大家都聽說過物理中有大一統(tǒng)的構(gòu)想，那么數(shù)學(xué)中有沒有類似的理論呢？答案是肯定的，這就是我們今天所介紹的朗蘭茲綱領(lǐng)。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有三個非常重要的分支學(xué)科，分別是代數(shù)幾何、數(shù)論和群表示論，從各自的發(fā)展歷史來看，它們的相互依賴性不是很強(qiáng)，也就是說，這三個學(xué)科相對獨立。但數(shù)學(xué)的發(fā)展總是走向綜合和融匯，于是在1967年，當(dāng)時還非常年輕加拿大數(shù)學(xué)家朗蘭茲產(chǎn)生了三個學(xué)科可以統(tǒng)一在一起的大膽猜想。經(jīng)過一番思考后，他寫信給當(dāng)時最偉大數(shù)學(xué)家之一的韋伊，闡述了自己這個有些瘋狂的構(gòu)想。但這正如脫韁野馬一樣，一發(fā)便不可收拾，這一系列構(gòu)想后來就組成了著名的“朗蘭茲綱領(lǐng)”，它促成了數(shù)學(xué)中一系列的重大成就，數(shù)學(xué)家也因此可以用更加深刻的觀點來審視過去那些已經(jīng)取得的成果，包括非常著名的“費馬大定理”。
朗蘭茲
朗蘭茲的靈感最早來自于數(shù)論中著名的“二次互反律”，“二次互反律”最早由歐拉和勒讓德提出，而后偉大的高斯給出了第一個嚴(yán)格的證明。在經(jīng)典數(shù)論里，二次互反律擁有絕對牢固的地位，被稱為“數(shù)論酵母”，它從實質(zhì)上上解決了二次剩余的判別問題，但這個定律只適用于二次的情形。朗蘭茲的高明之處在于，他發(fā)現(xiàn)了高于二次的方程和互反律也存在著一些聯(lián)系，進(jìn)而多項式方程的素數(shù)值與分析和幾何學(xué)中所關(guān)注的微分方程的譜奇妙地聯(lián)系到了一起，朗蘭茲在仔細(xì)地思考后，認(rèn)為這兩者之間應(yīng)該存在互反關(guān)系。
朗蘭茲綱領(lǐng)如此受重視的一個原因在于，它將代數(shù)幾何包含在內(nèi)，而代數(shù)幾何則是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“主流中的主流”，數(shù)學(xué)最高獎菲爾茲獎所有得主中近三分之一是因為代數(shù)幾何中的成就而獲獎，由此可以看出代數(shù)幾何到底是有多重要！在整個二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)中，誕生了許多重量級數(shù)學(xué)大師，而其中許多都和代數(shù)幾何有深刻的關(guān)聯(lián)，例如格羅滕迪克、韋伊，塞爾和德利涅等等。
格羅滕迪克所著《代數(shù)幾何學(xué)原理》
而群表示論可能大家會有些陌生。群是滿足一定關(guān)系和帶有一些規(guī)定運算的集合，例如全體實數(shù)在加法運算下就構(gòu)成一個加法群，所有模長為1的復(fù)數(shù)(可以理解為單位圓周上的點)在乘法下構(gòu)成乘法群。但群的結(jié)構(gòu)本身可以變得極其復(fù)雜，于是根據(jù)數(shù)學(xué)中“化繁為簡”的基本思想，我們將一般的群對應(yīng)到更為簡單的“線性群”中，進(jìn)而可以通過研究這種對應(yīng)來分析群的結(jié)構(gòu)，這極大地降低了直接研究的難度。而在這些群中，數(shù)學(xué)家們尤其關(guān)注“李群”，李群不僅擁有群結(jié)構(gòu)，更一般地，它還被賦予微分結(jié)構(gòu)，成為一個微分流形，進(jìn)而李群表示論還與調(diào)和分析產(chǎn)生了深刻的聯(lián)系。這樣一來，代數(shù)，幾何和分析這三大數(shù)學(xué)分支就奇妙地產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)。
那么，這三大分支之間是怎樣被聯(lián)系起來的呢？朗蘭茲認(rèn)為是一些特殊的函數(shù)將它們緊密聯(lián)系在了一起，這種函數(shù)被稱為“L函數(shù)”，L函數(shù)的一些特性往往可以反應(yīng)出研究對象的幾何，代數(shù)或分析性質(zhì)。例如非常著名的“黎曼ζ函數(shù)”就是一個L函數(shù)，它的零點分布情況可以給出許多重要的性質(zhì)，因此關(guān)于它零點分布的“黎曼猜想”就顯得非常重要，這個猜想可以說是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的一個未解之謎，由它的正確性可以立即推導(dǎo)出很多重要結(jié)論，例如素數(shù)定理，盡管素數(shù)定理已經(jīng)得證，但這個過程是十分艱辛的。
也就是說，如果黎曼猜想可以被證明，那么朗蘭茲綱領(lǐng)的地位無疑將“更上一層樓”。在“千禧年七大數(shù)學(xué)問題”中，除去黎曼猜想外，還有BSD猜想與朗蘭茲綱領(lǐng)關(guān)系密切，這個猜想的一部分是：
給定一個整體域上的阿貝爾簇，那么它的莫代爾群的秩等于它的L函數(shù)在1處的零點階數(shù)。
BSD猜想近些年來有一些突破，例如來自中科院數(shù)學(xué)所的數(shù)學(xué)家田野證明了其中一種特殊情況，使得這個問題有了實質(zhì)性的進(jìn)展。
費馬大定理我們聽得比較多的一個數(shù)學(xué)問題，這是一個歷史超過三百年的巨大難題，不過比較幸運的是，它在上世紀(jì)末被英國數(shù)學(xué)家懷爾斯所解決。實際上懷爾斯是通過證明更為一般的谷山—志村猜想進(jìn)而得到費馬大定理的，這個猜想架起了溝通橢圓曲線和模形式的橋梁，而橢圓曲線是具有眾多代數(shù)和幾何性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象，而模形式則來源于分析中的周期函數(shù)。如此看來，費馬大定理又是朗蘭茲綱領(lǐng)成立的一大強(qiáng)有力佐證，因為它真正地把不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系到了一起，完美體現(xiàn)了朗蘭茲綱領(lǐng)的思想。
懷爾斯與費馬大定理
朗蘭茲本人在非交換調(diào)和分析、自守形式理論和數(shù)論的跨學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行了深入研究，進(jìn)而把它們統(tǒng)一在一起的“朗蘭茲綱領(lǐng)”，并首先證明了一些特殊情形。由于朗蘭茲在此領(lǐng)域內(nèi)的卓越貢獻(xiàn)，他榮獲了“數(shù)學(xué)三大獎”的其中兩個，分別是1996年的沃爾夫數(shù)學(xué)獎和2018年的阿貝爾獎。
2018 年阿貝爾獎授予朗蘭茲
而近些年來在朗蘭茲綱領(lǐng)上最杰出的人物可能是越南裔法國籍?dāng)?shù)學(xué)家吳寶珠，他前前后后大約耗費10年光陰，歷經(jīng)千難萬險，最終證明了朗蘭茲綱領(lǐng)自守形式的一個基本引理，而這個引理是朗蘭茲綱領(lǐng)最終成立的一個基本前提，因而尤其重要。但即使是這樣一個引理，證明起來也非常艱難，就連朗蘭茲本人也無能為力，只能放棄。但所幸吳寶珠堅持了下來，邁出了關(guān)鍵性的一大步，憑借這樣的巨大突破，吳寶珠也榮獲2010年菲爾茲獎。值得一提的是，吳寶珠還在越南讀高中的時候就兩度拿到國際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的金牌，而與他同屆獲得金牌的還有更加出名的陶哲軒，陶哲軒于2006年獲得菲爾茲獎。不過非?？上У氖?，在中國眾多的金牌得主中至今還從未誕生過具備獲得菲爾茲獎實力的數(shù)學(xué)家。
吳寶珠
朗蘭茲綱領(lǐng)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中一塊極其肥沃的土地，代數(shù)、幾何和分析的思想和方法在其中產(chǎn)生了神奇的反應(yīng)，讓我們驚喜地看到了它們之間的共性和聯(lián)系。但時至今日，朗蘭茲綱領(lǐng)也只是一個偉大的“構(gòu)想”而已，但它已經(jīng)為今后的數(shù)學(xué)發(fā)展指明了一種方向，或許沿著這個方向，我們將窺探到數(shù)學(xué)中更為高深的奧秘。
