它也有相當(dāng)重要的應(yīng)用。而在現(xiàn)實(shí)生活中，它還是整整一個(gè)行業(yè)賴(lài)以生存的理論基礎(chǔ)。
其實(shí)，中心極限定理不止一個(gè)，它的本質(zhì)是一連串定理的總稱(chēng)，我們可以把它視為“大數(shù)定理”的細(xì)化與推廣。
假設(shè)我們有一枚硬幣，它擲出正反面的概率相等，那么，如果我們連續(xù)拋擲這枚硬幣一萬(wàn)次，常識(shí)告訴我們，其中為正面的結(jié)果大概是五千次。這就是大數(shù)定理：如果對(duì)某個(gè)基本事件獨(dú)立地重復(fù)多次，那么某個(gè)可能性發(fā)生的次數(shù)占總數(shù)的比例就會(huì)趨近于這個(gè)可能性發(fā)生的概率。
與大數(shù)定理不同的是，中心極限定理處理的則是那些結(jié)果是實(shí)數(shù)的隨機(jī)基本事件。它告訴我們，如果將許多相同而又獨(dú)立的基本事件的結(jié)果取平均值的話(huà)，那么這個(gè)平均值會(huì)趨向某個(gè)概率分布。如果根據(jù)大數(shù)定理，這個(gè)分布的數(shù)學(xué)期望就是基本事件的數(shù)學(xué)期望。而中心極限定理則告訴了我們額外的一點(diǎn)——這個(gè)概率分布必定是一個(gè)所謂的“正態(tài)分布”（Normal distribution），而它的方差，
也就是概率分布的“分散”程度，是基本事件的方差除以事件數(shù)目的平方根。也就是說(shuō)，基本事件越多，平均值的不確定性就越小。
如果我們將這個(gè)正態(tài)分布畫(huà)成曲線(xiàn)的話(huà)，那么它就像是一口大鐘，中間高，兩端則呈指數(shù)衰減，這也為它贏得了“鐘形曲線(xiàn)”這么一個(gè)形象的名字。其實(shí)，中心極限定理可以推廣到取值范圍是高維空間中任意一點(diǎn)的情況，而“相同的基本事件”這個(gè)要求也可以被不那么嚴(yán)苛的條件代替——這些基本事件只要滿(mǎn)足某些要求即可，不需要完全相同。
正態(tài)分布在自然界中隨處可見(jiàn)，比如說(shuō)人的身高和智力就服從正態(tài)分布。這是因?yàn)樽匀唤缰械暮芏喱F(xiàn)象，都是由各種因素相互交織而成的，其中并沒(méi)有什么特別突出的因素。我們以人的身高為例，除了由許多不同的基因調(diào)控外，后天的營(yíng)養(yǎng)、環(huán)境、健康，甚至是偶然的意外，都對(duì)身高有著各自的影響。在這種情況下，如果我們將每個(gè)因素都看成一個(gè)基本事件，并且假定這些因素各自的影響能力都差不多，那么將其綜合考慮，根據(jù)中心極限定理，我們就會(huì)得到一個(gè)非常接近于正態(tài)分布的結(jié)果。
也許你很難想象，中心極限定理也是保險(xiǎn)這一整個(gè)行業(yè)的基礎(chǔ)。我們每個(gè)人都會(huì)遇到各種各樣的風(fēng)險(xiǎn)，比如事故、疾病等等。雖然這些風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率都很低，可一旦發(fā)生，其后果將非常嚴(yán)重，并非每個(gè)人都能承受。而保險(xiǎn)業(yè)實(shí)際上正是基于這一點(diǎn)，通過(guò)保費(fèi)與保險(xiǎn)賠付的方式，將上千萬(wàn)人連結(jié)了起來(lái)——每個(gè)人都只付出相對(duì)小的代價(jià)，但在不幸襲來(lái)時(shí)，就能獲得一定的保障。根據(jù)中心極限定理，我們可以得知，由數(shù)量龐大的個(gè)案相加而成的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，
因偶然因素導(dǎo)致大額賠付的概率非常小，而且參與的人數(shù)越多，風(fēng)險(xiǎn)就越小。為了確定保費(fèi)與賠付額，盡可能地獲得盈利，保險(xiǎn)公司實(shí)際上要做的就是根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，精準(zhǔn)地確定意外發(fā)生的概率，隨后根據(jù)意外概率與收益，確定保費(fèi)與賠付的金額。這也正是現(xiàn)代保險(xiǎn)公司越來(lái)越重視概率與統(tǒng)計(jì)的原因。
理解復(fù)雜世界
除了與不確定性相關(guān)的問(wèn)題之外，概率論與物理也有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。法國(guó)物理學(xué)家皮埃爾·居里（居里夫人的老公）
（Pierre Curie）在攻讀博士學(xué)位時(shí)，就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于磁鐵的有趣性質(zhì)：無(wú)論磁力多強(qiáng)的鐵制磁鐵，在將其加熱到770℃時(shí)，都會(huì)突然失去磁性。這個(gè)溫度后來(lái)就被稱(chēng)為鐵的居里點(diǎn)。那么，為什么磁鐵會(huì)突然失去磁性？通過(guò)概率論與統(tǒng)計(jì)物理分析，我們現(xiàn)在明白，這種現(xiàn)象與冰雪消融、開(kāi)水沸騰類(lèi)似，都屬于相變的范疇。
我們可以將磁鐵里的鐵原子想象成一個(gè)又一個(gè)的小磁針，在磁鐵還有磁性時(shí)，這些小磁針都會(huì)齊刷刷地指向同一個(gè)方向。但因?yàn)榉肿訜徇\(yùn)動(dòng)的關(guān)系，每個(gè)小磁針都會(huì)時(shí)不時(shí)地動(dòng)一下，但很快就會(huì)被附近的小磁針重新同化。
物理學(xué)家將這個(gè)場(chǎng)景抽象成所謂的伊辛模型。通過(guò)對(duì)伊辛模型的研究，概率學(xué)家發(fā)現(xiàn)，當(dāng)溫度達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)，整個(gè)體系就會(huì)由于熱運(yùn)動(dòng)而不能保持統(tǒng)一的指向，這也意味著磁鐵失去了磁性。這個(gè)臨界值就是我們之前提到的居里點(diǎn)，而對(duì)伊辛模型的研究也部分揭示了磁鐵一些微觀(guān)結(jié)構(gòu)的成因。
相變不僅僅局限于物理現(xiàn)象。流言的傳播、傳染病的爆發(fā)，還有微博的轉(zhuǎn)發(fā)，都是一種相變過(guò)程，都存在著某種臨界值。例如在“三人成虎”這個(gè)成語(yǔ)中，“三”就是所謂的臨界值。又比如說(shuō)傳染病，在適當(dāng)?shù)哪Ｐ拖?，如果每個(gè)病人傳染人數(shù)的平均值低于某個(gè)臨界值時(shí)，那么疾病就能被控制；如果高于臨界值，就很可能導(dǎo)致疫病的全面爆發(fā)。雖然對(duì)于疾病傳播的研究，屬于流行病學(xué)研究的范疇，但在概率論被引入流行病學(xué)研究之后，我們對(duì)如何防止與控制疫病爆發(fā)有了更深入的了解，這是能夠挽救成千上萬(wàn)人性命的知識(shí)。
當(dāng)然，概率論的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。大至失事飛機(jī)搜救，小至垃圾郵件過(guò)濾，我們都能在其中找到概率論的身影。這個(gè)復(fù)雜的世界充滿(mǎn)了不確定性，有些無(wú)傷大雅，有些卻能致命。若要駕馭這些不確定性，就要先從了解它們開(kāi)始，這就是概率論的意義。
概率論不能為我們帶來(lái)一個(gè)沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)的世界，但它卻能教會(huì)我們?nèi)绾闻c風(fēng)險(xiǎn)和平共處，雖然它帶來(lái)的僅僅是一種關(guān)于不確定性的知識(shí)。但知識(shí)，往往就是力量。
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